高数小结与各年试题

昆明理工大学2006级高等数学[下]期末试卷 一、填空题（每小题3分，共30分）

?z2（1）设z?x?y?3xy（2）设z3322，则?x2?___________.

.

33?xy?yx，则全微分dz?________________23（3）曲线x?2t,y?3t,z?t在M(2,3,1)处的切线方程为： .

23（4）交换二次积分次序，则

?0dy?012yf(x,y)dx?_________________________.

（5）设有曲线：y?x的起点为（0，0），终点为（1，1）则曲线积分：L（6）设曲面?是锥面z?a?I??yds? .

x?y22(a?0)在柱面x?y?a222内部那一部分上侧，则曲面积

分

???(z?x?y)dS?22 .

f(x,y)?22f(x,x)?1,f(x,x)?x.则1具有连续偏导数，且

?2f2(x,x)?

（7）设

（8）当?? 时，(x?2y)dx?(?x?y)dy为某二元函数u(x,y)的全微分. (9) 微分方程yedx?edy?0的通解为

dy2xx(10) 微分方程dx22?6dydx2?9y?0的通解为

?z?x;?z?x22二．（7分）设

x?2y?z?3z?0,求..

三．（7分）利用拉格朗日乘数法求解问题：从斜边之长为l 的一切直 角三角形中，求有最大周长的直角三角形.

??xy22dxdy四 （7分）利用适当的坐标计算积分D围城的闭区域.

其中D 是由直线： x?2,y?x及曲线xy?1 所

333??xdydz?ydzdx?zdxdy,? I?五 （10分）利用高斯公式计算曲面积分：

- 1 -

其中?是曲面z?a?x?y上侧.

222六．(10分) 利用格林公式，计算曲线积分：

?(2x?y?4)dx?(5y?3x?6)dy,其中LL为三顶点分别为（0，0）、（3，0）和（3，2）的三角形正

向边界.

七．(10分) 求由抛物面

z?12(x?y)22与平面z?1 所围成空间闭区域内的立体的质

量，已知此立体的体密度为:?(x,y,z)?z.

八．(10分) 二阶常系数非齐次线性微分方程 y???y??6y?5x，求其通解.

九．（9分）设曲线积分L?23y?(x)dx?[?(x)?212x]ydy2与路径无关, 其中?(x)具有连续的一阶导1,数,且当其为起点在O（0，0）终点为B（1，1）的有向曲线时，该曲线积分值等于4求函数?(x). 昆明理工大学2007级高等数学[下]期末试卷

一、填空题（每小题3分，共30分）

du（1）设u?f(x,y,z),（2）设z?e（3）曲面

x2y?sinx，z?x?2,f具有一阶连续偏导数，则dx?

sin2y，则全微分dz

z?ez?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为

21（4）交换二次积分次序，则?（5）计算二重积分的值（6）曲线L为球面xdx?x1f(x,y)dy?

??4xydxdyD2? ，其中D:??0?x?1,??0?y?1

2?y2?z2?a与平面x?y相交的圆周，其中a?0，则曲线积分

??L2y2?zds?2

22x?y?（7）设曲面是在柱面

?a2 (a?0)上介于z??h;z?h(h?0)的部分，则曲面积分

I?

??ds??

- 2 -

（8）当a? 时，曲线积分L关. dy?(axy?ycosx)dx?(1?2ysinx?3xy)dy3222 与路径无

（9）微分方程dx?2y?be?x(b为常数)的通解为 dy2（10）微分方程dx2?9y?0的通解为

之和为12，求

dxdyu?xyz32二、（8分）已知三个正数

x,y,z的最大值.

2三、（8分）计算二重积分区域.

??Dsinxx的值，其中D是由直线

y?x及曲线

y?x所围成的闭

四、（10分）求旋转抛物面

z?2?x2?y2与锥面

z?x2?y2所围立体的体积.

五、（10分）求L?(2x?y?4)dx?(5y?3x?6)dy，其中L为顶点坐标分别是(0,0)，(3,0)，(3,2)的三角形的正向边界. 六、（10分）利用高斯公式计算曲面积分：

??(x?3?az)dydz?(y23?ax)dxdz?(z23?ay)dxdy2，其中?是曲面z?a?x22?y2的上侧

(a?0).

