振动与波动部分测验（答案）

基础物理（II）第9、10章测验试题

一、单选题：（每题4分，共40分）

1、 一个质点作简谐运动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为?且向x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ ）

A，2

题5-１ 图

分析与解：（b）图中旋转矢量的矢端在x 轴上投影点的位移为－A/2，且投影点的运动方向指向Ox 轴正向，即其速度的x分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（B）．

2、 一简谐运动曲线如图所示，则运动周期是（ ）

（A） 2.62s （B）2.40s （C）2.20s （D）2.00s

b

分析与解： 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为A，且向

2x轴正方向运动，其相应的旋转矢量图（b），由旋转矢量法可知初始相位为??。

3振动曲线上给出质点从A处运动到x?0处所需时间为1s，由

2对应旋转矢量图可知相应的相位差：

5??????，

326??则角频率为：??周期：T?2??

??5??rad?s?1， ?t6b

?2.40s，故选（B）.

3、 两个同周期简谐运动曲线如图（a）所示，x1的相位比x2 的相位（ ） （A） 落后 （B）超前 （C）落后π （D）超前π

π2π2分析与解：t=0时x1在x轴上位移为零；而t=0时x2的位移为负的最大，由此作出相应的旋转矢量图（b），即可得到答案为（b）．

4、 两个同振动方向，同频率，振幅均为A的简谐运动合成后，振幅仍为A，则这两个简谐运动的相位差为（ ）

（A）60o （B）90o （C）120o （D）180o

分析与解：作旋转矢量图可知，只有当两个简谐运动1和2的相位差为120时，合成后的振幅3仍为A。正确答案是（C）.

o5、 图（a）表示t ＝0 时的简谐波的波形图，波沿x 轴正方向传播；图（b）为一质点的振动曲线．则图（a）中所表示的x ＝0 处振动的初相位与图（b）所表示的振动的初相位分别为（ ）

（Ａ）均为零; （Ｂ） 均为

ππππππ; （Ｃ）均为?; （D） 与?; （Ｅ）?与 222222分析与解：本题给了两个很相似的曲线图，但本质却完全不同．求解本题要弄清振动图和波形图不同的物理意义．图（a）描述的是连续介质中沿波线上许许多多质点振动在t 时刻的位相状态．其中原点x=0处质点位移为零，其运动方向由图中波形状态和波的传播方向可以知道是沿y 轴负向(它将继承前一个质点的状态)，利用旋转矢量法可以求出该质点振动的初相位为π/2．

图（b）是一个质点的振动曲线图，该质点在t＝0 时位移为0，t ＞0 时，质点向y 轴正向运动，故由旋转矢量法可判知初相位为－π/2。所以答案为（D）．

6、一横波以速度u沿x轴负方向传播，t时刻波形图如图（a）所示，则该时刻各点的状态（ ）。

Ａ）A点相位为?； Ｂ）B点静止不动； C）C点相位为

3π； D）D点向上运动； 2分析：波沿x轴负方向传播，标出各质点运动方向，A、B、D处质点均向y轴负向运动，且B处质点处在运动速度最快的位置，因此答案（B）（D）不对。

A处质点位于正最大位移处；C处质点位于平衡位置，且向y轴正方向运动，画出它

图a

们的旋转矢量图：

如旋转矢量图所示，A、C

点的相位分别为0和3π，故答案为（C）.

2

7、 如图所示，两列波长为λ的相干波在点P 相遇．波在点S1 振动的初相是φ1 ，点S1 到点P的距离是r1 ．波在点S2的初相是φ2 ，点S2 到点P 的距离是r2 ，以k 代表零或正、负整数，则点P 是干涉极大的条件为（ ）。

?A?r2?r1?k?;?B??2??1?2k?;?C??2??1?2??r2?r1?/??2k?;?D??2??1?2??r1?r2?/??2k?

