2013年全国中考数学试题分类解析汇编专题22二次函数的应用（几何

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专题22：二次函数的应用（几何l类）

一、选择题

1.（2012甘肃兰州4分）二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【 】

2

2

A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞3 【答案】 D。

【考点】二次函数的图象和性质。

【分析】根据题意得：y＝|ax＋bx＋c|的图象如右图，

∵|ax＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根， ∴k＞3。故选D。

二、填空题 三、解答题

1. （2012天津市10分）已知抛物线y=ax+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在该抛物线上． （Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P的坐标；②求

2

2

2

yA的值；

yB?yC（Ⅱ）当y0≥0恒成立时，求

yA的最小值．

yB?yC2

【答案】解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x+4x+10。

①∵y=x+4x+10=（x+2）+6，∴抛物线的顶点坐标为P（－2，6）。

②∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在抛物线y=x+4x+10上， ∴yA=15，yB=10，yC=7。∴

2

2

2

yA15==5。

yB?yC10?7（Ⅱ）由0＜2a＜b，得x0??b

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由题意，如图过点A作AA1⊥x轴于点A1， 则AA1=yA，OA1=1。

连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D， 则BD=yB－yC，CD=1。

过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点

F（x2，0）。

则∠FAA1=∠CBD。∴Rt△AFA1∽Rt△BCD。 ∴

AA1FA1yA BD?CD ，即yB?yC ?1?x21?1?x2。 过点E作EG⊥AA1于点G，易得△AEG∽△BCD。 ∴

AGBD?EGCD，即yA?yE y?1?x1。 B?yC∵点A（1，y、B（0，y1，y2

A）B）、C（－C）、E（x1，yE）在抛物线y=ax+bx+c

上，

∴yA=a+b+c，y2

B=c，yC=a－b+c，yE=ax1+bx1+c，

∴

?a?b?c???ax12?bx1?c?2

c??a?b?c??1?x1，化简，得x1

＋x1－2=0，

解得x1=－2（x1=1舍去）。

∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜－1。 则1－x2≥1－x1，即1－x2≥3。 ∴

yA yB?yC 的最小值为3。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。

【分析】（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式。

①将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。

②将A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）分别代入解析式，即可求出yA、

yB、yC的值，然后计算

yAyy的值即可。

B?C第 2 页 共 71 页

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（Ⅱ）根据0＜2a＜b，求出x0??b

1?x2y?yE yA ??1?x2，?1?x1，然后求出yA、，再根据△AEG∽△BCD得到AyB?yC 1yB?yCyA 的

yB?yCyB、yC、yE的表达式，然后y0≥0恒成立，得到x2≤x1＜－1，从而利用不等式求出

最小值。

2. （2012上海市12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=

2

1，EF⊥OD，垂足为F． 2（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）； （3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．

【答案】解：（1）二次函数y=ax+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），

2

?a=?2?16a+24+c=0∴?，解得?。

c=8a?6+c=0??∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x+6x+8。

（2）∵∠EFD=∠EDA=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°。

∴∠DEF=∠ODA。

2

EFED。 =DODAED1EF1∵=。 =tan?DAE=，∴

DO2DA2∴△EDF∽△DAO。∴

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EF11=，∴EF=t。 t22DFED同理，∴DF=2，∴OF=t﹣2。 =OADA∵OD=t，∴

（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x+6x+8，∴C（0，8），OC=8。

如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点． ∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）。 在△CAG与△OCA中，

∵∠OAC=∠GCA，AC=CA，∠ECA=∠OAC， ∴△CAG≌△OCA（ASA）。∴CG=AO=4，AG=OC=8。 如图，过E点作EM⊥x轴于点M，

则在Rt△AEM中，EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，

2?1?由勾股定理得： AE?AM?EM??4+t?+?t?2?。

?2?22222

12在Rt△AEG中，由勾股定理得：

522?1?EG=AE?AD??4+t?+?t?2??82?t?44。

24??222在Rt△ECF中，EF=t，CF=OC﹣OF=10﹣t，CE=CG+EG=4+1252t?44 422?522??1?222

由勾股定理得：EF+CF=CE，即?t?+?10?t?=??4+4t?44??。 ?2???解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6。 ∴t=6。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可。

（2）先证明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求 解。

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（3）通过作辅助线构造一对全等三角形：△CAG≌△OCA，得到CG、AG的长度；然

后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值。

3. （2012广东广州14分）如图，抛物线y=?x2?x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

3834

【答案】解：（1）在y=?x2?x+3中，令y=0，即?x2?x+3=0，解得x1=﹣4，x2=2。 ∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。

38343834338433 在y=?x2?x+3中，令x=0，得y=3。

8411 ∴OC=3，AB=6，S?ACB?AB?OC??6?3?9。

22（2）由y=?x2?x+3得，对称轴为x=﹣1。

在Rt△AOC中，AC=OA2+OC2?42+32?5。

118AC?h=9，解得h=。 2518如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的

5设△ACD中AC边上的高为h，则有

直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。

设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=

18， 5第 5 页 共 71 页

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18CFCF9???5?。 ∴CE?sin?CEFsin?OCA425设直线AC的解析式为y=kx+b， 将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得

