2018届江苏六市高三数学二模试卷（扬州、徐州、泰州、南通、淮安

2018届高三第二次调研测试

（扬州、徐州、泰州、南通、淮安、宿迁）

数学学科

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合U?? ?1，0，1，2，3 ?，A???1，0，2 ?，则eUA?▲． 2．已知复数z1?a?i，z2?3?4i，其中i为虚数单位．若

z1为纯虚数，则实数a的值为▲． z2100?上，其频率分布直方图如图 3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间?40，所示，则成绩不低于60分的人数为▲．

开始

S←1

频率

组距 i←1

0.030

i←i ? 1 0.025

0.015 S←S×5

0.010 i < 4 Y 0.005

N 40 50 60 70 80 90 100 成绩/分

输出S

（第3题）

4．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为▲． 结束 （第4题）

5．在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积

大于32 cm2的概率为▲． 6．在△ABC中，已知AB?1，AC?2，B?45?，则BC的长为▲．

y27．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线x??1有公共的渐近线，且经过

32点P?2，3，则双曲线C的焦距为▲．

8．在平面直角坐标系xOy中，已知角?，?的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点 A(1，2)，B(5，1)，则tan(???)的值为▲． 9．设等比数列?an?的前n项和为Sn．若S3，S9，S6成等差数列，且a8?3，则a5的值为 ▲．

b，c均为正数，且abc?4(a?b)，则a?b?c的最小值为▲． 10．已知a，

?x≤3，?11．在平面直角坐标系xOy中，若动圆C上的点都在不等式组?x?3y?3≥0，表示的平面

??x?3y?3≥0??数学参考答案及评分建议第1页（共16页）

区域内，则面积最大的为▲．

?e?x?1，x?0，?212．设函数f(x)??（其中e为自然对数的底数）有3个不同的零点， 3??x?3mx?2，x≤0则实数m的取值范围是▲．

????????BC?4，CD?2，DA?3，则AC?BD的值为▲． 13．在平面四边形ABCD中，已知AB?1，

x14．已知a为常数，函数f(x)?的最小值为?2，则a的所有值为▲．

3a?x2?1?x2

二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，设向量a??cos?，sin??，b???sin?，cos??，

c??1，3．

22（1）若a?b?c，求sin(???)的值；

??（2）设??5π，0???π，且a//?b?c?，求?的值．

6 16．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB ??AC，点E，F分别在棱BB1 ，CC1上（均异

A C 于端点），且∠ABE?∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．

求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；

F B （2）BC // 平面AEF．

E A1 C1 B1

（第16题）

数学参考答案及评分建议第2页（共16页）

17．（本小题满分14分）

2y2x如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆2?2?1(a?b?0)的短轴端点，P是

ab椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y?x?3时，线段PB1的长为42．

（1）求椭圆的标准方程； （2）设点Q满足：QB1?PB1，QB2?PB2．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值． y B1

Q

x O P

B2

（第17题） 18．（本小题满分16分）

将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿 虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为

圆柱的两个底面；

方案②：以l1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方 形（各边分别与l1或l2垂直）作为正四棱柱的两个底面．

（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；

（2）设l1的长为xdm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？

B l1

A l 2

C

（第18题）

数学参考答案及评分建议第3页（共16页）

19．（本小题满分16分）

设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q?1，d?0．

记ci?ai?bi（i???1，2，3，4）．

c2，c3不是等差数列； （1）求证：数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域； （2）设a1?1，q?2．若数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由． （3）数列c1， 20．（本小题满分16分）

设函数f(x)?x?asinx(a?0)．

（1）若函数y?f(x)是R上的单调增函数，求实数a的取值范围； （2）设a?1，g(x)?f(x)?blnx?1(b?R，b?0)，g?(x)是g(x)的导函数．

2① 若对任意的x?0，g?(x)?0，求证：存在x0，使g(x0)?0；

② 若g(x1)?g(x2)(x1?x2)，求证：x1x2?4b2．

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，A，B，C是⊙O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D．

B 求证：DB?DC?OD2?OA2．

A

D O E

C

（第21—A题）

数学参考答案及评分建议第4页（共16页）

B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

0)，B(3，0)，C(2，2)．设变换T1，T2对应的矩 在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，?10??20?阵分别为M??，求对△ABC依次实施变换T1，N?T2后所得图形的面积． ??01?，02????

