中考数学一轮复习——第7讲 二元一次方程组(含答案)

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第七讲 二元一次方程组

知识梳理

知识点1. 二元一次方程组的有关概念 重点：掌握二元一次方程组的有关概念 难点：二元一次方程组的有关概念的理解

二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式方程叫做二元一次方程．

二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．

二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．

例1.方程

是二元一次方程，则的取值为（ ）

A、≠0 B、≠－1 C、≠1 D、≠2 解题思路：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式方程叫做二元一次方程．选B

例2.若二元一次方程

有正整数解，则的取值应为（ ）

A、正奇数 B、正偶数 C、正奇数或正偶数 D、0 解题思路：由y?3x?1，x、y都是正整数，选A 2?ax?by?4?x?2例3.已知二元一次方程组? 的解是?,则a+b的值为________。

bx?ay?5y?1?? 解题思路：根据方程组的定义，把x=2，y=1代入方程组，转化为关于a、b的方程组，解出a与b的值，问题就解决了，也可应用整体思想，直接求出a+b的值。

解：把x=2，y=1代入原方程组， 得??2a?b?4(1)

?2b?a?5(2) (1)+(2)得3(a+b)=9，∴a+b=3

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练习

1.已知x、y满足方程组??2x?y?5，则x-y的值为 。

?x?2y?42.请写出一个以x，y为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由

?x?2两个二元一次方程组成；②方程的解为?，这样的方程组可以是-----------。

y?3?答案1. x-y=1 2. 答案不惟一。如：?知识点2.二元一次方程组的解法 重点：掌握代入消元法、加减消元法 难点：熟练解二元一次方程组[来源:学科网]

代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．

加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法． ?x?2y?8?x?y?5；?等等。

?2x?y?1?x?y??1?3x?2y?5例1 解方程组?

2x?y?8?① ② 解题思路：因为y的系数绝对值是1，所以用代入消元法解较简单。 解：由②，得y=2x-8 ③ 把③代入①，得3x+2(2x-8)=5 3x+4x-16=5 ∴x=3

把x=3代入③，得y=2×3-8=-2 ∴方程组的解为 x=3 y=-2

点评：解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度。 [来源:Zxxk.Com] 例2解方程组

解题思路：方程②化为3x?4y??8，再用加减法解，答案：

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① ② 优思数学-新人教版初中数学专题网站 WWW.YOUSEE123.COM

练习 1.解方程组：

2. 已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程

，求的值。

答案1.

2.

知识点3．二元一次方程组的应用

重点：掌握列二元一次方程组的解应用题的步骤 难点：找准题目中等量关系

对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：

（1）选定几个未知数；

（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组； （3）解方程组，得到方程组的解；[来源:学。科。网]

（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．[来源:学. 例1、某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助， 资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：

捐款数额（元） 捐助贫困学生（名） 捐助贫困小学生人数（名） （1）求a、b的值；

（2）初三年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用， 请将初三年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中。（不需写出计算过程）

解题思路：本题存在两个等量关系，分别是捐助2名中学生的学习费用+4 名小学生的学习费用＝4000和捐助3名中学生的学习费用＋3名小学生的学习费用＝4200。

初一年级 4000 2 4 初二年级 4200 3 3 初三年级 7400 优思数学网系列资料 WWW.YOUSEE123.COM 版权所有@优思数学网 - 3 -

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解：（1）根据题意，得??2a?4b?4000

?3a?3b?4200解这个方程组，得??a?800

?b?600（2）初三年级学习捐助贫困中学生人数为4（名）， 捐助贫困小学生人数为7（名）。 例2、在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：

甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”； 乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；

丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”； 请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？ 解：设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，四环路的车流量为每小时据题意得：

解得

辆，根

答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆。

练习：

为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”，该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒，该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？

分析：依甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒列方程 解：设生产奥运会标志x套，生产奥运会吉祥物y套，根据题意得?①×②-②得5x=10000 ∴x=2000

把x=2000代入①得，5y=12000，∴y=2400

答：该厂能生产奥运会标志2000套, 奥运会吉祥物2400套.

