金陵科技学院微积分B2知识点

微积分B2复习要点

一 题型

1.填空题( 3×7=21分)； 2.单项选择题(3×6=18分)； 3.计算题(51分)； 4.解答题(10分)

二 知识点

第七章 向量代数与空间解析几何

空间曲面的方程(平面、球面、柱面、旋转曲面)

例 求球心为点M0(x0,y0,z0)，半径为R的球面方程 例 平面直角坐标系中 x2?z2?4的图形是 圆 ，

空间直角坐标系中 x2?z2?4的图形是 圆柱面 。

例 XOZ面上x2?z2?4绕x轴旋转一周后的旋转体方程为 。

第八章 多元函数微分学

1.二元函数的定义域；

例1 求函数z=解 要使z=24-4x2-y2的定义域D.

4-4x2-y2有意义, 应有4-4x2-y2 0,

禳镲y22镲(x,y)x+ 1 1.故 D=睚即x+镲44镲铪y2例2 求z=ln(x-y)的定义域D.

解 要使z=ln(x-y)有意义, 应有x-y>0, 故 D={(x,y)x-y>0}. 例3 求函数z=4-x2-y2+1x+y-1122的定义域D。

解 要使z=4-x2-y2+x+y-122有意义, 应有

ì?4-x2-y2 022?, 即 10故 D=(x,y)1

{}2.二元函数的极限的计算；

定义 如果对于任意给定的正数?，总存在一个正数?，使得当

0???(x?x0)2?(y?y0)2??时，f(x,y)?A??恒成立，则称当(x,y)趋

于(x0,y0)时，函数f(x,y)以A为极限。

记作 例 求

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A 或 limf(x,y)?A

??0(x,y)?(0,0)lim(x2?y2)sin1 22x?y解 当x?0,y?0时x2?y2?0，sin1?1 22x?y由于无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量，所以

1?0 22x?y(x,y)?(0,0)lim(x2?y2)sin3.多元函数偏导数计算； （1）一阶偏导数的计算； （2）全微分的计算；

概念：函数z?f(x,y)的全微分为dz??z?zdx?dy ?x?y例 求函数z?x2y2?3x?5y的全微分．

解 因为

?z?z?2xy2?3,?2x2y?5， ?x?y所以 dz?(2xy2?3)dx?(2x2y?5)dy．

（3）多元复合函数的偏导数的计算；

概念：设z?f(u,v),u??(x,y),v??(x,y)，若u??(x,y),v??(x,y)在点(x,y)处偏导数存在，而z?f(u,v)在对应点(u,v)处可微，则复合函数

z?f(?(x,y),?(x,y))在点(x,y)处可导，且

??z?z?u?z?v???????x?u?x?v?x ???z??z??u??z??v???y?u?y?v?y

例 已知z?15?3u2?v2,u?xcosy,v?ycosx，求解 由链式法则有

?z?z,． ?x?y?z?z?u?z?v??????6ucosy?2v?(?ysinx)??6xcos2y?y2sin2x． ?x?u?x?v?x用同样的方法，可得

?z?3x2sin2y?2ycos2x ?y（4）隐函数的偏导数的计算；

例：设z?z(x,y)是由方程x?y?z?ez确定的隐函数，试求

?z?z,. ?x?y（5）抽象函数求导

y?z?z例 求复合函数z?f(xy,)的一阶偏导数和。

x?x?y解 令u?xy,v?函数。

yyyxy,)变为z?f(u,v)，u?xy,v?复合而成的复合，则z?f(xxx?z?f?u?f?v?f?fy???y?(?2) ?x?u?x?v?x?u?vx?z?f?u?f?v?f?f1 ???x??y?u?y?v?y?u?vx练习：设z?f(2x?y,ysinx)，f具有一阶连续偏导数，求

?z?z, ?x?y6.可微、偏导、连续的关系;

7.多元函数极值的计算。

概念：设函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,若对于该邻域内异于

P0的点P?x,y?,有f(x,y)?f(x0,y0)(或f(x,y)?f(x0,y0)),则称f(x0,y0)为函数f(x,y)的一个极大值(或极小值).

