高中数学必修2第三章直线与方程知识点总结与练习

第八章平面解析几何

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[知识能否忆起]

一、直线的倾斜角与斜率

1．直线的倾斜角

(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)倾斜角的围为[0，π)_．

2．直线的斜率

(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．

(2)过两点的直线的斜率公式：

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝

y2－y1

x2－x1＝

y1－y2

x1－x2.

二、直线方程的形式及适用条件

名称几何条件方程局限性

点斜式过点(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式斜率为k，纵截距为b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线两点式

过两点(x1，y1)，(x2，y2)，

(x1≠x2，y1≠y2)

y－y1

y2－y1＝

x－x1

x2－x1

不包括垂直于坐标轴的直

线

截距式

在x轴、y轴上的截距分别

为a，b(a，b≠0)

x

a＋

y

b＝1

不包括垂直于坐标轴和过

原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0(A，B不

全为0)

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)直线x

＋3y ＋m ＝0(m ∈k )的倾斜角为( )

A ．30°

B ．60°

C ．150°

D ．120°

解析：选C 由k ＝tan α＝－

33，α∈[0，π)得α＝150°. 2．(教材习题改编)已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34

，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0

B ．3x －4y ＋14＝0

C ．4x ＋3y －14＝0

D ．4x －3y ＋14＝0

解析：选A 由y －5＝－34

(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0. 3．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )

A ．1

B ．4

C ．1或3

D ．1或4 解析：选A 由1＝4－m m ＋2

，得m ＋2＝4－m ，m ＝1. 4．(2012·模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．

解析：k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4

＝a －3. 由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.

答案：4

5．若直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________．

解析：由已知得直线l 的斜率为k ＝－32

. 所以l 的方程为y －2＝－32

(x ＋1)， 即3x ＋2y －1＝0.

答案：3x ＋2y －1＝0

1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．

2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的围；二是要考虑正切函数的单调性．

3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．

直线的倾斜角与斜率

典题导入

[例1] (1)(2012·模拟)经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4

，则y ＝( )

A ．－1

B ．－3

C ．0

D ．2

(2)(2012·模拟)直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的围是________．

[自主解答] (1)tan 3π4＝2y ＋1－－34－2＝2y ＋42

＝y ＋2，因此y ＋2＝－1.y ＝－3. (2)由题知k ＝－33cos θ，故k ∈??????－33，33，结合正切函数的图象，当k ∈?

?????0，33时，直线倾斜角α∈??????0，π6，当k ∈????

??－33，0时，直线倾斜角α∈??????5π6，π，故直线的倾斜角的围是??????0，π6∪????

??5π6，π. [答案] (1)B (2)??????0，π6∪????

??5π6，π 由题悟法

1．求倾斜角的取值围的一般步骤：

(1)求出斜率k ＝tan α的取值围；

(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值围．

2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．

以题试法

1．(2012·模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4

，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )

A ．45°

B ．60°

C ．120°

D ．135° 解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ? ??

??π2，即－b ＝a ，则直线l 的斜率为－1，故倾斜角为135°.

2．(2012·模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值围是( )

A.????

??12，＋∞ B ．(－∞，－2]

C ．(－∞，－2]∪????

??12，＋∞ D.??????－2，12 解析：选D 由题意知直线l 恒过定点P (2,1)，如右图．若l 与线

段AB 相交，则k PA ≤k ≤k PB .

∵k PA ＝－2，k PB ＝12

， ∴－2≤k ≤12

. 直 线 方 程

典题导入

[例2] (1)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________________．

(2)(2012·东城模拟)若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为______________．

[自主解答] (1)设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m ＝0，m ＝－1.

则所求直线方程为x －2y －1＝0.

(2)由题意得，1－01－3

×k MN ＝－1，所以k MN ＝2，故弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.

[答案] (1)x －2y －1＝0 (2)2x －y －1＝0

由题悟法

求直线方程的方法主要有以下两种：

(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；

(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．

以题试法

3．(2012·调研)已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求：

(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；

(2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．

解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线．

因为线段AB ，AC 中点坐标分别为? ????72，1，? ??

??－12，－2，

所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12， 整理一般式方程为得6x －8y －13＝0，截距式方程为x 136－y

13

8＝1. (2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1

，即一般式方程为7x －y －11＝0，截距式方程为x 117

－y

11

＝1. 直线方程的综合应用

典题导入

[例3] (2012·模拟)过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．

[自主解答] 法一：设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上． 由题意知????? x ＋x B 2＝3，

y ＋y B 2＝0，则点B (6－x ，－y )，

解方程组????? 2x －y －2＝0，6－x ＋－y ＋3＝0，

得????? x ＝113，

y ＝163，则k ＝163－0113

－3＝8. 故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.

法二：设所求的直线方程为y ＝k (x －3)，

点A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，

由????? y ＝k x －3，2x －y －2＝0，解得????? x A ＝3k －2k －2，y A ＝4k k －2.

由????? y ＝k x －3，x ＋y ＋3＝0，解得????? x B ＝3k －3k ＋1，y B ＝－6k k ＋1.

∵P (3,0)是线段AB 的中点，

∴y A ＋y B ＝0，即

4k k －2＋－6k k ＋1＝0， ∴k 2－8k ＝0，解得k ＝0或k ＝8.

若k ＝0，则x A ＝1，x B ＝－3，

此时x A ＋x B 2＝1－32≠3，∴k ＝0舍去，

故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，

即8x －y －24＝0.

由题悟法

解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．

以题试法

4．(2012·东北三校联考)已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点．

(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程；

(2)当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程．

解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，

A ? ??

??2－1k ，0，B (0，1－2k )， △AOB 的面积S ＝12(1－2k )? ??

??2－1k ＝12??????4＋－4k ＋? ????－1k ≥12

(4＋4)＝4. 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12

时，等号成立． 故直线l 的方程为y －1＝－12

(x －2)，即x ＋2y －4＝0. (2)∵|MA |＝

1k 2＋1，|MB |＝4＋4k 2

， ∴|MA |·|MB |＝ 1k 2＋1·4＋4k 2＝2 k 2＋1

k 2＋2≥2×2＝4，

当且仅当k 2＝

1

k2，即

k＝－1时取等号，

故直线方程为x＋y－3＝0.

[典例] (2012·模拟)设直线l的方程为

(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；

(2)若l不经过第二象限，数a的取值围．

[尝试解题] (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，此时截距相等．故a＝2，方程即为3x＋y＝0.

当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，

得

a－2

a＋1＝

a－2，即a＋1＝1，

故a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.

综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.

(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，

则

??

?

??－a＋1＞0，

a－2≤0，

或

??

?

??－a＋1＝0，

a－2≤0.

∴a≤－1.

综上可知，a的取值围是(－∞，－1]．

——————[易错提醒]———————————————————————————

1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等，当直线

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/twdl.html