?4x?5y?20000①

?3x?10y?30000②

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最新考题

由二元一次方程或二元一次方程组的解去求方程或方程组中的字母系数，是大部分省市中考的热点，主要以填空题或选择题的题型出现，它既考查了方程或方程解的定义，又考查了二元一次方程组的解法，列二元一次方程组解简单的应用题，是每年中考中几乎不可缺少的题目，主要根据当前各种形式进行命题，预计2010年中考对二元一次方程的意义、解二元一次方程组、利用方程或方程组的解求方程或方程组中的字母系数仍然以填空、选择的形式出现，对一次方程组的应用的考查以解答题居多，难度不大。

考查目标一、确定二元一次方程组中的字母系数或字母系数的范围

?2x?y?m?x?2例1、(2009年四川省内江市)若关于x，y的方程组?的解是?，则

x?my?ny?1??m?n为（ ）

A．1 B．3 C．5 D．2

解题思路：由x=2,y=1分别代入2x-y=m，x+my=n中，则m=3,n=5；则选D 例2、若方程组

的解满足

＞0，则的取值范围是（ ）

A、＜－1 B、＜1 C、＞－1 D、＞1 解题思路：两方程相加得4x+4y=2+2a,则x+y=练习 1.已知方程组＝ 。

2.若二元一次方程（ ）

A、3 B、－3 C、－4 D、4 答案：1.

＝

，＝12 2. 4

，

，

有公共解，则的取值为

与

有相同的解，则

＝ ，

1?a>0,则＜－1 选A 2考查目标二、方程组解的判定 例 （2009江西）方程组??2x?y?3，的解是（ ）

?x?y?3优思数学网系列资料 WWW.YOUSEE123.COM 版权所有@优思数学网 - 5 -

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A．??x?1，

?y?2．B．??x?2，?x?1， C．?

?y?1．?y?1．D．??x?2，

?y?3．解题思路：本题有两种解法：一种是解方程组，求出其解；另一种是将被选答案代入方程组，逐个验证。

答案：B

练习.（2009年福州）二元一次方程组??x?y?2,的解是（ ）

?x?y?0A．??x?0,?x?2,?x?1,?x??1, B．? C．? D．? y?2.y?0.y?1.y??1.????答案：C

考查目标三、可化为解方程组的知识

例1（2009呼和浩特）如果|x?2y?1|?|2x?y?5|?0，则x?y的值为 解题思路：两个非负数之和为0，则它们分别都为0，可化为方程组的问题，

11?x???x?2y?1?0?3, 用加减法解之：? ??2x?y?5?0?y?7?3?例2（2009青海）已知代数式?3x（ ）

A．?m?135y与xnym?n是同类项，那么m、n的值分别是

2?m?2

?n??1

B．??m??2

?n??1

C．??m?2

?n?1

D．??m??2

?n?1?m?1?n?m?2解题思路：根据同类项的定义，可化为方程组的问题，?解之?

n?1m?n?3??练习

?2x?3y?4?61. 若二元一次联立方程式?的解为x=a，y=b，则a?b=？（ ）

15x?15y?5??03? (A)

5929139(B) (C) (D) ? 。

3 5 33优思数学网系列资料 WWW.YOUSEE123.COM 版权所有@优思数学网 - 6 -

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2、解方程组时，一学生把看错而得，而正确的解是那

么、、的值是（ ）

A、不能确定 B、＝4，＝5，＝－2[来 C、、不能确定，＝－2 D、＝4，＝7，＝2 答案1.C .2 B

考查目标四、列方程组解应用题

例 某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。

（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？

（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ [来源:学|科|网Z|X|X|K]

解：（1）解法一：设书包的单价为元，则随身听的单价为 根据题意，得 解这个方程，得

元

答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。 解法二：设书包的单价为元，随身听的单价为 根据题意，得

元

解这个方程组，得

答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。 （2）在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：

（元）

因为361.6＜400，所以可以选择超市A购买。

在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共需花费现金：

360＋2＝362（元）

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因为362＜400，所以也可以选择在超市B购买。 因为362＞361.6，所以在超市A购买更省钱。

练习王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元。其中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元。问王大伯一共获纯利多少元？

答案解：设王大伯种了亩茄子，亩西红柿，根据题意得：

解得：

∴王大伯共获纯利：2400×10＋2600×15＝6300（元）答：王大伯共获纯利6300元。

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过关测试

一. 选择题

1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）

?x?y?7?yx???32s?t?7m?n?1???? A. ? B. ? C. ?22 D. ?11

??6mn?123t?2s?1???2x2?3y?9?xy??2. 若mx?4y?3x?7是二元一次方程，则（ ）

A. m??2 B. m?0 C. m?3 D. m??1 3. 二元一次方程2x?y?7的正整数解有（ ）个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 用加减消元法解方程组??2x?3y?3时，有下列四种变形，正确的是（ ）

?3x?2y?11?4x?6y?3?6x?3y?9?4x?6y?6 A. ? B. ? C. ? D.