?3??4k+b=0?k=，解得?4。 ?b=3???b=3∴直线AC解析式为y?3x?3。 49个长度单位）而形成2直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（

的，

3933x?3??x?。 42423399则D1的纵坐标为???1????。∴D1（﹣4，?）。

4424927同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，）。

24927综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，?），D2（﹣1，）。

44∴直线L1的解析式为y?（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切

线有2条．

连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。

∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径

FM=FB=3。

又FE=5，则在Rt△MEF中，-

43，cos∠MFE=。 55412在Rt△FMN中，MN=MN?sin∠MFE=33?，

5539FN=MN?cos∠MFE=33?。

554412则ON=。∴M点坐标为（，）。

555412直线l过M（，），E（4，0），

55ME=52?32?4，sin∠MFE=

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123?4??k+b=?k=?设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有?55，解得?4。

???b=3?4k+b=0∴直线l的解析式为y=?x+3。

同理，可以求得另一条切线的解析式为y=?x﹣3。 综上所述，直线l的解析式为y=?x+3或y=?x﹣3。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。

【分析】（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解。

（2）根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h．在坐标平面内，作AC的平行线，

平行线之间的距离等于h．根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点．从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成．因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。

（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含

义．因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解。这样的切线有两条。

4. （2012广东肇庆10分）已知二次函数y?mx2?nx?p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、

B（x2，0），x1﹤0﹤x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan?CAO?tan?CBO?1． （1）求证： n?4m?0； （2）求m、n的值；

（3）当p﹥0且二次函数图象与直线y?x?3仅有一个交点时，求二次函数的最大值． 【答案】（1）证明：∵二次函数y?mx2?nx?p图象的顶点横坐标是2，

∴抛物线的对称轴为x=2，即?34343434n?2，化简得：n+4m=0。 2m第 7 页 共 71 页

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（2）解：∵二次函数y?mx2?nx?p与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜

x2，

∴OA=－x1，OB=x2；x1?x2??np，x1?x2? 。 mm令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|。 由

三

角

函

数

定

义

得

：

tan?CAO?pOC p OC p 。 ??? ，tan?CBO??OA?x1x1OBx2∵tan∠CAO－tan∠CBO=1，即?px1?p x2=1 ，化简得：

x1?x21?。

x1?x2pnpnp1??1。将x1?x2??，x1?x2? 代入得：m?，化简得：n?

pppmm m?由（1）知n+4m=0，

∴当n=1时，m??；当n=－1时，m?∴m、n的值为：m?n=1（此时抛物线开口向下）。

（3）解：由（2）知，当p＞0时，n=1，m?? ，

∴抛物线解析式为：y??x2?x?p。

2联立抛物线y??x141。 411 ，n=－1（此时抛物线开口向上）或m?? ，44141414?x?与p直线y=x+3解析式得到：

1?x2?x?p?x?3， 4化简得：x2?4?p?3??0 ＊。

∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，

∴一元二次方程＊根的判别式等于0，即△=0+16（p－3）=0，解得p=3。 ∴抛物线解析式为：y??x2?x?3=?2

141?x?2?2+4。 4当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4。

∴当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，二次函数的最大

值为4。

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【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，锐角三角函数定义，二次函数的性质。

【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为x=2，利用对称轴公式?n化简即得n+4m=0。 ?2，

2m（2）利用三角函数定义和抛物线与x轴交点坐标性质求解．特别需要注意的是抛

物线的开口方向未定，所以所求m、n的值将有两组。

（3）利用一元二次方程的判别式等于0求解．当p＞0时，m、n的值随之确定；将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出p的值，从而确定了抛物线的解析式；最后由抛物线的解析式确定其最大值。

5. （2012广东珠海7分）如图，二次函数y=（x﹣2）+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）+m的x的取值范围．

2

2

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6. （2012浙江杭州12分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）． （1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值． 【答案】解：（1）当k=﹣2时，A（1，﹣2），

∵A在反比例函数图象上，∴设反比例函数的解析式为：y?2

m。 xm，解得：m=﹣2。 12∴反比例函数的解析式为：y??。

x将A（1，﹣2）代入得： ?2?（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，∴k＜0。

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2∵二次函数y=k（x+x﹣1）=k（x?）?k，∴它的对称轴为：直线

2

1254x=﹣

1。 2要使二次函数y=k（x+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须

2

在对称轴的左边，即x＜﹣

1时，才能使得y随着x的增大而增大。 21∴综上所述，k＜0且x＜﹣。

2?15? k?。 （3）由（2）可得：Q??，24??∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，（如图是其中

的一种情况）

∴原点O平分AB，∴OQ=OA=OB。

作AD⊥OC，QC⊥OC，垂足分别为点C，D。 ∴OQ?CQ2+OC2?1252+k。 416∵OA?AD2+OD2?1+k2， ∴12522+k?1+k2，解得：k=±3。 4163【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数和二次函数的性质。

【分析】（1）当k=﹣2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：y?利用待定系数法即可求得答案；

（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k＜0。 又由二次函数y=k（x+x﹣1）的对称轴为x=﹣

