四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷（文科）

爱爱爱大大的四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷（文

科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．已知i为虚数单位，则复数

=（ ）

A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i

2．已知集合A={x|x2+4≤5x，x∈R}，B={y|y＞2}，则A∩B=（ ） A．（2，+∞） B．（4，+∞） C．（2，4] D．[2，4]

3．从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高（cm）、体重（kg）数据，得到体重关于身高的回归方程=0.85x﹣85，用来刻画回归效果的相关指数R2=0.6，则下列说法正确的是（ ）

A．这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系 B．这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的 C．身高为170cm的学生体重一定为59.5kg

D．这些女学生的身高每增加0.85cm，其体重约增加1kg

4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=55，则a3+a8=（ ） A．5

B．

C．10 D．11

，b=（）

，c=ln，则a，b，c的大小关系是（ ）

5．设a=（）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b

6．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（ ）

A．2 B．4 C．8 D．16

sinx+cosx的图象向右平移

房东是个大帅哥 7．将函数f（x）=后得到函数g（x）的图象，

爱爱爱大大的则函数g（x）的图象的一条对称轴方程是（ ） A．x=

B．x=

C．x=﹣

D．x=﹣

8．若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（ ）

A．﹣1 B．﹣ C．﹣ D．﹣3

9．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，CD=6，AD=5，点E在梯形内，那么∠AEB为钝角的概率为（ ） A．

B．

C． D．

10．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该

类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（ ）

A．94.20元 B．240.00元 C．282.60元 D．376.80元

11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．

甲产品所需工时 2 4 乙产品所需工时 3 1 A设备 B设备 若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（ ） A．40万元 B．45万元 C．50万元 D．55万元

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的12．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=

（其中e是自然对数的底数，

e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，0） B．（﹣e，e） C．（﹣1，1） D．（0，+∞）

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则14．若等比数列{an}的公比为2，且a3﹣a1=6，则15．有下列四个命题：

①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两个平面平行； ④垂直于同一平面的两条直线平行．

其中正确的命题有 （填写所有正确命题的编号）．

16．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，m），则m= ．

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣cos（A+

）=

．

）﹣

+

+…+

?

= ．

= ．

（1）求角A的大小； （2）若a=

，sin2B+cos2C=1，求b，c．

18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书的等待时间进行调查，得到下表： 甲图书馆 借书等待时间T1（分 1 2 3 4 5 房东是个大帅哥 爱爱爱大大的钟） 频数 乙图书馆 借书等待时间T2（分钟） 频数 1000 500 2000 1250 250 1 2 3 4 5 1500 1000 500 500 1500 （1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；

（2）以表中等待时间的学生人数的频率为概率，若某同学希望借书等待时间不超过3分钟，请问在哪个图书馆借更能满足他的要求？

19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．

（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；

（2）当D、E分别为线段VA、VC上的中点，且BC=1，CA=三棱锥A﹣BDE的体积．

，VC=2时，求

20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l与x轴不垂直，与椭圆相交于不同于P的两点A，B，直线PA，PB分别交y轴于M，N，若

=

（其中O为坐标原点），直线l是否过定点？

若不过定点，说明理由，若过定点，求出定点的坐标． 21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．

（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，求函数f（x）的最大值；

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的=fx0f（Ⅱ）设g（x）（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：（x0）+1+ax02＞0．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为

（θ为参数），设E

的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线l的极坐标方程；

P是l上异于原点O的点，（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R． （1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；

（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．

房东是个大帅哥

爱爱爱大大的

四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊

试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．已知i为虚数单位，则复数

=（ ）

A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：故选：B．

2．已知集合A={x|x2+4≤5x，x∈R}，B={y|y＞2}，则A∩B=（ ） A．（2，+∞） B．（4，+∞） C．（2，4] D．[2，4] 【考点】交集及其运算．

【分析】通过二次不等式求出集合A，然后求解交集．

【解答】解：∵集合A={x|x2+4≤5x，x∈R}={x|1≤x≤4}，B={y|y＞2}， ∴A∩B={x|2＜x≤4}=（2，4]． 故选C．

3．从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高（cm）、体重（kg）数据，得到体重关于身高的回归方程=0.85x﹣85，用来刻画回归效果的相关指数R2=0.6，则下列说法正确的是（ ）

