第6讲 指数与指数函数（答案版）

指数与指数函数

1.n次方根

(1)n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. (2)n次方根的性质

①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的nn次方根用符号a表示．

②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时正数a的正的n次方nn根用符号a表示，负的n次方根用符号－a表示．正的n次方根与负的n次方根可合并写n

成±a(a＞0)．

n③0的任何次方根都是0，记作0＝0. ④负数没有偶次方根. 2．根式

n(1)式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

nnn(2)式子an对任意a∈R都有意义，当n为奇数时，an＝a，当n为偶数时，an＝|a|＝

??a ?a≥0?，? ?－a ?a＜0?.?

3．分数指数幂

n(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝am(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．

mn1m

(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝m (a＞0，m，n∈N*, 且n＞1)．

n

an(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ars(a＞0，r，s∈Q)；

＋

(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 5．无理数指数幂

无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．

1

1．指数函数的定义

一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 2．指数函数的图象与性质

a＞1 0＜a＜1 图象

定义域R，值域(0，＋∞) 图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 性质 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 在R上是增函数

1．函数y＝ax与y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称．

－

当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 在R上是减函数 2．形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．

(2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．

3．形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a＞0，且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．

4．设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．

经典题型1 指数的运算 例1 求下列各式的值．

348

(1)?－2?3；(2)?－3?2；(3)?3－π?8； (4)x2－2x＋1－x2＋6x＋9，x∈(－3,3)． 3

解 (1)?－2?3＝－2.

2

44

(2)?－3?2＝32＝3. 8

(3)?3－π?8＝|3－π|＝π－3.

(4)原式＝?x－1?2－?x＋3?2＝|x－1|－|x＋3|， 当－3＜x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2. 当1＜x＜3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.

??－2x－2，－3＜x≤1，

因此，原式＝?

??－4，1＜x＜3.

变式演练2 将下列根式化成分数指数幂形式． 34

(1)a·a； (2)

aaa；

33

(3)a2·a3； (4)(a)2·ab3. 4

解 (1)a·a＝a3·a4＝a12. (2)原式＝a·a·a＝a. (3)原式＝a·a＝a. (4)原式＝(a)·a·b＝ab.

变式演练3 用分数指数幂表示下列各式： (1) (2)

33

6

a·－a(a＜0)； ab2?ab?3(a，b＞0)；

23132

1232763223321363

11712141878?42?(3)?b3?(b＜0)； ????(4)

135x?x2?2

1316(x≠0)．

解 (1)原式＝a·(－a)

＝－(－a)·(－a)＝－(－a)(a＜0)． (2)原式＝ab?ab＝ab

323232352721316123

527213＝(a·b)＝ab(a，b＞0)． (3)原式＝b(4)原式＝

212??3435676＝(－b)(b＜0)．

＝

191x?x1341?531x35＝x?35(x≠0)．

变式演练4 (1)计算：0.064

392?13?7?0－33?－－?8?＋[(－2)]＋160.75＋|－0.01|2；

41(2)化简：

aa?3÷

?133a?7?3a?13(a＞0)．

－0.75

解 (1)原式＝(0.43)

19?32－1＋(－2)4＋(24)

－

11143－

＋(0.1)＝0.41－1＋＋＋0.1＝. 16880

122(2)原式＝[a＝a

93713???6666·a1?3??????3??2?]÷[a1?7??????2??3?·a113?23]

＝a0＝1.

变式演练5 计算或化简：

?3??3－?－3(1)?8?＋(0.002)2－10(5－2)1＋(2－3)0；

3221(2)a3a?3·a???231-5?2???a??1-2??. ??113解 (1)原式＝(－1)

?33??3＋?1??2－10＋1 ?8??500?5－2

227?21

＝?－＋(500)－10(5＋2)＋1 ?8?324

＝＋105－105－20＋1 9167＝－. 9(2)原式＝(a·a＝(a)·(a·a1－42－

32?32)·[(a)

1213－5

?12·(a

?111322)]

10352?132)

＝(a)＝a2.

4

1132

1. 计算：(124＋223)－27＋16－2×(8－)－1.

2643

经典题型2 指数函数的概念及图像 例1 给出下列函数：

①y＝2·3x；②y＝3x1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( )

＋

A．0 B．1 C．2 D．4 答案 B

解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x

＋1

的指数是x＋1，不是自变量

x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2＜0，不是指数函数．

变式演练1 若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围为________． 4

答案 {a|a＜，且a≠1}

3

解析 y＝(4－3a)x是指数函数，需满足：

??4－3a＞0，4?解得a＜且a≠1.

3?4－3a≠1，?

4

故a的取值范围为{a|a＜，且a≠1}．

3

变式演练2 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )

A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c

5

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