随着x的增大而增大。

（3）由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，利用直角三

2

m，x11，可得x＜﹣时，才能使得y22?15? k?，A（1，k）角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q??，，即可?24?第 11 页 共 71 页

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1252+k?1+k2，从而求得答案。 4162

得7. （2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线． （1）求二次函数的解析式；

（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；

（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H． ①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标； ②若⊙M的半径为45，求点M的坐标． 5

【答案】解：（1）∵二次函数y=ax+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）

∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），

将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1。

∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），即y=x﹣x﹣2。 （2）设OP=x，则PC=PA=x+1，

在Rt△POC中，由勾股定理，得x+2=（x+1）， 解得，x=

2

2

22

2

33，即OP=。 22（3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。

（i）如图1，当H在点C下方时， ∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴yM=﹣2。 ∴x﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1。 ∴M（1，﹣2）。

（ii）如图2，当H在点C上方时， ∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。

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2

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由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点， 设直线CM′的解析式为y=kx﹣2， 把P（∴y=由

334，0）的坐标代入，得k﹣2=0，解得k=。 2234x﹣2。 34747102

x﹣2=x﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=。此时y=3??2=。 33339710∴M′（，。 ）

394②在x轴上取一点D，如图3，过点D作DE⊥AC于点E，使DE=5，

5在Rt△AOC中，AC=AO2+CO2=12+22=5。 ∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD， ∴△AED∽△AOC，

45AD5ADDE∴，即，解得AD=2。 ==2ACOC5∴D（1，0）或D（﹣3，0）。

过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图

则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。 当﹣2x﹣6=x﹣x﹣2时，即x+x+4=0，方程无实数根，

2

2

?1?17?1+17，x2?。 22?1?17?1+17， 3+17）或（， 3?17）∴点M的坐标为（。 22当﹣2x+2=x﹣x﹣2时，即x+x﹣4=0，解得x1?2

2

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。

【分析】（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，故设出交点式解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式。

（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。

（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方

时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M

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为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。

②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，

根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标。

8. （2012浙江温州14分）如图，经过原点的抛物线y??x2?2mx(m?0)与x轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PM?x轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP。 （1）当m?3时，求点A的坐标及BC的长； （2）当m?1时，连结CA，问m为何值时CA⊥CP？

（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）当m=3时，y=－x＋6x。

令y=0得－x＋6x=0，解得，x1=0，x2=6。∴A（6，0）。 当x=1时，y=5。∴B（1，5）。

∵抛物线y=－x＋6x的对称轴为直线x=3，且B，C关于对称轴对称，

∴BC=4。

（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）

由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB。 又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△AGH∽△PCB。 ∴

22

2

AHPB。 ?CHBC第 14 页 共 71 页

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∵抛物线y=－x＋2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，且B，C关于对称

轴对称，

∴BC=2（m－1）。

∵B（1，2m－1），P（1，m），∴BP=m－1。

又∵A（2m，0），C（2m－1，2m－1），∴H（2m－1，0）。 ∴AH=1，CH=2m－1， ∴

2

1m?13?，解得m= 。 2m?12?m?1?2（3）存在。∵B，C不重合，∴m≠1。

（I）当m＞1时，BC=2（m－1），PM=m，BP=m－1， （i）若点E在x轴上（如图1），

∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP。 ∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2（m-1）=m，解得m=2。 此时点E的坐标是（2，0）。

（ii）若点E在y轴上（如图2），过点P作PN⊥y轴于点N， 易证△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，即m－1=1，解得，m=2。 此时点E的坐标是（0，4）。

（II）当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m， （i）若点E在x轴上（如图3）， 易证△BPC≌△MEP，

∴BC=PM，即2（1－m）=m，解得，m=此时点E的坐标是（

2。 34 ，0）。 3（ii）若点E在y轴上（如图4），

过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE， ∴BP=NP=OM=1，即1－m=1，∴m=0（舍去）。

综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），

当m=

24时，点E的坐标是（，0）。 33【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的

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判定和性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出BC的长。

（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条

件证明

△AGH∽△PCB，根据相似的性质得到：BP，代入比例式即可求出m的值。

（3）存在。本题要分当m＞1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m－1和当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标。 9. （2012江苏连云港12分）如图，抛物线y＝－x＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3， (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求△ABD的面积；

(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．

2

AHPB ，再用含有m的代数式表示出BC，CH，?CHBC

【答案】解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，

∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．

把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x＋bx＋c，得

2

?b=2?c=3，解得。 ??c=3?4+2b+c=3??∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x＋2x＋3。 (2)∵y＝－x＋2x＋3＝－(x－1)＋4，

∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)。∴△ABD中AB边的高为4。

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2

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令y＝0，得－x＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3。 ∴AB＝3－(－1)＝4。 ∴△ABD的面积＝