分析与解：干涉极大的条件为两分振动的相位差Δ?2kπ，而两列波传到P 点时的两分振动相位差为：

Δ??2??1?2π?r2?r1?/???2??1?2?(r1?r2)/?故选项（D）正确．

8、 在波长为?的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为（ ）

（A）

?4 （B）

?2 （C）

3? 4（D）?

分析与解： 驻波方程为：其中2Acos2?y?2Acos2?x??cos2??t，

x?是其波线上各点振动的振幅。显然，当

x??k?2,k?0,1,2?时，振幅极大，称为驻波的波腹，因此

?2相邻波腹间距离为

。正确答案（B）.

9、当波在弹性介质中传播时，介质中质元的最大形变量发生在（ ）. (A)质元离开其平衡位置最大位移处； (B)质元离开其平衡位置A/2处；(C)质元离开平衡位置A/A2处； (D)质元在平衡位置处（A为振幅）；

?y分析：由波动时的形变因子?x知，平衡位置处形变最大，

所以（D正确）。

10、一弹簧振子作简谐运动，当位移为振幅的一半时，其动能为总能量

的（ ）。

(A)1/2; (B)1/2; (C) 3/2; (D)1/4; (E)3/4;

分析：由旋转矢量图知，当位移为振幅的一半时，位相为?/3。

再由振动动能与总能量公式的比值：

1mA2?2sin2(?t??)3232?2?sin()?()?221mA?3242 所以（ E）是正确。

二、应用题：（每题8分，共40分）

1、如图（a）所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1、k2 ．当物体在光滑斜面上振动时．（1） 证明其运

动仍是简谐运动；（2） 求系统的振动频率．

分析： 要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动动力学方程）．为此，建立如图（b）所示的坐标．设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O，

由受力分析可知，沿Ox 轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力．利用“串联时各弹簧受力相等”的结论，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率?．

证：设物体平衡时（在0点），两弹簧伸长分别为x1、x2，则由物体受力平衡，有： mgsin??k1x1?k2x2 （1）

?，即相当物体沿x 轴移动位移x时，两弹簧又分别被拉伸x1?和x2对于平衡位置总位移 x??x2?．则物体受力为： ?x1???mgsin??k1?x1?x1?? （２）F?mgsin??k2?x2?x2

将式（1）代入式（2）得

F?k2x2?k2(x2?x)?k1x1?k1(x1?x)??k2x?2??k1x1? （３）

可见，物体在任意位置时受力F与位移x的关系为正比反向，满

'2'1?足回复力性质。由式（3）得x1???F/k2，??F/k1、x2??x2?，则得： 而总伸长量x?x1F??kx???k1k2/?k1?k2??x

式中k?k1k2/?k1?k2?为常数（串联弹簧公式）。可见，系统

所受合力是一个线性回复力，则物体作简谐运动，振动频率为：

11v?ω/2π?k/m?k1k2/?k1?k2?m2π2π

讨论：（1）由本题的求证可知，斜面倾角θ 对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响．事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动．而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的

原因．

（2）如果振动系统如图（c）（弹簧并联）或如图（d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动

1频率均为v?2π?k1?k2?/m，读者可以一试．通过这些例子

可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的．

*2、 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A＝2.0 ×10-2 m，周期 T＝0.50ｓ．当t＝0 时，（1） 物体在正方向端点；（2） 物体在平衡位置、向负方向运动；（3） 物体在x ＝1.0×10-2m 处， 向负方向运动； （4） 物体在x＝-1.0×10-2 m处，向正方向运动．求以上各种情况的简谐运动方程（分别用解析法和旋转矢量法）．

分析：在振幅A 和周期

T 已知的条件下，确定

初相φ是求解简谐运动方程的关键．初相的确定通常有两种方法．

（1） 解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t ＝0 时，

x ＝x0 和v ＝v0 来确定φ值． （2）旋转矢量法：如图（a）所示，将质点P 在Ox 轴上振动的初始位置x0 和速度v0 的方向与旋转矢量图相对应来确定φ．旋