七、（10分）求二阶常系数非齐次线性微分方程

axy???4y??4y?e的通解（其中a为常数）.

y八、（10分）设(x?0)f(x)具有一阶连续导数，且f(?)?1，又x[sinx?f(x)]dx?f(x)dy?0 是全微分方程，求f(x).

z?z(u)u??(u)?九、（6分）已知，且

?xyp(t)dt，其中z?z(u)可微，??(u)连续，且??(u)?1，

- 3 -

p(t)连续，求

p(y)?z?x?p(x)?z?y.

昆明理工大学2008级高等数学[下]期末试卷一．填空题（每小题4分，共40分） 1.由曲线

y?1x与直线y?x及x?2围成的图形的面积为A,若以x为积分变量,面积A可用定积

分表示为A? . 2.设f(x,y)为连续函数，则交换二次积分次序后

?0dx?03.

1x2f(x,y)dy? .

22I??(x2?y2)ds?L ,其中L是圆弧

x?y?1,y?0.

I????x?y?z?dS??4.

，其中?为平面x?y?z?1在第一卦限中的部分.

5.设?为xoy面上的闭区域,取下侧, D表示?在xoy面的投影,将

I???P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dxdz?R(x,y,z)dxdy?化为D上的二重积分,则

I? .

??6. 已知级数n?1ex?Un?S,则级数n?1?(Un?Un?1)的和是 .

7.已知

?xn??,x?(??,??)n?0n!?xxln3? . ，则3?e8.当a?1时,级数9.全微分方程

?1?an?131n的敛散性为 .

222xydx?(1?3xy)dy?0的通解为 .

10.一阶线性非齐次方程:y??P(x)y?Q(x)的通解为

y?

.

- 4 -

二、计算下列各题(每小题5分，共10分) 1.求曲线

y?x2与x?y所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.

I???|y?x2|dxdy,D:|x|?1,0?y?1.D2.

三、（7分）计算三重积分

I?????x2?y2?z2dxdydz，其中?是由球面x2?y2?z2?2z所围成的闭区域.

I?(x?y)dx?(x?y)dy222??Lx?y?a(a?0)（按逆时针x2?y2，其中L为圆周

四、（7分）计算方向绕行）

I?五、(8分)计算曲面.

????x?2?y2dS?，其中?是锥面z?x2?y2及平面z?1所围成的区域的整个边界

I?六、(8分)利用高斯公式计算曲面积分

z?a2?x2?y2axdydz?(z?a)dxdy.222??x?y?z?其中?是曲面

的上侧.(a?0为常数）.

?n?1nx?n!分)设幂级数为n?0七、(8，求（1）收敛半径R及收敛区间，

（2）和函数S(x).

八、计算下列各题（每题6分 共12分） 1.如果可微函数2.求微分方程

f(x)满足关系式

f(x)??0xf(t)dt，求

f(x).

2xy???y??2y?2e的通解.

各年期末试卷参考解答

2006级高等数学[下]期末试卷参考解答及评分标准 填空题(每题3分,共30分)

- 5 -

x?2y?3?123324?9?z2.

（1）6x?6y2 （2）

dz?(3xy-y)dx+(x-3yx)dy，（3）3

I?12yy)dx??21 （4）交换二次积分的积分秩序有：

?0dy?0f(x,0dx?xf(x,y)dy2

(5) ?yds?3?2I?2a2?aL

?102xdx2. (6)

??dxdy?D .

?1 (7)

2 （注：对f(x,x2)?1两边对x求全导数有

f?x,x2)?f?2又已知f?21(2(x,x)2x?0,1(x,x)?x;?x?f?2?,x2)??12(x,x)2x?0?f2(x2)

（8）??2 （9）yex?C （10） y?(c3x1?c2x)e

二（7分）解：设

F(x,y,z)?x2?2y?z2?3z,则:Fx?2x,Fz?2z?3.(2分)

故z2xx?3?2z(2分)

再一次对x 求偏导数，得

?2z2(3?2z)?2x?2?z6?4z?4x2x3?2zx2?x2??x2分(3?2z)2?(3?2z)2?(6?4z)(3?2z)?8(3?2z)38z2??24z?18?8x23分(3?2z).(1)

