高等数学考研习题

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1. , ,

1.1. √ √

2(1)lim(2n n+1 n2 1)n3

n→∞

a+bn(2)[]

θθ

(3)limcos···cosn

n→∞242(4)lim(cosx)x3

(5)limln(1+2x)ln(1+)x→0x

x2n+1+(a 1)xn 1

1.2. f(x)=lim(a=0).

n→∞x2n axn 1

(1) f(x);

(2) x≥0 f(x) a

1.3. f(x) [0,1] , (0,1) ,

f(0)=f(1)=0,f(x)<0,

f(x) [0,1] M, :

(1) n, xn∈(0,1), f(x)=M;(2) {xn} .

1sinx

1.4. lim2ln

x→0xx

1.5. x u2

[0arctan(1+t)dt]du0

limx→0x(1 cosx)

1.6. an=3+3+3+···, n liman

n→∞

x→0

ln(1+x)1

].

x→0x

f(xtanx)

1.8. f(0)=0,f(0)=3, lim.

x→01 cosx

sinx

1.9. limx(cosx b)=5, a,b

x→0e a1.7(11-15). lim[

1

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2.

2.1. a,b

ax+b,x>3

f(x)=

x2,x≤3

x0=3

2.2. f(x)=eaxsinbx f(n)(x).

2.3. f(x) f(0)=0,f (0)=0,f (0)=2, f(x) ,x=0

g(x)=

a,x=0. 1 a g(x)

2 a g(x) .2.4.

x=3t2+2t+3exsint y+1=0

2

dydy

|t=0, |t=0.

2.5. ln2.6.

y

=arctan

3x4+x3+1

f(x)=

x3

, .

2.7. f(x)>0,f(x)<0, (a,b) f(x)=f(x) f(a)

b x2.8. f(x)=

3

(2x x) [ 1,4]

2

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2.9. f(x) [a,b](a>0) , ξ∈(a,b)

af(b) bf(a)

=f(ξ) ξf (ξ).

a b

2.10. f(x)=lnx 2.11(07-2). y=

(A)0

x1+k(k ), f(x)=0 .+ln(1+ex) ()(B)1

(C)2

(D)3

2.12. [a,b] ( a>0,b<10), [0,10]

2.13. r , h( ) ( , ).( : c a , b , k ).

32.14. y=3x x+1 .5

2

2.15(04-15). e<a<b<e2, :

ln2b ln2a>

4

(b a).e2

3

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3.

3.1.

1 e2x(tanx+1)2dx. 2 e2x(tan√x+1)2dx

xcosx

1+sinxdx. 3 sin sinxcosx

4 dx. dx

5 1+4sin.x+cosx

6 x(2x 1)100dx.

3.2. In=0tannxdx, n 1

1

(1) In= In 2(n>2), 0tan5xdx.(2) :

11

<In<.n+1n 13.3. In=

0

sinxcosxdx

n

∞

n=1

In.

3.4. f(x) [0,π]

π

f(x)dx=0,

π

f(x)cosxdx=0,

(0,π) ξ1,ξ2 f(ξ1)=f(ξ2)=0.(00- )3.5. 4m 3m 4m 3.6.

a

b

f(x)g(x)dx

2

≤

a

b

f(x)dx

2

a

b

g2(x)dx

3.7. ()

+∞x

(A)elndxx +∞1

(B)edx

+∞1

(C)edx

+∞1

(D)exdx

4

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3.8.

π

xsinx

0dx3.9. ρ=a(1+cosθ) 3.10. x2

2

2

+y=a

3.11(03- ). y=lnx lnx x D. 12 DD

x=e V

5

y=

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4.

dy

4.1. =

y6 2x2

y(x) 4.2.

xlnxdy+(y lnx)dx=0y(e)=1

4.3. y(x)

x 1

y(x)+30y(t)dt+2x0y(tx)dt=e xy(0)=1 y(x) 4.4.

3xy 3xy4lnx y=0.

4.5. y+a2y=sinx. a>0.

4.6. y1=xex+e2x,y2=xex+e x,y3=xex+e2x e x

4.7(10-16). y 3y+2y=2xex

x

4.8. f(x)0f(t)dt=1,x=0, f(x)

dydy

4.9(04-4). x2+4x+2y=0(x>0)

2

6

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5.

5.1. u=f(x,y,z),g(x,3y,z)=0,y=sinx, f,g

0 u x g5.2. f(x,y,z)

f(tx,ty,tz)=tkf(x,y,z)

k k f(x,y,z)

x

y f f+y+z=kf(x,y,z). x y z

5.3. ξ=x 2t,η=x+3t

2u 2u 2u6+ 2=0 x x t t

ξ,η .( u .)

5.4. A(1,2),B(0, 2), x2 y=1 C

ABC

5.5. y=f(x,t),F(x,y,t)=0, f,F

dyfF fF=xt txdxftFy+Ft

5.6. u=f(ln 1, f

z z

5.7. x2+y2+z2=4z z x,y .

z5.8. u=exz+sinyz, z x2+y2+z2=yf() f u, u. x y

2

2

2

2u 2u

) +=(x+y), lim

22

3

1

x→0

f(xt)dt

=x

5.9. Fx(x,y)=x+4y,Fy(x,y)=3x y.

7

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5.10. i+j 5k P(0,0,30) z=2x2+3y2 5.11(07-17).

f(x,y)=x2+2y2 x2y2

D={(x,y)|x2+y2≤4,y≥0}

5.12(04-19). z=z(x,y)

x2 6xy+10y2 2yz z2+18=0

z=z(x,y) 5.13(08-17).