转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用．

?1-2

解：由题知A ＝2.0 ×10 m，??2?/T?4πs，求初相φ。

解析法：根据简谐运动方程：x当t?Acos??t???，

?0时 有初位移 x0?Acos??t???，

初速度v0??A?sin??t???．

当（1）t=0，x0?A时， ，则?1?0；

（2）t=0，xπ0?0时，cos?2?0，?2??2，因物体向负方

向运动v?π0?0，故取2?2；

（3）t=0，x?20?1.0?10m时，cos?3?0.5，由v，取?π0?03?3；

（4）t=0，x?20??1.0?10m时，cos?4??0.5，由v4π0?0，取?4?3．

??π3?3 ，

?4?π?π3 ，方法二旋转矢量法：（1） 物体在正方向端点；（2） 物体在平衡位置、向负方向运动；（3） 物体在x ＝1.0×10-2m 处， 向负方向运动； （4） 物体在x＝-1.0×10-2 m处，向正方向运动．分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（b）所示，它们

所对应的初相分别为：

4πππ?1?0 ，?2? ，?3? ， ?4?．

323振幅A、角频率ω、初相φ均确定后，则各相应状态下的运动方程为

?2x?2.0?10cos4πt（1）

?m?； （2）x?2.0?10?2cos?4πt?π/2??m?；

（3）x?2.0?10

?2cos?4πt?π/3??2?m?； （4）x?2.0?10cos?4πt?4π/3??m?

3、 图（a）为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线，且振幅A=2cm，求（1） 振动周期；（2） 加速度的最大值；（3） 运动方程．

分析： 根据

v-t 图可知

速度的最大值vmax ，由vmax

uv??743.7Hz 2?vu?vs（2） 声源（警车）与客车上的观察者作同向运动时,观察者收到的频率为：

u?v0??vv2?826.2Hz

u?vs

3、 波源作简谐运动，其运动方程为y?4.0?10?3cos240πt?m?，它所形成的波形以30ｍ·ｓ-1 的速度沿一直线传播．（1） 求波的周期及波长；（2） 写出波动方程．

分析：已知波源运动方程求波动物理量及波动方程，可先将运动方程与其一般形式y?Acos??t???进行比较，求出振幅A、角频率ω及初相φ0 ，而这三个物理量与波动方程的一般形式

y?Acos???t?x/u???0? 中相应的三个物理量是相同

的．再利用题中已知的波速u 及公式ω＝2πν＝2π／T 和 λ＝u T 即可求解．

解:（1） 由已知的运动方程可知，质点振动的角频率

ω?240πs?1．根据分析中所述，波的周期就是振动的周期，故有

T?2π/ω?8.33?10s

波长为: λ＝uT ＝0.25 ｍ,

（２）将已知的波源运动方程与简谐运动方程的一般形式比较后

?1ω?240πs可得A＝4.0×10m，，φ0 ＝0,故以波源为原点，

-3

?3以u=30ｍ〃ｓ 的速度沿x 轴正向传播的波的波动方程为：

-1

y?Acos???t?x/u???0??4.0?10?3cos?240πt?8πx?

4、一弦上的驻波方程式为

?m?

y?3.0?10cos?1.6πx?cos?550πt??2?m?

（1） 若将此驻波看成是由传播方向相反，振幅及波速均相同的两列相

干波叠加而成的，求它们的振幅及波速；（2） 求相邻波节之间的距离；（3） 求t ＝3.0 ×10-3 s 时位于x＝0.625 m 处质点的振动速度．

分析:（1）采用比较法．将本题所给的驻波方程，与驻波方程的一般形式相比较即可求得振幅、波速等．（2）由波节位置

x?(2k?1)?的表达式,可得相邻波节的距离．（3）质点的振4动速度可按速度定义v ＝dy/dt 求得． 解:（1）将已知驻波方程

y?3.0?10cos?1.6πx?cos?550πt??2?m?