2

13434＝8。 2(3)如图，△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的

直线上，由（1）(2)可知OA＝1，OC=3，

∵点A对应点G的坐标为(3，2)。 ∵当x＝3时，y＝－3＋233＋3＝0≠2， ∴点G不在该抛物线上。

【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，旋转的性质。

【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式。

(2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝

对值为高，可求出△ABD的面积。

(3)根据旋转条件求出点A对应点G的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析

式中直接进行判定即可。

1 2

10. （2012江苏南通14分）如图，经过点A(0，－4)的抛物线y＝x＋bx＋c与x轴相

2交于点B(－0，0)和C，O为坐标原点．

(1)求抛物线的解析式；

1 2 7

(2)将抛物线y＝x＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长

22度，得到新抛物

线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；

(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长．

2

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1 2

【答案】解：（1）将A（0，－4）、B（－2，0）代入抛物线y=x+bx+c中，得：

2

?0?c??4 ?b??1 ?，解得，?。

c??42?2b?c?0?? 1 2

∴抛物线的解析式：y=x－x－4。

2（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=即：y=x2+?m?1?x+m2?m?17?x+m?2??x+m??4+， 2212121。它的顶点坐标P（1－m，－1）。 2由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）。 ∴直线AB：y=－2x-4；直线AC：y=x－4。

当点P在直线AB上时，－2（1－m）－4=－1，解得：m=

5； 2当点P在直线AC上时，（1－m）＋4=－1，解得：m=－2； 又∵m＞0，

∴当点P在△ABC内时，0＜m＜

5 。 2（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形。

如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°。 ∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB， 即∠ONB=∠OMB。

如图，在△ABN、△AM1B中， ∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B， ∴△ABN∽△AM1B，得：AB=AN?AM1； 由勾股定理，得AB=（－2）+4=20， 又AN=OA－ON=4－2=2，

∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1－OA=10－4=6。

而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，∴OM1=OM2=6，AM2=OM2－OA=6－4=2。 综上，AM的长为6或2。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解。

（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m表示出该函数的顶

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点坐标，将其

代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围。

（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在

y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长。

11. （2012江苏泰州10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的

顶点A、C分

别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y??x2?bx?c的图象经过B、C两点． （1）求该二次函数的解析式；

（2）结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围．

23

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12. （2012湖北黄石10分）已知抛物线C1的函数解析式为y?ax2?bx?3a(b?0)，若抛物线C1经过

点(0,?3)，方程ax?bx?3a?0的两根为x1，x2，且x1?x2?4。

（1）求抛物线C1的顶点坐标. （2）已知实数x?0，请证明：x?211≥2,并说明x为何值时才会有x??2. xx1（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A(my,)，

B(n,y2)

0是C2上的两个不同点，且满足： ?AOB?90，m?0，n?0.请你用含有m的表达式

表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。 （参考公式：在平面直角坐标系中，若P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则P，Q两点间的距离

(x2?x1)2?(y2?y1)2）

【答案】解：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３。∴a＝１ 。

∴ｙ＝x＋bx－３

∵x＋bx－３=０的两根为x1，x2且x1?x2?4，

2

2

∴x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2=b2+12＝４且b＜０。∴b＝－２。 ∴ｙ＝x2?２x?３＝?x?１??４。 ∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４）。 （2）∵x＞０，∴x?∴x?211?2?(x?)?0 xx1?2。 x11=0时，即当x＝１时，有x??2。 当x?xx（3）由平移的性质，得C2的解析式为：y＝x 。

∴Ａ(m，m)，B（n，n）。

∵ΔAOB为直角三角形，∴OA＋OB=AB。 ∴m＋m＋n＋n＝（m－n）＋（m－n）， 化简得：m n＝－１。

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∵ＳΔAOB=OA?OB=121m2?m4?n2?n4，m n＝－１， 2＝

∴Ｓ

ΔAOB

1112?m2?n2?2?m2?222m＝

111?1?1(m?)2??m????2?1。 2m2?m?2∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１)。 ∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，不等式的知识。

【分析】（1）求抛物线的顶点坐标，即要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值．已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a的值）；然后从方程入手求b的值，题目给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值。

（2）将x?1配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证。 x（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C2的解析

式；在Rt△OAB中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出△AOB的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定△OAB的最小面积值以及此时m的值，从而由待定系数法确定一次函数OA的解析式。

别解：由题意可求抛物线C2的解析式为：y＝x。

∴Ａ(m，m)，B（n，n）。

过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D， 则S?S梯形ACDB?S?AOC?S?BOD

2

2

2

1211(m?n2)(m?n)?m?m2?n?n2222 1??mn(m?n)2?n2?nBDOD??2。∴mn??1。 由△BOD∽△OAC得 ，即OCACmm∴S??11?1?1mn(m?n)=?m+???2?1。 22?m?2第 21 页 共 71 页

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∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１)。 ∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x。

13. （2012湖北武汉12分）如图1，点A为抛物线C1：y=x2?2的顶点，点B的坐标为(1，0)，直线AB交抛物线C1于另一点C．

(1)求点C的坐标；

(2)如图1，平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x＝a

交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE＝4∶3，求a的值；

(3)如图2，将抛物线C1向下平移m(m＞0)个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴

于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．

12

图1 图2

【答案】解：（1）∵当x=0时，y＝－2。∴A（0，－2）。

?b=?2?k=2 设直线AB的解析式为y=kx+b，则?，解得?。

k+b=0b=?2?? ∴直线AB的解析式为y=2x?2。 ∵点C是直线AB与抛物线C1的交点，

?y=2x?2?x1=4?x2=0? ∴?12，解得?（舍去）。 ， ?y=x?2?y1=6?y2=?2??2 ∴C（4，6）。

（2）∵直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，

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∴yD=4，yE=，∴DE=yD?yE=4? ∵FG：DE＝4∶3，∴FG=2。