A．这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系 B．这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的 C．身高为170cm的学生体重一定为59.5kg

D．这些女学生的身高每增加0.85cm，其体重约增加1kg

房东是个大帅哥 =．

爱爱爱大大的【考点】线性回归方程．

【分析】根据回归方程=0.85x﹣85，且刻画回归效果的相关指数R2=0.6， 判断这些女学生的体重和身高具有线性相关关系， 这些女学生的体重差异有60%是由身高引起， 计算x=170时的即可预测结果，

计算身高每增加0.85cm时体重约增加0.85×0.85=0.7225kg．

【解答】解：根据回归方程=0.85x﹣85，且刻画回归效果的相关指数R2=0.6， 所以，这些女学生的体重和身高具有线性相关关系，A错误； 这些女学生的体重差异有60%是由身高引起，B正确； x=170时， =0.85×170﹣85=59.5，

预测身高为170cm的学生体重为59.5kg，C错误；

这些女学生的身高每增加0.85cm，其体重约增加0.85×0.85=0.7225kg，D错误．

故选：B．

4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=55，则a3+a8=（ ） A．5

B．

C．10 D．11

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】利用等差数列前n项和公式得到S10=5（a3+a8），由此能求出a3+a8的值．

【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S10=55， ∴S10=

解得a3+a8=11． 故选：D．

5．设a=（）

，b=（）

，c=ln，则a，b，c的大小关系是（ ）

=

=5（a3+a8）=55，

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b 【考点】对数值大小的比较．

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解． 【解答】解：∵0＜a=（）

＜b=（）

房东是个大帅哥 =，

爱爱爱大大的c=ln＜ln1=0， ∴b＞a＞c． 故选：B．

6．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（ ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【考点】程序框图．

【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果． 【解答】解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2， 第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3， 第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4， 第四次循环，a=4＞3，输出b=16， 故选：D．

7．将函数f（x）=

sinx+cosx的图象向右平移

后得到函数g（x）的图象，

则函数g（x）的图象的一条对称轴方程是（ ） A．x=

B．x=

C．x=﹣

D．x=﹣

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】将函数化简，通过向右平移数的对称轴方程即可求解． 【解答】解：函数f（x）=2sin（x﹣

+

sinx+cosx=2sin（x+）=g（x），

），图象向右平移

后得：

后得到函数g（x）的图象，根据正弦函

）=2sin（x﹣

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的由x﹣=k，k∈Z， ，

．

可得：x=k

当k=﹣1时，可得一条对称轴方程为x=故选D．

8．若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（ ）

A．﹣1 B．﹣ C．﹣ D．﹣3

【考点】直线和圆的方程的应用；过两条直线交点的直线系方程． 【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可． 【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心（1，﹣2），

若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心， 可得﹣2=k﹣1， 解得k=﹣1． 故选：A．

9．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，CD=6，AD=5，点E在梯形内，那么∠AEB为钝角的概率为（ ） A．

B．

C． D．

【考点】几何概型．

【分析】本题为几何概型，由题意以AB为直径半圆内的区域为满足∠AEB为钝角的区域，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．

【解答】解：以AB为直径半圆内的区域为满足∠AEB为钝角的区域， AB=4，故半圆的面积是2π，梯形ABCD的面积是25， ∴满足∠AEB为钝角的概率为p=

．

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的故选：A．

10．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该

类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（ ）

A．94.20元 B．240.00元 C．282.60元 D．376.80元

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图可知：该几何体为圆柱的． 【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆柱的． ∴体积V=

∴该椅子的建造成本约为=故选：C．

11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．

．

×240≈282.60元．

甲产品所需工时 2 4 乙产品所需工时 3 1 A设备 B设备 若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（ ）

房东是个大帅哥

爱爱爱大大的A．40万元 B．45万元 C．50万元 D．55万元 【考点】简单线性规划的应用．

【分析】先设甲、乙两种产品月产量分别为x、y件，写出约束条件、目标函数，欲求生产收入最大值，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解． 【解答】C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，

约束条件是

目标函数是z=0.4x+0.3y

由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分

由z=0.4x+0.3y，结合图象可知，z=0.4x+0.3y在A处取得最大值， 由

可得A（50，100），

此时z=0.4×50+0.3×100=50万元， 故选：C．

12．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，

e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，0） B．（﹣e，e） C．（﹣1，1） D．（0，+∞） 【考点】分段函数的应用．

