表示一组数据的波动程度的量教案

个性化教案 表示一组数据波动程度的量 适用学科 适用区域 知识点 初中数学 全国 1、 标准差方差的概念 2、 标准差和方差的计算方法 适用年级 初中三年级 课时时长（分钟） 60分钟 教学目标 1.使学生进一步掌握解标准差和方差的概念和求法 2.能解决一些与标准差和方差有关的实际问题 3.培养学生分析问题，解决问题的能力 4.感受数学学科的逻辑性和严谨性 教学重点 教学难点 解决有关标准差和方差的有关实际的统计问题 准确的求出方差和标准差发现具有相关联系特点数据之间方差的关系 教学过程

一、复习预习

1、我们上节课学习了平均数我们来一起回顾一下 2、平均数的意义、平均数的求法

二、知识讲解

1．那么数据的波动大小如何用数量表达呢？

方差：如果一组数据x1,x2,?,xn ，它们的平均数为x，那么这n个数与平均数差的平方的平均数叫做这n个数的方差，记作s

22方差公式s?1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2] n 个性化教案

标准差：方差的非负平方根叫做标准差，记作s

s?1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2 n

考点/易错点1

方差的单位为数据平方单位，标准差的单位 与数据单位相同。 考点/易错点2

方差、标准差都反映一组数据波动大小。

三、例题精析

【例题1】

【题干】1：某食品厂有甲乙两条流水线生产某种100克的袋装食品，在

试生产时，从这两条流水线分别随机各抽取5袋食品，称出各袋食品的重量（克）分别是：

甲：100，101，99，101，99； 乙：102，98，101，98，101. （1） 甲乙两条流水线生产的5袋食品重量的平均数分别是多少克？ （2） 哪一条流水线生产的5袋食品的重量波动较小？

【答案】（1）它们平均数都是100克 【解析】

1?[(100?100)2?(101?100)2?(99?100)2?(101?100)2?(99?100)2]51 ??[02?12?(?1)2?12?(?1)2]

5S2甲? =0.8

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1?[(102?100)2?(98?100)2?(101?100)2?(98?100)2?(101?100)2]51 ??[22?(?2)2?12?(?2)2?12]

5S2乙? =2.8

所以甲生产线上生产的5袋食品重量波动较小。

【例题2】 【题干】

将例题1中的每个数据都加900，得到新数据：

甲：1000，1001，999，1001，999； 乙：1002，998，1001，998，1001. 根据平均数的公式，可知两组数据的平均数从100变为1000，那么甲乙两组数据的方差与原先相比是否会发生变化？

【答案】不会发生变化 【解析】 x甲?1(1000?1001?999?1001?999)?1000 51?[(1000?1000)2?(1001?1000)2???(999?1000)2] 51?[02?12?(?1)2?12?(?1)2]=0.8 51(1002?998?1001?998?1001)?1000 51?[(1002?1000)2?(998?1000)2???(1001?1000)2] 51?[22?(?2)2?12?(?2)2?12]=2.8 5S2甲? ? 可见甲的平均数比原始数据的平均数增加900，甲的方差与原数据方差相同.

x乙?S2乙??可见乙的平均数比原始数据的平均数增加900，乙的方差与原数据方差相同. 一般地，已知一组数据：x1，x2，…，xn，它们的方差为s2，那么一组新数据：x1?a，x2?a，…，xn?a，这组数据的方差仍为s2.

【例题3】

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【题干】

为了了解市场上甲、乙两种手表日走时误差的情况，从这两种手表中各随机抽取10块进行测试，两种手表日走时误差的数据如下（单位：秒） 编 号

三

类 一 二 四 五 六 七 八 九 十 型

[来源:学&科&网]甲种手表 －3 4 2

－1

[来源:Zxxk.Com]－2 －2 1 －2 2 1

乙种手表 －4 1 －2 1 4 1 －2 -1 2 －2

【答案】甲稳定性好

1【解析】（1）x甲＝（－3＋4＋2＋－1＋－2＋－2＋1＋－2＋2＋1）＝2

101x乙＝（－4＋1＋－2＋1＋4＋1＋－2＋－1＋2＋－2）＝2

10（2）

12S甲＝[(2?3)2?(2?4)2?(2?2)2?(2?1)2?(2?2)2?(2?2)2?(2?1)2?(2?2)2?(2?2)2?(2?1)2]?0.8

1012S乙＝[(2?4)2?(2?1)2?(2?2)2?(2?1)2?(2?4)2?(2?1)2?(2?2)2?(2?1)2?(2?2)2?(2?2)2]?1.2