C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

???2在极坐标系中，求以点P2，为圆心且与直线l：?sin??相切的圆的极坐标

33方程．

D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应 ．．．．．．．

????写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3?3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．

（1）求概率P?X?600?；

（2）求X的概率分布及数学期望E?X?． 23．（本小题满分10分） 已知(1?x)2n?1 （第22题）

?a0?a1x?a2x???a2n?1x22n?1，n?N．记Tn??(2k?1)an?k．

*k?0n（1）求T2的值；

（2）化简Tn的表达式，并证明：对任意的n?N*，Tn都能被4n?2整除．

数学参考答案及评分建议第5页（共16页）

2018届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合U?? ?1，0，1，2，3 ?，A???1，0，2 ?，则eUA?▲．

3? 【答案】?1，2．已知复数z1?a?i，z2?3?4i，其中i为虚数单位．若

z1为纯虚数，则实数a的值为▲． z2【答案】4

3100?上，其频率分布直方图如图 3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间?40，所示，则成绩不低于60分的人数为▲．

开始 【答案】30

S←1

频率 组距i←1

0.030

i←i ? 1 0.025

0.015 S←S×5

0.010 i < 4 Y 0.005

N 40 50 60 70 80 90 100 成绩/分

输出S

（第3题）

4．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为▲． 结束 【答案】125 （第4题）

5．在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积

大于32 cm2的概率为▲．

1

【答案】 36．在△ABC中，已知AB?1，AC?2，B?45?，则BC的长为▲．

【答案】2?6

2y27．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线x??1有公共的渐近线，且经过

32点P?2，3，则双曲线C的焦距为▲．

【答案】43

8．在平面直角坐标系xOy中，已知角?，?的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点 A(1，2)，B(5，1)，则tan(???)的值为▲． 【答案】9

79．设等比数列?an?的前n项和为Sn．若S3，S9，S6成等差数列，且a8?3，则a5的值为

??数学参考答案及评分建议第6页（共16页）

▲．

【答案】?6

b，c均为正数，且abc?4(a?b)，则a?b?c的最小值为▲． 10．已知a，【答案】8

?x≤3，?11．在平面直角坐标系xOy中，若动圆C上的点都在不等式组?x?3y?3≥0，表示的平面

??x?3y?3≥0区域内，则面积最大的为▲． 【答案】(x?1)2?y2?4

?e?x?1，x?0，?212．设函数f(x)??（其中e为自然对数的底数）有3个不同的零点， 3??x?3mx?2，x≤0则实数m的取值范围是▲．

??? 【答案】?1，????????ABCDAB?1，BC?4，CD?2，DA?313．在平面四边形中，已知，则AC?BD的值为▲．

【答案】10

14．已知a为常数，函数f(x)?【答案】4，1 4填空题要求：

第6题：答案写成2+3，复合根式也算正确。 第11题：题目要求“圆C的标准方程”，写成圆的一般方程不给分，不配方不给分。 第12题：写成m?1或者?mm?1?也算正确。

第14题：两解缺一不可，只有一个正确不给分。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，设向量a??cos?，sin??，b???sin?，cos??，

c??1，3．

22（1）若a?b?c，求sin(???)的值；

xa?x2?的最小值为?2，则a的所有值为▲．

31?x2??（2）设??5π，0???π，且a//?b?c?，求?的值．

6解：（1）因为a??cos?，sin??，b???sin?，cos??，c??1，3，

22所以a?b?c?1，

且a?b??cos?sin??sin?cos??sin(???)． ??2分

2 2

?c2，即a??2 a?b ??b??1，???4分

所以1?2sin(???)?1?1，即sin(???)??1．??6分

2（2）因为??5π，所以a??3，1．

622??因为a?b?c，所以a?b2??数学参考答案及评分建议第7页（共16页）

依题意，b?c??sin??1，cos??3．??8分

22因为a//?b?c?，所以?3cos??3?1?sin??1?0．??10分

2222??????化简得，1sin??3cos??1，所以sin??π?1．?? 12分

22232因为0???π，所以?π???π?2π．

333所以??π?π，即??π．?? 14分

236注意：1.a?b??cos?sin??sin?cos??sin(???)与a2 ??2 a?b ??b2 ??1，每个2分，没有先

后顺序。

2.不写“?π???π?2π”扣1分。

333 16．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB ??AC，点E，F分别在棱BB1 ，CC1上（均异