∵直线x＝a交直线AB于点F，交抛物线C1于点G， ∴yF=2a?2，yG=a2?2。

5253?。 22121∴FG=yF?yG=2a?a2=2。

2 解得a1=2，a2=2+22，a3=2?22。

（3）设直线MN交y轴于点T，过点N作NH⊥y轴于点H。

设点M的坐标为（t,0），抛物线C2的解析式为y=x2?2?m。 ∴0=t2?2?m。∴?2?m=?t2。

121122111∴y=x2?t2。∴P（0，?t2）。

222 ∵点N是直线AB与抛物线C2的交点，

?y=2x?2?x1=2?t?x2=2+t? ∴?1212，解得?（舍去）。 ， ?y=x?ty=2?2ty=2+2t?1?2?2?2 2?2t）∴N（2?t，。

∴NQ=2?2t，MQ=2?2t。∴NQ=MQ。∴∠NMQ=45。 ∴△MOT，△NHT都是等腰直角三角形。∴MO=TO，HT=HN。 ∴OT=－t，NT?2NH=2?2?t?，PT=?t+t2。 ∵PN平分∠MNQ，∴PT=NT。

∴?t+t2?2?2?t?，解得t1=?22，t2=2（舍去）。 ∴?2?m=?t2=?0

1212121?222??2=?4。∴m=2。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元二次方程组，平移的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，平行的性质。 【分析】（1）由点A在抛物线C1上求得点A的坐标，用待定系数法求得直线AB的解析式；联立直线AB和抛物线C1即可求得点C的坐标。

（2）由FG：DE＝4∶3求得FG=2。把点F和点G的纵坐标用含a的代数式表示，

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即可得等式

1FG=yF?yG=2a?a2=2，解之即可得a的值。

2 （3）设点M的坐标为（t,0）和抛物线C2的解析式y=x2?2?m，求得t和m的关系。求出点P和点N的坐标（用t的代数式表示），得出△MOT，△NHT都是等腰直角三角形的结论。从而由角平分线和平行的性质得到PT=NT，列式求解即可求得t，从而根据t和m的关系式求出m的值。

14. （2012湖北荆门10分）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点． （1）求k的取值范围；

（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x1+2kx2+k+2=4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值． 【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点。

当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点， 令y=0得（k﹣1）x﹣2kx+k+2=0．

△=（﹣2k）﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。 综上所述，k的取值范围是k≤2。 （2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1。

由题意得（k﹣1）x1+（k+2）=2kx1（*），

将（*）代入（k﹣1）x1+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。 又∵x1+x2=

22

2

2

2

2

122kk+22kk+2，x1x2=，∴2k?=4?， k?1k?1k?1k?1解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）。∴所求k值为﹣1。

123）+，且﹣1≤x≤1， 2213由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=时，y最大=。

223∴y的最大值为，最小值为﹣3。

2②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x+2x+1=﹣2（x﹣

2

【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。

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【分析】（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0。

（2）①根据（k﹣1）x1+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求

出k的值。②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值。

15. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

2

2

【答案】解：（1）由抛物线y=﹣x+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，

2

?b=2??1?b+c=0，解得?。∴抛物线的函数关系式为y??x2?2x?3。 ?c=3?4+2b+c=3??设直线AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点A（﹣1，0）及C（2，

3）得

?k=1??k+n=0，解得?。∴直线AC的函数关系式为y=x+1。 ?n=12k+n=3??（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，

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令x=0，得y=3，即N（0，3）。

∴N′（6， 3）

由y??x2?2x?3=??x?1?+4得

D（1，4）。

设直线DN′的函数关系式为y=sx+t，

则

21?s=???6s+t=3?5，解得?。 ?s+t=421??t=??5∴故直线DN′的函数关系式为y??x?1521。 5根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN′上时，

MN+MD的值最小，

∴m???3?152118=。 5518。 5∴使MN+MD的值最小时m的值为

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），

①当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN

是平行四边形，此时，点E与点C重合，即E（2，3）。

②当BD为平行四边形边时，

∵点E在直线AC上，∴设E（x，x+1），则F（x，?x2?2x?3）。 又∵BD=2

∴若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。 ∴?x2?2x?3??x?1?=2，即?x2?x?2=2。

若?x2?x?2=2，解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）。

?1+173+171?17若?x?x?2=?2，解得，x=，∴E? ?2，22?2?或????1?173?17?E?。 ??2，?2??第 26 页 共 71 页

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?1+173+17 ?2，??、???综上，满足条件的点E为（2，3）、（0，1）、?2?1?173?17?。 ???2，?2??（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，

设Q（x，x+1），则P（x，﹣x+2x+3）。 ∴PQ?（?x2?2x?3）（?x?1）??x2?x?2。 ∴S?APC?S?APQ+S?CPQ?PQ?AG

2

12131227?（?x2?x?2）?3??（x?）?。 2228 ∵?<0，

∴当x=时，△APC的面积取得最大值，最大值为

321227。 8【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值。 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。