三 （7分）解 设两直角边

x,y则周长x?y?l

且

x2?y2?l2

记F?x?y?l??(x2?y2?l2) （3分）

??Fx?1?2?x?0?Fy?1?2?y?0??x2?y2?l2 （2分）

得当

x?y?22l时，有最大周长 （2分）

- 6 -

四（7分）解：

??x222y2dxdy??221xdx?x112dy??1x(?1Dxyy)x1dx(4分)x?23?x)dx?(x4?x229

?1(x42)1?4.(3分)

五 （10分）解 :记?2221为曲面z?0;x?y?a下侧，（1分）

I???x3dydz?y3dzdx?z3dxdy???????(2分)则有：

????1?1

??x3dydz?y3dzdx?z3dxdy?0;(2分)?1

所以：

I???x3dydz?y3dzdx?z3dxdy???????????1?1????x3dydz?y3dzdx?z3dxdy(高斯公式)(3分)???1?3???(x2?y2?z2)dxdydz(球坐标)??5?3?2?46?a0d?`?2a0d??0rsin?dr?5(2分)

六（10分）解：

?P?Q?y??1,?x?3(3分)green公式(3分)?????(3?1)dxdy?4?32x(2分)330dx?0dy?4?2x0LD3dx?12(2分)

或法2：

?P?y??1,?Q?x?3green公式????(3?1)dxdy(由积分的几何意义)?12LD

七 （10分）解 ：由柱坐标：

M????zdV(2分)??2?1210d??20rdr?12zdz(4分)??2r?2?0d??20(z2r2)rdr2?2??2(rr502?8)dr?2?3.(4分)

- 7 -

八、（10分）解：先解得 r2?r?6??0?r1?3,r2??2 （2分）

故对应齐次方程的通解为y?c3x?2x1e?c2e （2分）

??0不是特征根， 设 y*?b0x?b1 代入原方程有 （2分）

?b50?6b0x?6b1?5x,?b0??56,,b1?36 （2分）

所以 非齐次方程的通解为：

y?c3x?2x1e?c2e?56x?536 （2分）

九（9分）解：因为曲线积分与路径无关，所以

?P32?y??Q?x,而P?2y?(x),Q?[?(x)?12x2]y?3y?(x)?(??(x)?x)y(3分)3?(x)???(x)?x???(x)?3?(x)?x

?(x)?e3x(?xe?3xdx?c)?e3x(?1?3x3?xde?c)?e3x(?1?3x?3x113x3xe?13?edx?c)??3x?9?ce(3分)(1)

记点 A(1,0),则

?32?(x)?12]ydy?0??10[?(1)?1OA?AB2y?(x)dx?[2x2]ydy?14(2分)??(1)?1?122??(1)?1

?(1)?1??4313?3代回（1）得

9?ce?c?9e,

?(x)??11?33x??1399e3x(1分)

2007级高等数学[下]期末试卷参考解答 2一、（1）

fx?fycosx?2xfz； （2）exsin2y(2xsin2ydx?2x2cos2ydy)；2（3）

2x?y?4； （4）

?1dy?2yf(x,y)dx； （5） 1 ； （6）2?a2；

7）4?ah；- 8 -

（

（8）a?2； （9）y?ce?2x?be?x； （10）y?C1cos3x?C2sin3x ?Fx?3x2y2z???0??F3y?2xyz???0??Fx3y2z????0二、[解]：.设F(x,y,z)?x3y2z??(x?y?y?12)，令??x?y?z?12，

解得：x?6,y?4,z?2，所以点(6,4,2)为唯一驻点，则所求最大值为6912.

sinxdxdy?三、[解]：

???10dx?xsinxx2?10(sinx?xsinx)dxDxxdy?

?[(x?1)cosx]110?(sinx)0?1?sin1

??x2?y2?x2?y2)dxdy四、[解]：投影区域为

D:x2?y2?1V，

??(2D

??2?250d??10(2?r?r)rdr?6?

?P五、[解]：

Pxy?x?y????Qxy?y?x???1?Q,?y,

?x?3

?(2x?y?4)dx?(5y?3x?6)dy?Q?y??P?x)dxdy???4dxdy?12由格林公式得L=

??(DD2或??30dx?3x04dy?12

六、[解]：补

?z?0,(x21：

?y2?a2)取下侧

I???(x3?az2)dydz?(y3?ax2)dxdz?(z3?ay2)dxdy?