A C 于端点），且∠ABE?∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．

求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；

F B （2）BC // 平面AEF．

E A1 C1 B1

（第16题）

证明：（1）在三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1 // CC1． 因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1．?? 2分

又AE⊥BB1，AE?AF?A，AE，AF?平面AEF， 所以BB1⊥平面AEF．?? 5分

又因为BB1?平面BB1C1C，所以平面AEF⊥平面BB1C1C．?? 7分 （2）因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE?∠ACF，AB ??AC， 所以Rt△AEB ≌Rt△AFC． 所以BE ? CF．?? 9分 又由（1）知，BE ???CF．

所以四边形BEFC是平行四边形． 从而BC ?? EF．?? 11分

又BC?平面AEF，EF?平面AEF，（三个条件缺一不可） 所以BC // 平面AEF．?? 14分

注意：1.缺少“在三棱柱ABC?A1B1C1中”或者写成“由题意知”都不行，没有就扣掉7分，

采取“突然死亡法”，严格标准；

2.“5分点”中五个条件缺一不可，缺少任何一个条件扣掉该逻辑段以及本小题后续分值，共计5分。 3.“14分点”中三个条件缺一不可，缺少任何一个条件扣掉该逻辑段得分，共计3分。

??数学参考答案及评分建议第8页（共16页）

17．（本小题满分14分）

2y2x如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆2?2?1(a?b?0)的短轴端点，P是

ab椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y?x?3时，线段PB1的长为42． （1）求椭圆的标准方程； （2）设点Q满足：QB1?PB1，QB2?PB2．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．

P

解：设P?x0，y0?，Q?x1，y1?．

（1）在y?x?3中，令x?0，得y?3，从而b ? 3．?? 2分

2?x2y2?1，x2?x?3??2?9?1． 由?a得2?9a?y?x?3?y B1 Q OB2 （第17题）

x 2所以x0??6a2．?? 4分

9?a因为PB1?x0??y0?3??2x02226a，所以42?2?，解得a2?18． 29?a2yx所以椭圆的标准方程为??1．?? 6分 189（2）方法一：

y?3直线PB1的斜率为kPB1?0，

x02由QB1?PB1，所以直线QB1的斜率为kQB1??于是直线QB1的方程为：y??同理，QB2的方程为：y??x0． y0?3x0x?3． y0?3x0x?3．?? 8分 y0?32y0?9联立两直线方程，消去y，得x1?．?? 10分

x022x02y02x0y22x因为P?x0，y0?在椭圆???1，从而y0?9??． ?1上，所以

1892189x所以x1??0．?? 12分

2S?PB1B2x?0?2．?? 14分 所以

S?QB1B2x1方法二：

数学参考答案及评分建议第9页（共16页）

设直线PB1，PB2的斜率为k，k?，则直线PB1的方程为y?kx?3． 由QB1?PB1，直线QB1的方程为y??1x?3．

k22yxy?kx?3将代入??1，得2k2?1x2?12kx?0， 189k．?? 8分 因为P是椭圆上异于点B1，B2的点，所以x0?0，从而x0??1222k?122x02y02x0y22x因为P?x0，y0?在椭圆???1，从而y0?9??． ?1上，所以

18921892y0?3y0?3y0?91，得k???1．?? 10分 所以k?k??????22kx0x02x0??由QB2?PB2，所以直线QB2的方程为y?2kx?3．

?y??1x?3，?k，即x?6k．?? 12分 k联立?则x?6122k?12k2?1?y?2kx?3?k?122S?PB1B2x02k?1?2．?? 14分 所以??S?QB1B2x16k2k2?1 18．（本小题满分16分）

将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿 虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为