9x?6y?116x?2y?229x?6y?33????6x?9y?3 ??6x?4y?115. 有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为6，这样的两位数的个数有（ ）

A. 3 B. 5 C. 6 D. 无数个 6. 下列方程中，是二元一次方程的有（ ） A. 6x?2?5z?111?6x B. ??5 3xy C. xy?3x?y?1 D. x?2y

227. 若方程m?9x??m?3?x?y?0是关于x、y的二元一次方程，则m的值为

??（ ）

A. ?3 B. 3 C. -3 D. 9

8. 方程x?2y?7在自然数范围内的解为（ ） A. 无数个 B. 1个 C. 3个 D. 4个

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9. 用加减消元法解方程组??2x?3y?1时，有下列四种变形，正确的是（ ）

?3x?2y?10 A. ??4x?6y?1?6x?3y?3?4x?6y?2 B. ? C. ? D.

?6x?2y?20?9x?6y?30?9x?6y?10?6x?9y?3 ?6x?4y?10?10. 甲、乙二人按2∶5的比例投资开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，若第一年赢利14000元，那么甲、乙二人分别应分得（ ）

A.2000元、5000元 B. 5000元、2000元 C. 4000元、10000元 D. 10000元、4000元

11.一种蜂王精有大小两种包装，3大盒4小盒共装108瓶，2大盒3小盒共装76瓶，大盒与小盒各装多少瓶？

A. 大盒装20瓶，小盒装12瓶 B. 大盒装21瓶，小盒装12瓶 C. 大盒装20瓶，小盒装15瓶 D. 大盒装22瓶，小盒装12瓶 12.已知??3x?2y?17，则x?y?________

?2x?3y?13A.5 B. 4 C. 6 D. 7 二. 填空题

1. 把方程2x?y?3?0化成含y的式子表示x的形式：x?__________。[来源:学|科|网]

2. 已知二元一次方程3x?2y?1，若y??2时，x?_______。

?3x?2y?173. 已知?，则x?y?________。

?2x?3y?134. 若?3x?y?5??2x?y?3?0，则x?y?_______。[来源:学,科,网Z,X,X,K]

5.小红有5分和2分的硬币共20枚，共6角7分，设5分硬币有x枚，2分硬币有y枚，则可列方程组为 。

6.某人买了60分和80分的邮票共20枚，用去13元2角，设买了60分邮票x枚，

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买了80分邮票y枚，则可列方程组为 。

三、解答题 1. 解方程组

?x?1y?2??0?x??3??y??14 ? ?4?x?3?y?1?1??x?4y?4?36?2

2. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨，问大车和小车一次可以运货各多少吨？

[来源:Zxxk.Com]

3. 一张方桌由1个桌面和4条桌腿组成。如果1立方米木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有10立方米木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌？

[来源:学科网]

4.已知关于x、y的方程组??3x?y?5?2x?3y?4?0与?有相同的解，求

4ax?5by??22ax?by?8?0??a、b的值。

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[来源:Zxxk.Com]

5. 某车间有90人，一人每天加工10个螺栓或25个螺母，组装一部机器需4个螺栓和7个螺母，问应安排多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能尽可能多的组装成这种机器。

6. 甲、乙两人同解方程组???ax?5y?15?1?时，甲看错了方程?1?中的a，解得??4x?by?2?2?2002?x?2?x?5?b?2006，乙看错?2?中的b，解得?，试求a????的值。 ??10??y?1?y?4

[来源:Z,xx,k.Com]

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参考答案

一. ACCCC DCDCC AB 二、1.

?x?y?20?x?y?20y?3；2. -1； 3. 6；4. -3； 5. ?6. 10. ? 2?5x?2y?67?60x?80y?1320三1. ??x?0?x?4?y?1； ??y?2；

2. 大车一次可以运货4吨，小车一次可以运货2.5吨。 3. 用6立方米的木料做桌面，4立方米的木料做桌腿。

?4. ??a?42?57

?b?189??115. 安排53人生产螺栓，37人生产螺母。（注意：该题得讨论解决） 6. 2

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