第2章质点动力学A(完全版3)

第2章

质点运动定律Dynamics of a particle内容提要 力的三个效应 瞬时、时间累积、空间累积 惯性系和非惯性系1

引言速度、加速度等物理量来描述。用位置矢量和速度描述为什么物体运动状态会变化呢？ 大量的力学实验证明，是其他物体的作用。 我们把物体之间的相互作用，称之为力。即一个物体

物体是运动的。对于运动物体，我们可以用位置矢量、

物体的运动状态。用加速度来 说明物体运动状态的变化。

受到其他物体所施加的力的作用，就会改变其运动状态， 产生加速度。2

牛顿通过对各种各样的机械运动进行研究，抓住了惯性、加速度和作用力这三者的关系，以定理的形式 总结出了机械运动的普遍规律，人们称之为牛顿三大 定律。

§2.1 力的瞬时效应 牛顿定律 一.牛顿三大定律(1)牛顿第一定律(惯性定律) 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态,直到

外力迫使它改变运动状态为止。3

对牛顿第一定律的理解：牛顿第一定律包含了两个重要的物理概念：惯性—任何物体都具有保持其运动状态不变的性质。 力——是使物体改变其运动状态,或是使物体获得加速 度的一种作用。

2)牛顿第二定律

dp d ( m ) F dt dt合外力4

d ( m ) d dm F m dt dt dt 如果物体的质量不随时间而变，则第二定律可 以写成 d F m ma dt 牛顿第二定律是：瞬时关系；矢量等式。

Fx ma xFy ma y

Fz ma z5

F ma自然坐标系中的分量式:

m

Fn man m

2

d F ma m dt

n

式中, Fn、F 分别代表物体所受的沿轨道法向和 切向方向的合外力。6

(3)牛顿第三定律(作用力与反作用力定律) 两物体之间的作用力和反作用力，大小相等、 方向相反,且在同一直线上。 为什么三大定律完全可以研究物体的运动？

二.牛顿定律的适用范围低速、宏观、实物。 惯性系。

三. 相互作用力(1)弹簧的弹性力  f = kx k 弹簧的倔强系数； x 弹簧的伸长量。7

如果写成矢量形式：

f kxi

弹簧如果受到压缩，弹簧的弹力与压缩方向相反； 弹簧如果受到拉长，弹簧的弹力与伸长方向相反； 注意： 拉力、张力、压力、支持力都是弹性力。其本质都是 分子之间的电磁力。 (2)摩擦力 1 滑动摩擦力 当两物体间出现相对滑动时，此时产生一对阻止相对

滑动的力，称为滑动摩擦力。

滑动摩擦力的方向恒与相对运动方向相反。 fk = kN 式中, k为滑动摩擦系数,其数值由两接触物体 的材料性质和接触面的粗糙程度决定。 2 静摩擦力 两接触物

体间虽未发生相对运动,但存在着相对运动 趋势时,就产生静摩擦力。 静摩擦力fs是个变力： 0 fs s N (最大静摩擦力) 式中, s为静摩擦系数。对于同样的两个物体, k< s。 静摩擦力fs是个变力?

fs F外 0

fs 恒与外力 F外等值反向。9

(3)万有引力

方向：

m1m2 大小： F G r2m1受力与 r 同向， m2受力与 r 反向

m1m2 F G 3 r r

(4)重力 由于地球吸引而使物体受到的力叫重力。

G mg

方向：竖直向下。10

(5)流体阻力 当固体物穿过流体(液体、气体)运动时，流体

固有粘滞性会对固体运动产生阻力。方向：与物体的运动方向相反。 大小： 当物体的速度不大时，F=b

当物体的速度较大时，F=c 2(速度小于声速)当物体的速度较大时，F 3(速度接近声速)11

四. 牛顿定律的应用方法一、质点动力学的两类问题

dr (t ) 方法：由已知运动方程 r r (t ) , dt d (t ) 得力。 a F ma dt 2、已知受力及初始条件(初位置、初速度),求运动 方法： F ma a d (t ) (t ) a d adt dt dr (t ) dr dt r r (t ) 12 dt1、已知运动，求力