1022由S甲，知甲种手表走时稳定性好. ＜S乙

四、课堂运用

【基础】

1. 1、为了从甲、乙两名学生中选择一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行了10次测验，成绩如下：(单位：分)

甲成绩 乙成绩

(1)请完成下表：

学 生 76 82 84 86 90 87 84 90 81 79 87 81 88 93 81 90 85 74 84 78 项 目 平均数 中位数 84 众数 84 方差 14．4 34 85分以上的频率 0．3 甲[来源:学科网ZXXK]84 84 乙

(2)利用以上信息，请从三个不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行分析．

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答案

项 目 平均数 学 生 甲 乙

析 、解：分（1） 项 目 平均数 学 生 甲 乙 84 84 中位数 84 84 众数 84 90 方差 14.4 34 85分以上的频率 0.3 0.5 84 84 中位数 84 84 众数 84 90 方差 14.4 34 85分以上的频率 0.3 0.5

(2)甲成绩的众数是84，乙成绩的众数是90，从两人成绩的众数看，乙的成绩较好. 甲成绩的方差是14.4，乙成绩的方差是34，从成绩的方差看，甲的成绩相对稳定． 甲成绩、乙成绩的中位数、平均数都是84，但从85分以上的频率看，乙的成绩较好．

2. 一次期中考试中A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩等有关信息、如下表所示：

(I)求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；

(2)为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的 计算公式是标准分=(个人成绩-平均成绩)÷成绩标准差

从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语 哪个学科考得更好.

___1?222?友情提示：一组数据的标准差计算公式是S? (x?x)?(x?x)?????(x?x)12n??n?? 答案

分析

2、（1）数学考试成绩的平均分

x_数学1?（71+72+69+68+70）=70. 英话考试成绩的5

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标准差：S英语?122222??（88-85）+（82-85）?（94-85）+（85-85）+（76-85）?6 ??5(2)设A同学数学考试成绩标准分为P数学，英语考试成绩标准分为P英语，则P数学 =

（71-70）?2?考得更好

12（88-85）?6?，P英语P> P，从标准分看，A同学数学比英语，2数学英语3

课程小结

1．仔细分析题目，是否用标准差和方差的使用条件 2. 求出数据的平均数 3．求出方差或标准差 4. 作出比较

课后作业

【基础】

1. 甲，乙两人在相同条件下各射靶

10次，每次射靶的成绩情况如图

20-2-1所示： （1）请填写下表：

甲 乙 平均数 方差 中位数 命中8环以上次数 7 1.2 5.4 1 （2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析． ①从平均数和方差相结合看；

②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）；

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③从平均数和命中9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）；

④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）．

答案（1）如下表：

甲 平均数 方差 中位数 命中8环以上次数 7 1.2 7 1 1 乙 7 5.4 7.5 3 （2）①∵平均数相同，S甲2

③∵平均数相同，命中9环以上的次数甲比乙少，∴乙的成绩比甲好些．

④甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第4?次以

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后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力．

【巩固】

1. 两台机床同时生产直径为

10个单位的零件，为了检验产品的质量，

质检员从两台机床的产品中各抽出5件进行测量，结果如下：

机床甲 8 9 10 11 12 机床乙 7 10 10 10 13 如果你是质检员，在收集到上述数据后，你将利用哪些统计知识为判断这两台机床生产的零件的质量优劣．

答案为（1）由于x甲=x乙=10，因此平均直径反映不出两台机床生产出的

零件的质量优劣．

（2）S甲2=2，S乙2=3.6，由于S甲2

的角度考虑，?甲机床生产的零件质量更符合要求；（3）甲机床只有一个零件的直径是10，而乙机床有3个零件的直径是10，从众数角度看，乙机床生产出的零件符合要求．

【拔高】

1、从甲，乙两种玉米苗中各抽

10株，分别测得它们的株高（单位：

cm）如下：

甲：35 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40

问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？

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答案（1）x甲= x2=

1（25+41+40+37+…+42）=30（cm） 101（27+16+44+27+…+40）=31（cm） 10 因为x甲

2甲

=

11 [（25-30）2+（41-30）2+…+（42-30）2]= 1010×1042=104.2（cm2）． S乙2=

11222

[（27-31）+（16-31）+…+（40-31）]= ×1288=128.81010（cm2）．

因为S甲2

课后评价

本节内容只要掌握平均数的求法和方差及标准差的含义，并会求。

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