圆柱的两个底面；

方案②：以l1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方

形（各边分别与l1或l2垂直）作为正四棱柱的两个底面．

（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；

（2）设l1的长为xdm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？

B l1

A l 2

C

（第18题）解：（1）设所得圆柱的半径为rdm，

则?2πr?2r??4r?100， ?? 4分 解得r?52?π?1?2?π?1?．?? 6分

（2）设所得正四棱柱的底面边长为adm，

?a≤x，?a≤x，??22 则?即??? 9分

10020?a≤?4a，?a≤.xx??数学参考答案及评分建议第10页（共16页）

方法一：

??所得正四棱柱的体积V?a2x≤?????记函数p(x)????x3，0?x≤210，4??11分 400，x?210.xx3，0?x≤210，4 400，x?210.x? 则p(x)在0，210??上单调递增，在?210，??上单调递减，

??所以当x?210时，pmax(x)?2010．

所以当x?210，a?10时，Vmax?2010 dm3．?? 14分

方法二：

2a≤x≤20，从而a≤10．??11分

a 所得正四棱柱的体积V?a2x≤a220?20a≤2010．

a??所以当a?10，x?210时，Vmax?2010 dm3．?? 14分

答：（1）圆柱的底面半径为52?π?1?2?π?1? dm；

（2）当x为210时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．?? 16分 注意：

1.直接“由x?2x?x?100得，x?210时正四棱柱的体积最大”，只给结果得分，即

22分；

??2.方法一中的求解过程要体现V≤p(x)≤210，凡写成V?p(x)≤210的最多得5分， 方法二类似解答参照给分． 19．（本小题满分16分）

设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q?1，d?0．

记ci?ai?bi（i???1，2，3，4）．

c2，c3不是等差数列； （1）求证：数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域； （2）设a1?1，q?2．若数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由． （3）数列c1，解：（1）假设数列c1，c2，c3是等差数列，

则2c2?c1?c3，即2?a2?b2???a1?b1???a3?b3?．

因为b1，b2，b3是等差数列，所以2b2?b1?b3．从而2a2?a1?a3．??2分 又因为a1，a2，a3是等比数列，所以a22?a1a3． 所以a1?a2?a3，这与q?1矛盾，从而假设不成立．

c2，c3不是等差数列．??4分 所以数列c1，（2）因为a1?1，q?2，所以an?2n?1．

因为c22?c1c3，所以?2?b2???1?b2?d??4?b2?d?，即b2?d2?3d，?6分

2数学参考答案及评分建议第11页（共16页）

由c2?2?b2?0，得d2?3d?2?0，所以d??1且d??2．

又d?0，所以b2?d2?3d，定义域为?d?Rd??1，d??2，d?0?．??8分 （3）方法一：

设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1，

①?a1?b1?c1， ?②?a1q?b1?d=c1q1，则?2??10分 2?a1q?b1?2d=c1q1，③?aq3?b?3d=cq3.④?1111将①+③－2×②得，a1?q?1??c1?q1?1?，2222⑤

将②+④－2×③得，a1q?q?1??c1q1?q1?1?，⑥??12分 因为a1?0，q?1，由⑤得c1?0，q1?1． 由⑤⑥得q?q1，从而a1?c1．??14分 代入①得b1?0．

再代入②，得d?0，与d?0矛盾．

所以c1，c2，c3，c4不成等比数列．??16分

方法二：

ccc假设数列c1，c2，c3，c4是等比数列，则2?3?4．??10分

c1c2c3a?a2?da4?a3?dc?cc?c所以32?43，即3． ?a2?a1?da3?a2?dc2?c1c3?c2a?2a2?a1a4?2a3?a2两边同时减1得，3．??12分 ?a2?a1?da3?a2?d因为等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q?q?1?，所以

2a3?2a2?a1q?a3?2a2?a1??．

a2?a1?da3?a2?d又a3?2a2?a1?a1?q?1??0，所以q?a2?a1?d??a3?a2?d，即?q?1?d?0． ??14分

这与q?1，且d?0矛盾，所以假设不成立．

c2，c3，c4不能为等比数列．??16分 所以数列c1，注意：定义域为?d?Rd??1，d??2，d?0?，缺一不可，缺少一个或者写错一个均扣掉2分。

20．（本小题满分16分）

设函数f(x)?x?asinx(a?0)．

（1）若函数y?f(x)是R上的单调增函数，求实数a的取值范围； （2）设a?1，g(x)?f(x)?blnx?1(b?R，b?0)，g?(x)是g(x)的导函数．