C:

222 x+y 2z=0,

x+y+3z=5,

C xOy

5.14(06-18). f(u) (0,+∞) z=f(x2+y2)

2z 2z

+=0. x2 y2(1) f(u)+=0;

(2) f(1)=0,f(0)=1, f(u) .5.15(04-10). f(x)

t t

F(t)=dyf(x)dx,

1

y

f(u)

F(2) (

)

(B)f(2)

(C) f(2)

(D)0

(A)2f(2)

8

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6.

6.1. .

6.2. ρ=a(1+cosθ) ρ=a

6.3. (x2+y2)2+z4=y

6.4. S0:x2+y2+z2=a2(a>0), S S0 S R S S0 +6.5. (x2

D

ydσ, D x= 2,y=0,y=2 x= 2y y2

y22)=

xy

(a,b,c>0)

6.6. z= x2+y2+z2=1(z≥0) µ=1 (1)

(2)

6.7. z=1 x2 y2 z=0 ρ=1

6.8. z=x y,z=0 x2+y2=ax 6.9(11-19). f(x,y)

f(1,y)=0,f(x,1)=0,f(x,y)dxdy=a,

D

D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},

I=

D

xyfxy(x,y)dxdy.

9

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6.10(03- ). f(x)

f(x2+y2+z2)dV

F(t)=

(t)

f(x2+y2)dσf(x2+y2)dσ t

D(t)

G(t)=

D(t)

f(x2)dx

(t)={(x,y,z)|x2+y2+z2≤t2}D(t)={(x,y)|x2+y2≤t2}

(1) F(t) (0,+∞) .

2

G(t).(2) t>0 ,F(t)> y

6.11. I=C(e[(xsinx+ycosx)dx+(ysinx xcosx)dy] C:x2+y2=1. 6.12.

(t)={(x,y,z)|x2+y2+z2≤t2},

t>0, f(x) [0,+∞)

F(t)=f(x2+y2+z2)dxdydz.

(t)

(1) F(t) (0,+∞) F(t)

(2) f(0)=0, :

∞ 1n1 λF()

nn=1 λ>0 λ≤0

6.13(05-19). (y)

L

(y)dx+2xydy

2x2+y4L

10

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(1) x>0 C,

(y)dx+2xydy

=0,2+y42xL

(2) (y)

2

6.14. I=L(x+y2+2z)ds L x2+y2+z2=a2 x+y+z=0

22xydydz+xdzdx+6.15. Σ z=4 x y I=xdxdy=

2

.

Σ

6.16. I=L(exsiny my)dx+(excosy m)dy L (x a)2+y2=

a2(a>0) A(2a,0) O(0,0).

y

6.17. I=Carctandy dx. C y=x2 y=x

6.18. I=Σ4xzdydz 2yzdzdx+(1 z2)dxdy Σ z=ey(0≤y≤a) z

6.19(10-19). P S:x2+y2+z2 yz=1 S P xOy P C

√

(x+|y 2z|I=dS,

Σ

Σ S C

6.20(09-19).

xdydz+ydzdx+zdxdy

I=,222(x+y+z)

Σ

Σ 2x2+2y2+z2=4 6.21.

I=

Σ

Σ

x2y2z2

+4+4dS,a4bc

x2y2z2

+2+2=1(a,b,c>0).a2bc

11

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7.

7.1.

∞ n=2

1

7.2. f(x)=

1

xx=1

7.3. exsinx x=0 ( x5)

sinx4 x=0 ( x), 7.4. lnsinxxx

f(x)

x

sinx x,x=0 1,

x=0

7.5.

arcsinx

x0

=0 .

7.6. an=0(tanx)ndx.

∞ 1

(1) (a+an+2) nn

n=1

(2) λ>0,

∞ n=1

an

√

7.7. f(x)=xarctanx ln

x 2

7.8. f(x)=π (0≤x<2π), f(x) ∞ ( 1)n

nn=1

7.9.

f(x)

7.10(10-18).

∞ n=1

0,

1≤x<0

2

x,0≤x<1

( 1)n 12n

x 12

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7.11(07-20).

∞ n=1

anxn ( ∞,+∞) y(x)

y 2xy 4y=0,y(0)=0,y(0)=1.

2

(1) an+2=an,n=1,2,···;(2) y(x)

∞ n=1

12n

]x f(x).( 1)n 1[1+n(2n 1)x

x 7.12(05-16).

7.13(06-17). f(x)=7.14(03- ).

f(x)=arctan

x

∞ n=1

1 2x

1+2x

( 1)n

7.15(08-19). f(x)=1 x2(0≤x≤π)

∞ ( 1)n 1 n=1

7.16(04-18). xn+nx 1=0, n

∞

xn α>1 xαn

n=1

8.

8.1. (2,1,0) 3x+4y+5z=0

18.2. x =0

y 1=

z 2

x+2y+5z+17=

8.3. L (1, 1,2) π:2x 3y+z+6=0

y z1

x ==2 L 13

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/twli.html