中国石油大学(北京)《工程流体力学》机械学院-油气储运工程3-1

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第三章

流体运动学

流体运动学主要研究流场中各个运动参数的变化规律，以及这些运动参数之间的关系等问题。由于这些问题并不涉及这些运动参量与力之间的关系，因此流体运动学的结论对于理想流体和实际流体均适用。

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§3-1描述流体流动的两种方法流体的运动可以看成充满一定空间的众多流体质点运动的组合。研究流体的流动，就是研究流场中流体运动参数的分布规律，其描述方法一般分为以下两种：拉格朗日法描述方法质点轨迹：r r (a,b,c,t )

欧拉法

参数分布：B

= B(x, y, z,t)

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一、拉格朗日法定义：把流体质点作为研究对象，研究各质点的运动历程，

然后通过综合所有被研究流体质点的运动情况来获得整个流体运动的规律，这种方法叫做拉格朗日法。实质是一种质点系法。特点：跟着选定的流体质点，观察它的位移，又称为“跟踪法”。类似于固体力学中质点运动学的研究方法。

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一、拉格朗日法

漫画解释

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一、拉格朗日法用拉格朗日法描述流体的运动时，运动质点的位置坐标不是独立变量，而是起始坐标a、b、c和时间变量 t的函数即

x x a, b, c, t y y a, b, c, t z z a, b, c, t

或 r r (a, b, c, t )

式中a,b,c,t统称为拉格朗日变量，不同的运动质点的起始坐标不同。固定a,b,c而令t改变，上式描述的是初始时刻位于(a,b,c)处的这一流体质点的运动规律；固定t而令a,b,c改变，上式描述的是 t时刻不同流体质点的位置。

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一、拉格朗日法对同一流体质点，a,b,c不变，则流体质点速度在直角坐标系中可表示为： x(a, b, c, t ) t y (a, b, c, t ) uy t z (a, b, c, t ) uz t ux

或u

r (a, b, c, t ) t

同理也可得出流体质点加速度表示形式： ux (a, b, c, t ) 2 x(a, b, c, t ) ax t t 2 u y (a, b, c, t ) 2 y (a, b, c, t ) ay t t 2 uz (a, b, c, t ) 2 z (a, b, c, t ) az t t 2

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一、拉格朗日法流体质点的压力和密度表示为

p p(a, b, c, t ) (a, b, c, t )用拉格朗日法分析流体运动，在数学上将会遇到困难。而且在实际工程问题中，需要了解的是流动参数在空间的分布规律，一般不需要了解流体质点详细的运动过程。所以除少数情况外(如研究波浪运动),在流体运动中多采用欧拉法。

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二、欧拉法定义：不研究各个质点的运动过程，而着眼于流场(充满运动流体的空间)中的空间点，即通过观察质点流经每个空间点上的运动要素随时间变化的规律，把足够多的空间点综合起来而得出整个流体运动的规律，这

种方法叫做欧拉法(流场法)。

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二、欧拉法用欧拉法描述流体的运动时，运动要素是空间坐标x,y, z和时间变量t的连续可微函数。x,y,z,t称为欧拉变量，速度场表示为：

u x u x ( x, y, z, t ) u y u y ( x, y, z, t ) u z u z ( x, y, z, t )

或

u u( x, y, z, t )

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二、欧拉法压力场、密度场和温度场表示为：

p p x, y, z, t x, y, z, t T T x, y, z, t 固定x,y,z而令t改变，各函数代表：空间中某固定点上各物理量随时间的变化规律。固定t而令 x,y,z改变，各函数代表：某时刻各物理量在空间中的分布规律。

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二、欧拉法在欧拉法中，由于流体物理量被表示成空间坐标和时间的函数，其加速度的求解较为复杂。现计算下图中P点流体的加速度：ux i uy j uz kz P ( x, y, z ) o

P’ ( x , y , z )y

x

初始时刻t,流经P点的质点的速度为在t+ t时刻，该质点运动到P’点，其速度为 ux i u y j uz k

质点的加速度为a a x i a y j az k uy uy uz uz ux ux ax ,ay , az t t t

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二、欧拉法质点在P’的速度与P’点的空间坐标 ( x , y , z )有关，其由流体质点的速度大小、方向及运动时间确定。可取一微元时间段 t,在 t内可将速度看为常量，所以 x x ux t, y y uy t, z z uz t根据欧拉方法，速度可表示为 ux ux ( x ux t, y uy t, z uz t, t t )