???????????3(x2?y2?z2)dv???ay2dxdy???1?1?D?3?2??d??2a2?3255?129500d??r4sin?dr?0?0d??a0arsin?dr=6?a4?a5?20?a

?2x七、[解]：特征方程为：r2?4r?4?0，r1,2??2，所以

Y?(C1?C2x)e

- 9 -

当a??2时，y?Axe，

*2axA?12，通解为：

y?(C1?C2x)e?2x?12xe2?2x

1eax当a??2时，y*?AeaxA?1(a?2)，通解为：

2，

yxy?(C1?C2x)e?2x?(a?2)2

1xf(x)?sinxx八、[解]：因为

P(x,y)?[sinx?f(x)],???Q(x,y)?f(x)?P,由?y??Q?x得：

f?(x)?，

f(x)?1C)通解为：

x(?cosx?，又f(?)?1得C???1

f(x)?1cosx?所以：

x(???1)

九、[解]：设

F(u,x,y)?u??(u)??xyp(t)dt，所以：

Fu?1???(u),Fx??p(x),

?u

Fy?p(y)?p(x)?u，则?x1???(u)??p(y)，?y1???(u)

p(y)?z?up(x)?x?p(y)z?(u)?x?p(y)z?(u)1???(u) p(x)?z?(u)?u?y?p(x)z?p(x)z?(u)?p(y)?y1???(u)

p(y)?zp(x)?x?p(x)?z?y?p(y)z?(u)所以：1???(u)?p(x)z?(u)?p(y)1???(u)?0

2008级高等数学[下]期末试卷参考解答及评分标准

一、（每小题4分）1.

?21(x?1113x)dx. 2.

?0dy?yf(x,y)dx. 3.?.4. 2.

????R(x,y,0)dxdy.?(xln3)n5.

D6.

2S?U1.7.

n?0n!.8. 收敛. 9. x2y3?y?C.

10.

y?e??P(x)dx[?Q(x)e?P(x)dxdx?C].

- 10 -

21(x2?x4)dx??.???015x

21?1x2二、1.

V 5分

2I???|y?x|dxdy?D2.

?dx?(x?y)dy?0?1?1dx?2(y?x)dyx12?1115.

三、

I??02??d??2d??02cos?0?3sin?d???.58

1四、

I?a2??(x?y)dx?(x?y)dy??2La2??d?D??2?. I?x2?y2)ds?五、

??(??(x2?y2)ds?1?2

???(x2?y2)2d????(x2?y2)d??(1?2)??DD?2?0d??10r3dr2(1?2) I?1z?a)dxdy.六、a2??axdydz?(? 补

?1:z?0?x2?y2?a2?取下侧 I?1a2[)dxdy????axdydz?(z?a????axdydz?(z?a)dxdy]1?1

?1a2[(a?1)???dv?a??d?]?D ?a?3(5?2a)

??liman?1n?2n!n??a?limn??(n?1)!n?1?limn?2七、1.

nn??(n?1)2?0,?R???

收敛区间(??,??)； ?S(x)?n?1n2.设

?n?0n!x，

分

3分

6分

8分

4分

- 11 -

1

则

?0x?S(x)dx??n?1n!n?0?0x?xdx?n?xn?1n!?n?0?x?xnn!??xex(?e?xn?0?xnn?0n!

)xx?S(x)?(xe)?e(1?x) 8分 所以

八、1

f'(x)?f(x)f(0)?0?f(x)?Cex

又f(0)?，0?C?0f,x(?.) 0

2．微分方程的特征方程r2?r?2?0

其特征根为r1??2,r2?1，故对应齐次方程的通解为Y?C2x1e??C2ex 因为

f(x)?2e2x，??2不是特征方程的根，

故原方程的特解设为：

y*?Ae2x，代入原方程得

2xx4Ae2x?2Ae2x?2Ae2x?2e2x?2Ae?e2?A?12，

y*?12x2e

?Y?y*?Cx2x因此，原方程的通解为y1e?2x?C2e?12e

3分

6分

- 12 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/twx.html