2① 若对任意的x?0，g?(x)?0，求证：存在x0，使g(x0)?0；

② 若g(x1)?g(x2)(x1?x2)，求证：x1x2?4b2． 解：（1）由题意，f??x??1?acosx≥0对x?R恒成立，??1分

因为a?0，所以1≥cosx对x?R恒成立，

a因为?cosx?max?1，所以1≥1，从而0?a≤1．??3分

a数学参考答案及评分建议第12页（共16页）

（2）①g?x??x?1sinx?blnx?1，所以g??x??1?1cosx?b．

22x若b?0，则存在?b?0，使g??b??1?1cos?b?0，不合题意，

2222所以b?0．??5分

????取x0?e?3b，则0?x0?1．

?此时g?x0??x0?1sinx0?blnx0?1?1?1?blneb?1??1?0．

222所以存在x0?0，使g?x0??0．??8分

3x2?t，则t?1． x1由（1）知函数y?x?sinx单调递增，所以x2?sinx2?x1?sinx1． 从而x2?x1?sinx2?sinx1．??10分

因为g?x1??g?x2?，所以x1?1sinx1?blnx1?1?x2?1sinx2?blnx2?1，

22所以?b?lnx2?lnx1??x2?x1?1?sinx2?sinx1??1?x2?x1?．

22x2?x1所以?2b??0．??12分

lnx2?lnx1x2?x1下面证明?x1x2，即证明t?1?t，只要证明lnt?t?1?0???．

lntlnx2?lnx1t②依题意，不妨设0?x1?x2，令

?0在?1，设h?t??lnt?t?1?t?1?，所以h??t?????恒成立．

2ttt所以h?t?在?1，???单调递减，故h?t??h?1??0，从而???得证．

??t?1?2所以?2b?x1x2，即x1x2?4b2．??16分

注意：1.求导正确即给1分，f??x??1?acosx 。

2.（2）①中x0?e

?3b可以，x0?e?4b也可以。

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，A，B，C是⊙O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D． 求证：DB?DC?OD2?OA2． 证明：延长AO交⊙O于点E，

则DB?DC?DE?DA??OD?OE???OA?OD?．??5分

O 因为OE?OA， E 所以DB?DC??OA?OD???OA?OD??OA2?OD2． 所以DB?DC?OD2?OA2．??10分

B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

C

（第21—A题）

B

A D 数学参考答案及评分建议第13页（共16页）

0)，B(3，0)，C(2，2)．设变换T1，T2对应的矩 在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，?10??20?阵分别为M??，求对△ABC依次实施变换T1，N?T2后所得图形的面积． ??01?，02?????20??10??20?解：依题意，依次实施变换T1，T2所对应的矩阵NM????02???02?．?5分 01??????

?20??0??0??20??3??6??20??2??4?则???0???0?，?02??0???0?，?02??2???4?． 02??????????????????0)，B(3，0)，C(2，2)分别变为点A?(0，0)，B?(6，0)，C?(4，4)． 所以A(0，从而所得图形的面积为1?6?4?12．??10分

2

C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

???2在极坐标系中，求以点P2，为圆心且与直线l：?sin??相切的圆的极坐标

33方程．

解：以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy．

????则点P的直角坐标为1，3．??2分

????2将直线l：?sin??的方程变形为：?sin?cos???cos?sin??2，

333化为普通方程得，3x?y?4?0．??5分 所以P1，3到直线l：3x?y?4?0的距离为：2????4?3?2?2．

2???1?故所求圆的普通方程为?x?1??y?3??2?4．??8分

化为极坐标方程得，??4sin??π．??10分

6注意：结果写成?2?2?cos??23sin??0也算正确，不扣分。 D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

1?a?c已知a，b，c为正实数，且a?b?c?1，求证：≥2．

2ca?2b????证明：因为a，b，c为正实数，

1?a?c?a?2b?3c所以ca?2bca?2b?????a?c??2?b?c?ac?2bc? ≥2ac?4bcac?2bc a?b?c取“=”）．??10分 ?2（当且仅当