【分析】由题意可得f（f（x））=2，有5个解，设t=f（x），f（t）=2，当x＞0时，利用导数求出函数的最值，得到f（t）=2在[1，+∞）有2个解，

，当x＜0时，根据函数恒过点（0，3），分类讨论，即可求出当k＞0时，f（t）=2时有3个解，问题得以解决．

【解答】解：函数f（x）为“复合5解“， ∴f（f（x））=2，有5个解， 设t=f（x）， ∴f（t）=2，

∵当x＞0时，f（x）=∴f（x）=

，

=

，

当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， ∴f（x）min=f（1）=1， ∴t≥1，

∴f（t）=2在[1，+∞）有2个解，

当x≤0时，f（x）=kx+3，函数f（x）恒过点（0，3）， 当k≤0时，f（x）≥f（0）=3， ∴t≥3 ∵f（3）=

＞2，

∴f（t）=2在[3，+∞）上无解， 当k＞0时，f（x）≤f（0）=3，

∴f（t）=2，在（0，3]上有2个解，在（∞，0]上有1个解，

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的综上所述f（f（x））=2在k＞0时，有5个解， 故选：D

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得AD=BD=5，即

AB=10，再由勾股定理可得AC，再由向量数量积的定义，计算即可得到所求值．

? = 32 ．【解答】解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5， 可得AD=BD=5，即AB=10， 由勾股定理可得AC=则

?=|

|?|

=8，

=32．

|?cosA=5×8×

故答案为：32．

14．若等比数列{an}的公比为2，且a3﹣a1=6，则【考点】数列的求和．

【分析】等比数列{an}的公比为2，且a3﹣a1=6，可得a1（22﹣1）=6，解得a1．可得an=2n．再利用等比数列的求和公式即可得出． 【解答】解：等比数列{an}的公比为2，且a3﹣a1=6， ∴a1（22﹣1）=6，解得a1=2．

房东是个大帅哥 ++…+= 1﹣ ．

爱爱爱大大的∴an=2n． 则

+

+…+

=

+…+

=

=1﹣

．

故答案为：1﹣

．

15．有下列四个命题：

①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两个平面平行； ④垂直于同一平面的两条直线平行．

其中正确的命题有 ②④ （填写所有正确命题的编号）． 【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】利用正方体中的线面、面面、线线位置关系进行判定．， 【解答】解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中， 对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；

对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确； 对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错； 对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确． 故答案为：②④

16．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，m），则m= 1或﹣1 ． 【考点】抛物线的简单性质．

【分析】利用抛物线的焦点弦公式，求得A点坐标，分类，分别求得线段AF为

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的直径的圆的圆心与直径，利用两点之间的距离公式即可求得m的值． 【解答】解：抛物线C：y2=2x的焦点为F（，0），设A（x，y）， 由抛物线的焦点弦公式可知：|AF|=x+=x+=，则x=2， 则y=±2，则A（2，2）或A（2，﹣2），

当A点坐标（2，2），以线段AF为直径的圆圆心M（，1），半径为， 经过点B（0，m），则丨BM丨=， 即

=，解得：m=1，

同理A点坐标（2，﹣2），以线段AF为直径的圆圆心M（，﹣1），半径为，

经过点B（0，m），则丨BM丨=，

=，解得：m=﹣1，

故m为1或﹣1， 故答案为：1或﹣1．

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣cos（A+

）=

．

）﹣

（1）求角A的大小； （2）若a=

，sin2B+cos2C=1，求b，c．

【考点】余弦定理．

【分析】（1）由诱导公式、两角差的正弦、余弦函数化简已知的等式，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角A的大小；

（2）由二倍角余弦公式的变形化简sin2B+cos2C=1，由正弦定理化简后，由条件和余弦定理列出方程求出b，c的值． 【解答】解：（1）因为sin（A﹣所以sin（A﹣