（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N′，当M

（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小。

（3）分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。

（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，

x+1），则P（x，﹣x+2x+3），求得线段PQ=﹣x+x+2。由图示以及三角形的面积公式知

2

2

S?APC?S?APQ+S?CPQ，由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值。

16. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:y??相交于点B、

C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．

(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

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1?x?2?(x?m)?m?0?与x 轴m2013年全国中考数学试题分类解析汇编

【答案】解：（1）∵抛物线C1过点M(2，2)，∴2??（2）由（1）得y??1?2?2?(2?m)，解得m=4。 m1?x?2?(x?4)。 41?x?2?(x?4)，解得x1=－2，x=4。 4 令x=0，得y?2。∴E（0，2），OE=2。 令y=0，得0??∴B（－2，，0），C（4，0），BC=6。

121（3）由（2）可得y???x?2?(x?4)的对称轴为x=1。

4 ∴△BCE的面积=?6?2?6。

连接CE，交对称轴于点H，由轴对称的性质和两点之间

线段最短的性质，知此时BH+EH最小。

设直线CE的解析式为y?kx+b，则

1??4k+b=01?k=? ?，解得?2。∴直线CE的解析式为y??x+2。

2?b=2??b=2 当x=1时，y?33。∴H（1，）。

22（4）存在。分两种情形讨论：

①当△BEC∽△BCF时，如图所示。 则

BEBC2

，∴BC=BE?BF。 ?BCBF由（2）知B（－2，0），E（0，2），即OB=OE， ∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。 作FT⊥x轴于点F，则BT=TF。 ∴令F（x，－x－2）（x＞0）， 又点F在抛物线上，∴－x－2=?1?x?2?(x?m)， m∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=2m，F（2m，－2m－2）。

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2013年全国中考数学试题分类解析汇编

此

时

BF?(2m?2)2?(?2m?2)2?22（m?1），BE?22，BC?m?2，

又BC=BE?BF，∴（m+2）= 22 ?22，解得m=2±22。 （m?1）∵m＞0，∴m=22+2。

②当△BEC∽△FCB时，如图所示。 则

2

2

BCEC2

，∴BC=EC?BF。 ?BFBC同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE，

TFOE2 ??。 BTOCm2 ∴令F（x，－（x+2））（x＞0），

m2 1又点F在抛物线上，∴－（x+2）=??x?2?(x?m)。

mm∴

∵x+2＞0（∵x＞0）， ∴x=m+2。∴F（m+2，－

2 （m+4）），EC?m2?4，BC=m+2。 m2

又BC=EC?BF，∴（m+2）= m?4?整理得：0=16，显然不成立。

2

2?m+2+2?2+4?m+4?m22 .

综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为

顶点的三角形与△BCE相似，m=22+2。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值。

（2）求出B、C、E点的坐标，从而求得△BCE的面积。

（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，

连接EC与对称轴的交点即为所求的H点。

（4）分两种情况进行讨论：

①当△BEC∽△BCF时，如图所示，此时可求得22+2。

②当△BEC∽△FCB时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。

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17. （2012湖南常德10分）如图，已知二次函数y?3），B(4，4).

（1）求二次函数的解析式： （2）求证：△ACB是直角三角形；

（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

1(x?2)(ax?b)的图像过点A(－4，48

【答案】解：（1）将A(－4，3），B(4，4)代人y?1(x?2)(ax?b)中， 481?3?(?4?2)(?4a?b)???4a?b?72?a?1348 ? ， 整理得：? 解得?

14a?b?32b??20???4?(4?2)(4a?b)?48? ∴二次函数的解析式为：y?1(x?2)(13x?20)，即：4813215x?x?。 488613215 （2）由 x?x??0整理得 13x2?6x?40?0，解得

488620x1=?2，x2=。

13y??20? 0?。 ∴C （－2，0），D ?，?13? ∴AC=4+9 ，BC=36+16，AC+ BC=13+52=65，AB=64+1=65， ∴ AC+ BC=AB 。∴△ACB是直角三角形。 （3）设P(x， 2

2

2

2

2

2

2

2

13151321520，则PH=x2?x?， HD=?x。 x?x?)（x<0）

4886134886又∵AC=13， BC=213，

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1321520x?x??xPHHD488613 ①当△PHD∽△ACB时有：，即：， ??ACCB13213整理得

13251255020解得x1??，，此时，x?x??0， x2?（舍去）

244391313y1?35。 13 ∴P1(?5035。 ， ）13132013215?xx?x?DHPH86， ②当△DHP∽△ACB时有：， 即：13 ??48ACBC13213 整理

时，y1?1321730512220，此x?x??0，解得x1??， x2?（舍去）

488781313284。 13122284。 ， ）13135035122284，P2(?。 ， ）， ）13131313 ∴P2(? 综上所述，满足条件的点有两个即P1(?【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理和逆定理的应用，相似三角形的判定性质，坐标系中点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，解一元二次方程和二元一次方程组。

【分析】（1）求二次函数的解析式，也就是要求y?A(-4，3），B(4，4)代人即可。

（2）求证△ACB是直角三角形，只要求出AC，BC，AB的长度，然后用勾股定理及其逆定理去考察。

（3）分两种情况进行讨论，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标。

18. （2012湖南怀化10分）]如图，抛物线m：y??(x?h)2?k与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为M(3, 的顶点为D.