4422z?x?y?x?2xy?y例；求函数的极值。

3?z?4x?2x?2y?0?x?3z?4y?2x?2y?0?y 解：解?，得(x,y)??(1,1),?0,0?。

22z?12x?2,z??2,z?12y?2 xxxyyy 而

22z?12x?2?10,z??2,z?12y?2?10， (x,y)??(1,1)xxxyyy 对，

知 (x,y)??(1,1)为极小值点。且极小值为-2。

第九章 二重积分

1.二重积分的计算(直角坐标,极坐标)；

例（1）???x?6y?d?，其中D由y?x,y?2x,x?1所围成

D

（2）求??xyd?,D是由直线y??x?3与曲线y?D12x?1所围成 2（3）计算I???xydxdy，其中D由曲线x?y2及x2?6?5y所围成．

D解 画出积分区域D的图形．

y (1,1) O 5y?6?x2x D2x?y2(4,-2)

积分区域D的不等式组表示为

D:y2≤x≤6?5y，?2≤y≤1， 所以I??dy??216?5yy2

11xydx??y(6?5y?y4)dy

2?21?51?127??3y2?y3?y6???． 2?36??24（4）???2x?y?d?2DD:x2?y2?4

D:1?x?y?4

22(5)

??D(x?y)d?225y2. 交换积分次序；

例 交换二重积分?dx?1elnx01y?lnxDf(x,y)dy的积分次序。

o1ex解：由二次积分的上、下限知积分D的图形是y?0与y?lnx在[1,e]之间的部分，则 D: 1?x?e,0?y?lnx

若先对y后对x积分，此时积分区域可表示为

D: 0?y?1,ey?x?e

因此，我们可以交换积分次序?dx?1elnx0f(x,y)dy=?dy?yf(x,y)dx

0e1e

例（1）?dy?2f(x,y)dx

?2y14 (2)

?10dx?f(x,y)dy+?dx?01x22?x0f(x,y)dy

3.二重积分的性质与应用。

例 设D由y?2,y?x?0,y?1所围成，求平面图形D的面积。 x

第十章 微分方程与差分方程

1.微分方程的相关概念；

2.一阶线性微分方程的通解和特解的计算；

方程

dx?P?x?y?Q?x? (1) dy称为一阶线性微分方程(注意其特点为它对于未知函数y及其导数

dx是一次方dy程)当??x??0时，方程(1)为齐次的，当Q?x?不恒等于零时，方程(1)为非齐次的．

dx?P?x?y?0 (2) dy称为方程(1)对应的齐次方程，它是可分离变量型

?p?x?dx?p?x?dx? . ?y?e?Qxedx?C???????5dy2y例 求方程???x?1?2的通解

dxx?151.Q?x???x?1?2的一阶非齐次线性方分析 (常数变易法)这是P?x???x?1程．它有两种解法：常数变易法与公式法

解法一 (常数变易法)先求对应齐次方程的通解．

dy2?y, dxx?1dy2?dx, yx?1lny?2lnx?1?lnc,

y?C?x?1?用常数变易法，把c换成u，即令y2,

2?u?x?1?,

dy2?u'?x?1??2u?x?1?, dx代入所给非齐次方程，有

u???x?1?,

32u???x?1?dx??x?1?2?C,

3123?2?y??x?1???x?1?2?C?,

?3?212于是

?p?x?dx??p?x?dxdx?C?给出，其中 Qxe解法二 (公式法)直接由y?e?????????p?x?dx???22dx?ln?x?1? x?12.二阶常系数齐次线性微分方程的通解和特解的计算。

二阶常系数齐次线性微分方程求通解,特解

d2ydy概念：若 2?P(x)?Q(x)y?0

dxdx中P(x),Q(x)为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程。 解题步骤：

（1）写出微分方程对应的特征方程r2?pr?q?0，并求解出特征根r1,r2 （2）根据特征方程的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程的通解： 特征方程r2?pr?q?0的两个根r1,r2