）﹣cos（A﹣

）﹣cos（A+）=

，

）=

，

房东是个大帅哥

爱爱爱大大的则sinA﹣cosA﹣（cosA+

，

；

sinA）=，

化简得cosA=

又0＜A＜π，则A=

（2）因为sin2B+cos2C=1，所以sin2B+1﹣2sin2C=1， 即sin2B=2sin2C，

由正弦定理得，b2=2c2，则b=又a=

c，

，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，

c2×

，解得c=1，

则5=2c2+c2﹣2则b=

c=

．

18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书的等待时间进行调查，得到下表： 甲图书馆 借书等待时间T1（分钟） 频数 乙图书馆 借书等待时间T2（分钟） 频数 1000 500 2000 1250 250 1 2 3 4 5 1500 1000 500 500 1500 1 2 3 4 5 （1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；

（2）以表中等待时间的学生人数的频率为概率，若某同学希望借书等待时间不超过3分钟，请问在哪个图书馆借更能满足他的要求？ 【考点】众数、中位数、平均数．

【分析】（1）分别求出T1和T2的平均数，判断结论即可；

（2）设事件A为：“在甲图书馆借书的等待时间不超过3分钟”，设事件B为“在

乙图书馆借书的等待时间不超过3分钟”，分别求出P（A）和P（B），比较即可．

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的【解答】解：（1）由题意得：T1的平均数为： =

同理，可得T2的平均数为： =

=2.85， =2.9，

故，甲图书馆借书的平均等待时间是2.9分钟， 乙图书馆借书的平均等待时间是2.85分钟；

（2）设事件A为：“在甲图书馆借书的等待时间不超过3分钟”， 则P（A）=P（T1≤3）=P（T1=1）+P（T1=2）+P（T1=3）=设事件B为“在乙图书馆借书的等待时间不超过3分钟”， 则P（B）=P（T2≤3）=P（T2=1）+P（T2=2）+P（T2=3）=故P（B）＞P（A），

由上可知，在乙图书馆借书的总等待时间不超过3分钟的概率更高一些， 故在乙图书馆借更能满足该同学的要求．

19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．

（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；

++ =0.6；

++ =0.7，

（2）当D、E分别为线段VA、VC上的中点，且BC=1，CA=三棱锥A﹣BDE的体积．

，VC=2时，求

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

【分析】（1）当DE⊥平面VBC时，DE⊥VC，推导出VC⊥AC，从而DE∥AC，由此能证明直线DE∥平面ABC．

（2）三棱锥A﹣BDE的体积为VA﹣BDE=VB﹣ADE，由此能求出三棱锥A﹣BDE的

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的体积．

【解答】解：（1）直线DE∥平面ABC． 证明如下：

∵VC?平面VBC，∴当DE⊥平面VBC，DE⊥VC， ∵AC?平面ABC，VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC， ∵VC，DE，AC?平面VAC，∴DE∥AC， ∵AC?平面ABC，DE?平面ABC， ∴直线DE∥平面ABC．

（2）VC⊥平面ABC，∴VC⊥BC，

又BC⊥AC，在平面VAC内，VC∩AC=C，∴BC⊥平面VCA， ∴三棱锥A﹣BDE的体积为VA﹣BDE=VB﹣ADE=

，

，

∵D，E分别是VA，VC上的中点，∴DE∥AC，且DE=AC=∴DE⊥VC，S△ADE=S△CDE=

=

，

=

=

∴三棱锥A﹣BDE的体积VA﹣BDE=VB﹣ADE=

20．已知椭圆

+

．

=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l与x轴不垂直，与椭圆相交于不同于P的两点A，B，直线PA，PB分别交y轴于M，N，若

=

（其中O为坐标原点），直线l是否过定点？

若不过定点，说明理由，若过定点，求出定点的坐标． 【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．

【分析】（Ⅰ）由已知可得

，解得a2，b2．

（Ⅱ）设直线AB的方程：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2）．

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的由

，可得（4k2+1）x2+8ktx+（4t2﹣8）=0．

△=16（8k2﹣t2+2）＞0，

写出直线PA、的方程，求出M、N 坐标，由（x1+x2）+8t=0．

把①代入②化简得（t+2）（2k+t﹣1）=0．得t．

=

．

得（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）

【解答】解：（Ⅰ）由已知可得

，解得a2=8，b2=2．

∴椭圆的方程为：．

（Ⅱ）设直线AB的方程：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2）． 由

，可得（4k2+1）x2+8ktx+（4t2﹣8）=0．

△=16（8k2﹣t2+2）＞0，

…①

直线PA的方程，∴M（0，）

同理N（0，）．

由=得，

?（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0…② 把①代入②化简得（t+2）（2k+t﹣1）=0． 因为直线不过点P，∴2k+t﹣1≠0，∴t=﹣2 故直线l是否过定点Q（0，﹣2）