同理可得

uy uy ( x ux t, y uy t, z uz t, t t ) uz uz ( x ux t, y uy t, z uz t, t t )

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二、欧拉法速度在x方向的增量为： ux ux ux u x u u u t u y x t uz x t x t ux ( x, y, z, t ) x y z t u x u x u x u x ( ux uy uz ) t x y z t ux (x, y, z, t) ux

x方向的加速度为：a x lim t 0

ux ux ux ux ux ux uy uz t x y z t u y uy u y uz u y u y

同理可得质点在y,z方向的加速度 x y z t uz uz uz uz a z ux uy uz x y z t a y ux

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二、欧拉法矢量算子 i j k x y z

且有矢量运算公式 u u ux

质点的速度增量可表示为可得到质点P的加速度a ux

u u u uy uz x y z u u (u u ) t t

u u u u u uy uz u u x y z t t

由上式可见，在欧拉法中，流体质点的加速度包括两部分，一部分是随空间的变化率 (u u)

,另一部分是随时间的变化率 u。 t

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二、欧拉法加速度在空间坐标x,y,z方向的分量为

du x u x u x u x u x ax ux uy uz dt t x y z du y u y u y u y u y ay ux uy uz dt t x y z duz uz u z uz u z az ux uy uz dt t x y z当地加速度:反映流场的不定常性

迁移加速度:反映流场的不均匀性

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二、欧拉法用欧拉法求流体质点其它运动要素对时间变化率的一般式子为

d u dt td为全导数 dt

当地加速度迁移加速度

t为当地加速度，是空间点上由于速度随时间变化引起的 u 为迁移加速度，是由于不同空间点上的速度不同引

起的，是流场的非均匀性产生的

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二、欧拉法

水头H不随时间变化时，A、B、C、D各点速度不随时间变化，各点当地加速度为零。但是由于管道锥管部分的截面积沿流动方向减小，流速沿流动方向逐渐增大，使流体质点在由C点向D点移动时产生迁移加速度。水头H随时间变化，管路中各点的流速将随时间发生变化，产生当地加速度。

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三、拉格朗日法和欧拉法的比较拉格朗日法分别描述有限质点的轨迹

欧拉法同时描述所有质点的瞬时参数

不能直接反映参数的空间分布

直接反映参数的空间分布

拉格朗日观点是重要的

流体力学最常用的解析方法

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辨析研究流体流动的拉格朗日描述法和欧拉描述法的差别，可以通过以下研究鸟类迁徙的生态学家的不同观察方法来加以对比。每年冬季到来之前，成千上万只鸟从北方飞向南方，一部分生态学家在一些特定的候鸟脚上，绑上无线电发射器，通过接受无线电信号了解这些候鸟的飞行信息，这相应于拉格朗日法。另一部分生态学家等候在候鸟途经的某些特定位置，测量候鸟通过这些特定位置时的飞行速率，这相应于欧拉描述法。欧拉法和拉格朗日法测量流体流动参数的方法也是不同的。若在流体中放入示踪颗粒，测量跟随流体质点一起运动的示踪颗粒在流场中各处的参数，这种测量方法与拉格朗日法相一致。若将测量探头固定在流场中的某一空间点，测量不同流体质点经过该点的参数，则与欧拉描述法相一致。

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vz 0,求t=0时的 vy y t,例题：给定速度分布 vx x t,加速度分布。解：(1)根据欧拉方法，各项偏导数为：,,

vx 1 t v y y 1

,

vx 1 x v y 1 t

其余各项的偏导数为零，所以加速度分布为：ax x t 1ay y t 1

az 0

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(2)根据拉格朗日方法：dvx dx ax 1 vx

1 x t 1 dt dt dv y dy ay 1 v y 1 y t 1 dt dt

az 0 t 0时刻的加速度分布为：ax x 1ay y 1

链接

du dt

u与 t

的区别

az 0从上面的例题可以看出，采用拉格朗日法计算加速度和采用欧拉法计算加速度得出的结果是完全相同的。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ty01.html