（1）求抛物线n的解析式；

（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF.如果P点的坐标为(x, y)，△PEF的面积

1(x?2)(ax?b)中a、b的值，只要把481425?),将抛物线m绕点B旋转180，得到新的抛物线n,它4第 31 页 共 71 页

2013年全国中考数学试题分类解析汇编

为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；

（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由.

【答案】解：（1）∵抛物线m的顶点为M(3, ∴m

∴A(?2, 0), B(8, 0)。

∵抛物线n是由抛物线m绕点B旋转180?得到，∴D的坐标为(13, ?∴抛物线n的解析式为：y?(x?13)2?25)， 41251的解析式为y??(x?3)2?=?(x?8)(x?2)。

44425 )。41425113，即y?x2?x?36。 442（2）∵点E与点A关于点B中心对称，∴E(18, 0)。

5?k??18k?b?0???4。

设直线ED的解析式为y?kx?b，则? 25，解得?13k?b??45??b??4??2?∴直线ED的解析式为y?545x?。 421545?x(x?)242又点P的坐标为(x, y)， ∴S

?111OF?FP?x?y??xy222==

545?x2?x(13?x?18)。 84∴当x??52?(?)8908?9时，S有最大值。

但13?x?18，∴△PEF的面积S没有最大值 。 （3）直线CM与⊙G相切。理由如下：

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2013年全国中考数学试题分类解析汇编

∵抛物线m的解析式为y??(x?8)(x?2)，令x?0得y?4。

∴C(0, 4)。

∵抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，∴OC=4，OG=3，GM?∴由勾股定理得CG=5。

又∵AB=10，∴⊙G的半径为5，∴点C在⊙G上。 过M点作y轴的垂线，垂足为N，

1425。 425225。 ?4)2?32?416225625252又CG2?CM2?52???()，

16164则CM2?CN2?MN2?(∴GM2?CG2?CM2。

∴根据勾股定理逆定理，得∠GCM=90。∴CG?CM。 ∴直线CM与⊙G相切。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆的位置关系，勾股定理和逆定理。

【分析】（1）由抛物线m的顶点坐标写出抛物线m的顶点式方程，化为交点式方程即可求出A、B两点的坐标，根据旋转的性质即可求出抛物线n的解析式。 （2）求出直线ED的解析式，由点P在直线ED，可知P(x, x?0

5490从而求出△PEF)，4的面积S的函数关系式，由点P在线段ED上得13?x?18。从而根据二次函数最值的求法得出结果。

（3）要判断直线CM与⊙G的位置关系首先要判断CG与⊙G半径的关系，由AB=10，得⊙G的半径为5。求出CG，知点C在⊙G上。由勾股定理和逆定理，得出GM2?CG2?CM2。从而得出CG?CM，得出直线CM与⊙G相切的结论。

19. （2012湖南郴州10分）如图，已知抛物线y?ax2?bx?c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式及对称轴．

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标． （3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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【答案】解：（1）∵抛物线y?ax2?bx?c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点，

3?a???816a?4b?c?0??3??∴ ?4a?2b?c?3，解得?b? 。

4?? c?3??c?3??∴抛物线的解析式为：y?? x2? x?3，其对称轴为：x??（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，可知点B、

C是关于对称轴x=1的对称点。

如图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，

则MA＋MB=MA＋MC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MA＋MB的值最小。

设直线AC的解析式为y=kx＋b，

3834b ?1。

2a3??4k?b?0?k??∵A（4，0），C（0，3），∴ ? ，解得? 4。

b?3???b?3∴直线AC的解析式为：y=?x＋3。 令x=1，得y=（3）结论：存在。

如图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意： ①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1。

由B（2，3），C（0，3），可知BC∥x轴，则x轴与

抛物线的另一个交点P1即为所求。

在y?? x2? x?3中令y=0，解得x1=-2，x2=4。

3499 。∴M点坐标为（1，）。 443834第 34 页 共 71 页

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∴P1（－2，0）。

∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC。 ∴四边形ABCP1为梯形。

②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2。 设CP2与x轴交于点N，

∵BC∥x轴，AB∥CP2，∴四边形ABCN为平行四边形。∴AN=BC=2。∴N（2，

0）。

3??2k1?b1?0?k??设直线CN的解析式为y=k1x+b1，则有： ?，解得?2。

b?3 ?1??b?3∴直线CN的解析式为：y=?x+3。

∵点P2既在直线CN：y=?x+3上，又在抛物线：y?? x2? x?3上， ∴?x+3=? x2? x?3，化简得：x－6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。

2

32323834323834∴点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为－6。∴P2（6，－6）。 ∵ABCN，∴AB=CN，而CP2≠CN，∴CP2≠AB。∴四边形ABCP2为梯形。 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成

的四边形为梯形，点P的坐标为（－2，0）或（6，－6）。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，