微分方程y???py+qy=0的通解

两个不相等的实根r1,r2 两个相等的实根r1,r2 一对共轭复根r1,2???i? y?C1er1x?C2er2x y??C1?C2x?er1x y?e?x?C1cos?x+C2sin?x? （3）将初始条件代入（2）中的通解中求解出通解中的C1,C2 （4）将C1,C2代入到通解里去，得到题目要求的特解。

例题：求微分方程y???2‘y?3y?0满足初始条件y|x?0?0，y'|x?0?4的特解。

2解： 所给微分方程的特征方程为r?2r?3?0

其根r1??1,r2?3是两个不相等的实根，

?x3xy?Ce?Ce12因此所求通解为 （1）

从而y'??C1e?x?3C2e3x （2） 将初始条件y|x?0?0，y'|x?0?4代入（1）、（2） 得：0?C1?C2，4??C1?3C2 从而C1??1,C2?1

所以，原微分方程的特解为y??e?x?e3x

d2sds例题：求方程2?2?s?0满足初始条件：s?4..s???2的特解

t?0t?0dtdt解 对于求满足初始条件的特解的这类方程，应先求出原方程的通解,然后再求特解：

原方程对应的特征方程为：r2?2r?1?0.即(r?1)2?0

?r1?r2??1.?r1,r2为重根．?s?(c1?c2t)e?t(1) 再对(1)的两边关于t求导:

ds?c2e?t?(c1?c2t)(?1)e?t?(c2?c1?c2t)e?t(2) dt?s??2?把s?4代入(1)的c1?4把?t?0代入(2)得，c2?2

t?0??c1?4

?s?(4?2t)e?t为所求．

例题： 求微分方程：y???2y??5y?0通解． 解 所给方程的特征方程为：r2?2r?5?0,r1,2?2?4?20?1?2i为一对2共轭复根．?y?ex(c1cos2x?c2sin2x).(这里??1,??2) 3. 可降阶的二阶微分方程的通解与特解的计算 类型1：y???f(x,y?)

令 y??p, 则 y???p?，于是可将其化成一阶微分方程。 特点 含有y'',y',x，不含y。

例 求微分方程(1+x2)y''=2xy'满足初始条件y|x=0=1, y'x=0=3的特解。

解 所给方程是y''=f(x,y')型的。设y'=p，代入方程并分离变量后，有

dp2x=dx。 2p1+x两端积分，得

ln|p|=ln (1+x2)+C，

即 p=y'=C1(1+x2) (C1= eC)。 又由条件y'x=0=3，得C2=1，

于是所求得特解为 y=x3+3x+1。 类型2：y???f(y,y?)

令 y??p, 则 y???dpdpdydp??p， dxdydxdy于是可将其化为一阶微分方程。

特点 不显含x。

例 解微分方程y???2y3满足初始条件yx?2?1，y?x?2?1的特解。

解 令y??p(y)，将y???pdp?2y3 dydp代入原方程中得 dy p 分离变量并积分得 p2?y4?c1 由初始条件yx?2?1，y?x?2?1，得c1?0，所以 p2?y4

dy?y2 dx 则 p?y2 (因y，即?0所以取正号,) x?2?11?x?c2 y 分离变量并积分得 ?再由初始条件yx?2?1，得c2??3，

1. 3?x所以方程满足初始条件的特解为 y?

第十一章 无穷级数

1. 级数的性质；

2. 会判断级数(正项级数；交错级数；任意项级数)的敛散性 3. 幂级数的收敛半径、收敛区间的计算； 4. 函数展开成幂级数。

5. 常见级数的敛散性(几何级数、p级数、调和级数等)

例 （1）判断下列级数的敛散性：

?n?1?3n ?n

n?n?1n?1n21??n(4nn) ?n?1(n?1)!??11（2）讨论级数?(?1)3，?(?1)np(p?0)是绝对收敛还是条件收敛

nnn?1n?1（3）将函数f(x)?1在x?5处展开，并指明其收敛域 2x?5x?4

（4）幂级数?1n的收敛区间 xnn?14(n?1)?

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