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应 ．．．．．．．

数学参考答案及评分建议第14页（共16页）

写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3?3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．

（1）求概率P?X?600?；

（2）求X的概率分布及数学期望E?X?．

解：（1）从3?3表格中随机不重复地点击3格，共有C39种不同情形． 则事件：“X?600”包含两类情形： 第一类是3格各得奖200元；

第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，

111其中第一类包含C34种情形，第二类包含C1?C4?C4种情形．

111C34?C1?C4?C4所以P?X?600???5．??3分 321C9 （第22题）

（2）X的所有可能值为300，400，500，600，700．

2C3C14141?C4?，P?X?400???24?2， 则P?X?300??3?3847C98421C92122C1C13051?C4?C4?C41?C4P?X?500????，P?X?700???6?3． 3384148442C9C9所以X的概率分布列为：

X P 所以E?X300 400 500 600 700 1 2 5 5 3 721142142??8分

1?400?2?500?5?600?5?700?3?500（元）． ??300?217142142??10分

111C34?C1?C4?C4?5，就得3分，不一定非常书写很详细； 注意：1.只要有P?X?600??321C92C3C14141?C4?，P?X?400???24?2， 2.P?X?300??3?3847C98421C92122C1C13051?C4?C4?C41?C4P?X?500????，P?X?700???6?3．每个正确给1分，3384148442C9C9都正确给5分。

23．（本小题满分10分） 已知(1?x)2n?1?a0?a1x?a2x???a2n?1x22n?1，n?N．记Tn??(2k?1)an?k．

*k?0n（1）求T2的值；

（2）化简Tn的表达式，并证明：对任意的n?N*，Tn都能被4n?2整除． 解：由二项式定理，得ai?Ci2n?1（i?0，1，2，?，2n+1）．

20?3C1（1）T2?a2?3a1?5a0?C55?5C5?30；?? 2分

数学参考答案及评分建议第15页（共16页）

?1?k（2）因为?n?1?k?Cn2n?1??n?1?k???2n?1?!

?n?1?k?!?n?k?!??2n?1???2n?!

?n?k?!?n?k?!?k??2n?1?Cn2n， ?? 4分

所以Tn???2k?1?an?k

k?0n?k???2k?1?Cn2n?1 k?0n?1?k???2k?1?Cn2n?1 k?0nn?1?k????2?n?1?k???2n?1???C2n?1 k?0n?2??n?1?k?Ck?0nn?1?k2n?1?1?k??2n?1??Cn2n?1

k?0n?2?2n?1??Ck?0nn?k2n?1?k??2n?1??Cn2n?1

k?0n1?22n?1 ?2?2n?1??1??22n?Cn2n???2n?1??22??2n?1?Cn2n． ?? 8分

n?1nnTn??2n?1?Cn2n??2n?1??C2n?1?C2n?1??2?2n?1?C2n?1． ?4n?2整除．?? 10分 因为Cn2n?1?N，所以Tn能被

注意：只要得出Tn??2n?1?Cn2n，就给8分，不必要看过程。

数学参考答案及评分建议第16页（共16页）

?1?k（2）因为?n?1?k?Cn2n?1??n?1?k???2n?1?!

?n?1?k?!?n?k?!??2n?1???2n?!

?n?k?!?n?k?!?k??2n?1?Cn2n， ?? 4分

所以Tn???2k?1?an?k

k?0n?k???2k?1?Cn2n?1 k?0n?1?k???2k?1?Cn2n?1 k?0nn?1?k????2?n?1?k???2n?1???C2n?1 k?0n?2??n?1?k?Ck?0nn?1?k2n?1?1?k??2n?1??Cn2n?1

k?0n?2?2n?1??Ck?0nn?k2n?1?k??2n?1??Cn2n?1

k?0n1?22n?1 ?2?2n?1??1??22n?Cn2n???2n?1??22??2n?1?Cn2n． ?? 8分

n?1nnTn??2n?1?Cn2n??2n?1??C2n?1?C2n?1??2?2n?1?C2n?1． ?4n?2整除．?? 10分 因为Cn2n?1?N，所以Tn能被

注意：只要得出Tn??2n?1?Cn2n，就给8分，不必要看过程。

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