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．

（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，求函数f（x）的最大值；

=fx0f（Ⅱ）设g（x）（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：（x0）+1+ax02＞0．

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（I）令f′（1）=﹣1解出a，得出f（x）的解析式，在利用导数判断f（x）的单调性，得出最值；

（II）令g′（x）=0有解且x0为g（x）的极大值点可得出a与x0的关系和x0的范围，令h（x）=xf（x）+1+ax2，判断h（x）的单调性即可得出结论． 【解答】解：（I）f′（x）=﹣2a，

∵f（x）的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0， ∴f′（1）=1﹣2a=﹣1，即a=1． ∴f（x）=lnx﹣2x，f′（x）=令f′（x）=0得x=， 当0

时，f′（x）＞0，当x

时，f′（x）＜0， ，

∴f（x）在（0，]上单调递增，在（，+∞）上单调递减， ∴f（x）的最大值为f（）=﹣1﹣ln2． （II）g（x）=lnx﹣2ax+x2，g′（x）=x+﹣2a=令g′（x）=0得x2﹣2ax+1=0，

①当△=4a2﹣4≤0即﹣1≤a≤1时，x2﹣2ax+1≥0恒成立，即g′（x）≥0， ∴g（x）在（0，+∞）单调递增，∴g（x）无极值点，不符合题意； ②当△=4a2﹣4＞0时，方程g′（x）=0有两解x1，x0， ∵x0是g（x）的极大值点，∴0＜x0＜x1， 又x1x0=1，∴x1+x2=2a＞0，∴a＞1，0＜x0＜1．

，

房东是个大帅哥

爱爱爱大大的又g′（x0）=x0+

﹣2a=0，∴a=．

∴x0f（x0）+1+ax02=x0lnx0﹣设h（x）=xlnx﹣∴当0＜x＜

，

，

，则h′（x）=﹣x2++lnx，h″（x）=﹣3x+=

时，h″（x）＜0， ，+∞）上单调递减，

时，h″（x）＞0，当x

）上单调递增，在（）=ln

＜0，

∴h′（x）在（0，∴h′（x）≤h′（

∴h（x）在（0，1）上单调递减， ∴h（x0）＞h（1）=0，即x0lnx0﹣∴x0f（x0）+1+ax02＞0．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为

（θ为参数），设E

＞0，

的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线l的极坐标方程；

P是l上异于原点O的点，（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（1）由双曲线E的参数方程求出双曲线E的普通方程为而求出直线l在直角坐标系中的方程，由此能求出l的极坐标方程．

（2）由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l的交点（异于原点O），线段AF为圆C的直径，A是过F

．从

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的与l垂直的直线与y轴的交点，从而C的半径为2，圆心的极坐标为（2，由此能求出点P的极坐标．

【解答】解：（1）∵双曲线E的参数方程为

（θ为参数），

），

∴，，

∴==1，

．

，其过原点，倾斜角为

，

∴双曲线E的普通方程为

∴直线l在直角坐标系中的方程为y=∴l的极坐标方程为

．

（2）由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l的交点（异于原点O）， ∵AO⊥OF，∴线段AF为圆C的直径， 由（Ⅰ）知，|OF|=2，

又A是过F与l垂直的直线与y轴的交点， ∴∠AFO=

，|AF|=4，

），

于是圆C的半径为2，圆心的极坐标为（2，∴圆C的极坐标方程为此时，点P的极坐标为（4cos（

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．

， ），

），即（2，）．

（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；

（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．

【分析】（1）当a=﹣2时，分类讨论，即可求不等式f（x）≤2x+1的解集；

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，求出左边的最大值，即可求a的取值范围．

【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）≤2x+1为|x﹣2|﹣2x+3≤0． x≥2时，不等式化为x﹣2﹣2x+3≤0，即x≥1，∴x≥2； x＜2时，不等式化为﹣x+2﹣2x+3≤0，即x≥，∴≤x≤2， 综上所述，不等式的解集为{x|x≥}；

（2）x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，即|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立， ∵|a+a|﹣|x+1|≤|a﹣1|， ∴|a﹣1|≤2a，∴

．

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的

4月5日

房东是个大帅哥

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