与驻波方程的一般形式

y?2Acos?2πx/λ?cos?2πvt? 作比较，

可得两列波的振幅 A ＝1.5 ×10 m， 波长 λ＝1.25 m， 频率 ?＝275 Hz， 则波速 u ＝λ?＝343.8m〃s ．

（2） 相邻波节间的距离为：

-1

-2

?x?xk?1?xk??2?k?1??1??/4??2k?1??/4??/2?0.625m-3

（3） 在t ＝3.0 ×10 s 时，位于x＝0.625 m 处质点的振动速度为：

v?dy/dt??16.5πcos?1.6πx?sin?550πt???46.2m?s一、选择题

1．在双缝干涉实验中，两缝间距离为d，双缝与屏幕之间的距离为D (D>>d)。用波长为?的平行单色光垂直照射到双缝上。屏幕上干涉条纹中相邻暗纹之间的距离是( D )

(A) 2?D / d (B) ? d / D (C) dD / ? (D) ?D /d

?1

D??k?明纹?dx??(k?0,1,2.....)解： D???（2k?1)暗纹d2?在双缝干涉实验中，屏幕上干涉条纹中相邻暗纹间距是

?x?D? d2．在双缝干涉实验中，若单色光源S到两缝S1、S2距离相等，则观察屏上中央明条纹位于图中O处，现将光源S向下移动到示意图中的S′位置，则（ B ）

（A）中央明纹向上移动，且条纹间距增大 （B）中央明纹向上移动，且条纹间距不变

S1SS‘S2O（C）中央明纹向下移动，且条纹间距增大 （D）中央明纹向下移动，且条纹间距不变

解：如图示，由S发出光到达S1和S2光程相同，它们传到屏中央O上光程差?=0形成明纹。

光源移到S′时，分别到达S1和S2时出现光程差。为了保持原中央明条纹处光程差为0（补偿双缝前的光程差），中央明纹的位置会由Ｏ点上移

至O′处，使由S′沿S1、S2狭缝传到 O′处的光程差仍为0，屏上条纹位置上移。

间距?x??

3．如图所示，两个直径有微小差别的彼此平行的滚柱之间的距离为L，

D?不变（d为双缝间距）。 d? 夹在两块平面晶体的中间，形成空气劈形膜，当单色光垂直入射时，产生等厚干涉条纹，如果滚柱之

间的距离L变小，则在L范围内干涉条纹的（ C ）

L （A）数目减小，间距变大 （B）数目减小，间距不变 （C）数目不变，间距变小 （D）数目增加，间距变小 解

如果滚柱之间的距离L变小，但滚柱直径d未变，即相当于?变大，由图

R r ?sin???/2b?d/Ln上几何关系有：，

可知：在d不变情况下，若?变大，则b 和L’都变小，即条纹间距变小；

另：总条纹数为不变。

4．把一平凸透镜放在平玻璃上，构成牛顿环装置．当平凸透镜慢慢地向上平移时，由反射光形成的牛顿环 （ B ） (A) 向中心收缩，条纹间隔变小 ； (B) 向中心收缩，环心呈明暗交替变化 (C) 向外扩张，环心呈明暗交替变化 (D) 向外扩张，条纹间隔变大 解：

N?L?/b?2d/?n 当b和L’同时变下时，N

Δ?2d??2Δ?k?(k?1,2,?)明纹

当平凸透镜慢慢地向上平移时，对于视场中固定一点，光程差增大，说明原来外侧k级较大的干涉环条纹向中心移动。

而光程差改变，意味着中央条纹在明暗条纹中交替。

5. 在单缝夫琅禾费衍射实验中，若增大缝宽，其他条件不变，则中央明

条纹 （ A ） (A) 宽度变小 (B) 宽度变大． (C) 宽度不变，且中心强度也不变 (D) 宽度不变，但中心强度增大 解： 1(k?)?(k?0,1,?)暗纹

2 x1??f??bf

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