线段最短的性质，梯形的判定。

【分析】（1）已知抛物线上三点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由对称轴公式x??b求出对称轴。 2a（2）如图1所示，连接AC，则AC与对称轴的交点即为所求之M点；已知点A、C

的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而求出点M的坐标。

（3）根据梯形定义确定点P，如图2所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时

P1为抛物线与x轴的另一个交点，解一元二次方程即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP2，确定梯形ABCP2．此时P2位于第四象限，先确定CP2与x轴交点N的坐标，然后求出直线CN的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标。

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20. （2012湖南株洲10分）如图，一次函数y=?x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线

y=﹣x+bx+c过A、B两点． （1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

2

12

【答案】解：（1）∵y=?x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，

∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）。 将x=0，y=2代入y=﹣x+bx+c得c=2；

将x=4，y=0代入y=﹣x+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=∴抛物线解析式为：y=﹣x+

222

127。 27x+2。 2（2）如图1，设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t。

∵tan?ABO?OA21??， OB4211 =2﹣t。 2227又∵N点在抛物线上，且xN=t，∴yN=﹣t+t+2。 212∴MN?yN?ME??t2?t?2?（2?t）??t2?4t=??t?2?+4。

2∴ME=BE?tan∠ABO=（4﹣t）3∴当t=2时，MN有最大值4。

（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．

如图2，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形。

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（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）， 由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2， 从而D为（0，6）或D（0，﹣2）。

（ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点， 由D11（0，6），N（2，5）易得D1N的方程为y=?2x+6； 由D32（0，﹣2），M（2，1）D2M的方程为y=2x﹣2。 由两方程联立解得D为（4，4）。

综上所述，所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，锐角三角函数定义，平行四边形的判定和性质。

【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式。

（2）求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极

值求线段MN的最大值。

（3）明确D点的可能位置有三种情形，如图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴

上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标。

21. （2012湖南湘潭10分）如图，抛物线y=ax2?32x?2?a?0?的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式；

（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

【答案】解：（1）∵B（4，0）在抛物线y=ax2?32x?2?a?0?的图象上

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∴0=16a??4?2，即：a=。 ∴抛物线的解析式为：y=x2?x?2。

（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）。

∴OA=1，OC=2，OB=4。∴

32121232OCOB ? 。 OAOC又∵OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB。∴∠OCA=∠OBC。 ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°。 ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径。 ∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（

1，0）。 21x﹣2。 2（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=

设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线

只有一个交点时，可列方程：

1132

x+b=x2?x?2，即： x﹣4x﹣4﹣2b=0，且△=0。 2221∴16﹣43（﹣4﹣2b）=0，解得b=4。∴直线l：y=x﹣4。

21∵S?MBC??BC?h，当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，△ABC

2的面积最大。

∴点M是直线l和抛物线的唯一交点，有：

?123y=x?x?2??x=2?22，解得：。∴ M（2，﹣3）。 ???y=?3?y=1x?4??2【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一元二次方程根的判别式，解方程和方程组。

【分析】（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可。

（2）根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导

出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标。

（3）△MBC的面积可由S?MBC?1?BC?h表示，若要它的面积最大，需要使h取最2大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M。

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22. （2012四川资阳9分）抛物线y=x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（－2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．

（1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；

（2）(3分)设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB；

（3）(3分)若射线NM交x轴于点P，且PA3PB＝

14100，求点M的坐标． 9

【答案】解：（1）∵y=x2+x+m=141?x+2?2+?m?1?，∴顶点坐标为(－2 , m?1)。 4∵顶点在直线y=x+3上，∴－2+3=m?1，解得m=2。 （2）∵点N在抛物线上，且点N的横坐标为a，

∴点N的纵坐标为a2+a+2，即点N(a,a2+a+2)。 过点F作FC⊥NB于点C，

在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB－CB=a2+a,

22∴NF2?NC2?FC2? （ a2?a）?（a?2）1414141412?（a2?a）?（a2?4a）?4。 4而

1122NB2?（a2?a?2）?（a2?a）?（a2?4a）?4，

44∴NF=NB，NF=NB。 （3）连接AF、BF，

由NF=NB，得∠NFB=∠NBF， 由（2）的结论知，MF=MA， ∴∠MAF=∠MFA。

2

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∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，

∴MA∥NB。∴∠AMF+∠BNF=180°。

∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，

∠MAF+∠NBF=90°。

∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°。 又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA 。 又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF。 ∴

PFPB1002

，∴PF= PA3PB＝。 ?PAPF9过点F作FG⊥x轴于点G。 在Rt△PFG中，PG?PF2?FG2?∴P(－

100814?22?，∴PO=PG+GO=。 93314 , 0) 。 314 , 0)代入y=kx+b得 3设直线PF：y=kx+b，把点F（－2 , 2）、点P(－

?3k=?2=?2k+b???4，解得?。 14?0=?k+b7??b=3???2∴直线PF：y=x+。

解方程x2+x+2=x+，得x=－3或x=2（不合题意，舍去）。 当x=－3时，y=，∴M（－3 ,

3472143472545）。 4【考点】二次函数综合题，二次函的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可。

（2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF=NC+FC，

从而得出NF=NB，即可得出答案。

（3）求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，

然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA?PB的值转化为PF的值，从而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解。

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