二、质点动力学的解题方法 基本方法： 隔离体法+正交分解

当问题涉及几个运动状态不同的物体时，必 须把每个物体从总体中分离出来,分别加以研究, 这种分析的方法叫做隔离体法,它是解决力学问 题的重要的分析方法。而物体间的联系用力来 表示。 选取适当的坐标系，写出牛顿第二定律沿 各个坐标轴方向(即相互垂直的方向上)的分 量式,最后联列求解这些方程。 质点动力学核心： 受力分析13

例题2-1 如图2-1所示，在质量为M、倾角为 的 光滑斜面上放置一质量为m的物体，要使物体m相对 斜面静止，水平推力F应为多大？(设斜面与地面间 的摩擦可以忽略) 解: 对m:

x:Nsin =ma y:Ncos =mgN

解得 a=g.tg (M+m):

m F M mg 图2-1

yx

F=(M+m)a =(M+m)g.tg

m

Fs m

amg

N

讨论(1):在上图中，要物体m不下滑，斜面的 加速度a至少应为多少?(设斜面与物体m间的摩擦系 数为 )。 物体m受三个力作用: N, mg, Fs= N。 水平: N=ma 竖直: N=mg 解得 a=g/ 。 问题：若a ,N ,使 N>mg, m是否会上升呢?15

Fs m R mg m N

讨论(2):在上面的图中，要物体m不下滑，圆 筒的角速度 至少应为多少?(设圆筒与物体m间的 摩擦系数为 )。 图中物体m受三个力作用: N, mg, Fs= N。 水平: N=mR 2 竖直: N=mgg 解得 R16

例题2-2 一条轻绳跨过摩擦可被忽略的轻滑轮， 绳的一端挂有质量为m1的物

体，绳的另一端穿过一 质量为m2的有一小孔的柱体，求当柱相对于绳以恒 定的加速度ao沿绳向下滑动时，物体和柱相对于地面 的加速度各是多少？柱与绳间的摩擦力多大？ 解 在图2-2中，已经画出了各物体的受力情况， 并规定(ox轴)向上为各量的正方向。x T

T

o m 1 a1 m2 ao a 2m1 m2 m1g 图2-2

m1: T- m1g=-m1a1 m2:T- m2g =m2 a2 T即为摩擦力17

m2g

m1: T- m1g=-m1a1 m2:T- m2g =m2 a2 a柱对地=a柱对绳+a绳对地 即：a2=-a0 + a1 解得x T

T

( m1 m2 ) g m2 a0 a1 , m1 m2( m1 m2 ) g m1a0 a2 m1 m2

o m 1 a1 m2 ao a 2

m1

m2

m1g 图2-2

m2g

( 2 g a0 )m1 m2 T m1 m218

例题2-3 一人在平地上拉一个质量为m的木箱匀 速地前进,木箱与地面的摩擦系数µ =0.6,肩上绳的支持 点距地面高度h=1.5m,问绳长L为多长时最省力? 解 先找出力与某个变量( )的关系，再求极值。 水平方向：Fcos -fs=ma=0 (匀速) 竖直方向：Fsin +N-mg=0 , fs= µ N 解得： mg F cos sin L N F有极值的必要条件是： F m dF fk tg 0 d mg 图2-3 L=h/sin =2.92m时,最省力。19

h

例题2-4 设一物体m在离地面上空高度等于地球 半径R处由静止向地面落下，计算它到达地面时的速 度(不计空气阻力和地球的自转)。 mM mM 解 F G 2 地面: G 2 mg R r 2 d gR2 mgR d 2 F ma m 2 dt r r dt m 2 dr d gR d d dr 2 ( ) a dt dr r dt dr dt

dr d gR 2 0 2R r2

R

R20

gR

下面讨论利用自然坐标系解题的方法。例题2-5 半径为R的光滑半球形碗内有一个小钢 球,当碗以角速度 转动时,小球离碗底有多高?

解 由 fn=man , ft=mat 有

R h图2-4

法向: Nsin =m 2Rsin 竖直: Ncos =mg 解得 cos

g

N mg

R2

h R Rcos R

g

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/twge.html