暑假复习专题二 - 函数

高一数学暑期复习专题2（函数与映射）

函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

例1集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是( )

112x B．f:x?y?x C．f:x?y?x D．f:x?y?x 233例2函数y?f(x)的图象与直线x?a的交点个数有( )

A．f:x?y?A．必有一个 B．一个或两个 C．至多一个

D．可能两个以上

2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；

(4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(5)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

例3函数y＝x＋1＋1?x的定义域是 A．（-1，1） B．[0，1] C．[-1，1] D．（-?，-1）?（1，+?）

1例4函数f(x)?的定义域为R，则实数a的取值范围是( ) 2ax?4ax?3333 A． R B． [0,] C．[,??) D．[0,)

4441例5已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数f(x?a)?f(x?a)的定义域(其中0?a?).

2

3. 相同函数的判断方法：（满足以下两个条件） ①定义域一致 (化简前)

②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；

例6下列各题中两个函数是否表示同一函数?

x2?4(1)f(x)?1,g(x)?x ( ) （2）f(x)?,g(x)?x?2 ( )

x?2?x?1(x?1)22（3）f(x)?x?2x,g(t)?t?2t ( )（4）f(x)?|x?1|,g(x)?? ( )

1?x(x?1)?

4．值域： 先考虑其定义域

b（1）图像观察法（掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、y?ax?(a,b?0)x0 1

三角函数等的图像，利用函数单调性） （2）基本不等式 （3）换元法 （4）分离常数法 （5）判别式法

例7求下列函数的值域: (1)y?

例8求函数f(x)?2x?3?13?4x的定义域和值域.(提示:设t?13?4x)

2x?4 (2)y?x2?4x?6,x?[1,5) (3)y?1?x2,x?{?2,?1,0,1,2} x?3

5. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)均在C上 . (2) 画法 描点法

图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换 伸缩变换 对称变换

例9某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该学生走法的是( )

例10函数f(x)的图象经过点(1,1),则函数f(x?4)的图象过点

6．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

7．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）?B（象）” 对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

8．分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

2

?2x,0?x?1?例11f(x)??2,1?x?2的值域是

?3,x?2? A.R B.[0,3] C.[0,??) D.[0,2]?{3} 例12已知函数f(x)????2x?1(x?1)2?x?2x(x?1)(1)试比较f(f(?3))与f(f(3))的大小.

(2)若f(a)?3,求a的值.

,

9．复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

函数的性质

1．函数的单调性(局部性质) （1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（3） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。

（4）函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：

○1 任取x1，x2∈D，且x1

(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性相关，规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间写成其并集.

例13在区间（0，+∞）上不是增函数的是 （ ）

A.y=2x-1 B.y=3x-1 C.y=

2

22

D.y=2x+x+1 x例14设函数f(x)?(2a?1)x?b是（-∞，+∞）上的减函数，若a∈R, 则 （ ）

3

A.a?1111 B.a? C.a?? D.a? 22222

例15函数y=4x-mx+5在区间?2，???上是增函数，在区间???，2?上是减函数，则m=________; 例16根据图象写出函数y=f(x)的单调区间：增区间 ；减区间：

y

-3 0 -1 3 x

例17函数f(x)=ax-(5a-2)x-4在?2,???上是增函数, 则a的取值范围是______________. 2

例18判断函数y?x?4在在?2，???上的单调性,并用定义证明. x例19已知函数f(x)是定义在[?1,1]上的增函数,且f(x?1)?f(1?3x),求x的取值范围.

2．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。 （2）奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)= -f(x)，那么f(x)叫做奇函数。 注：如果奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0 （3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称； 奇函数的图象关于原点对称． （4）函数奇偶性判定方法： (A)定义法 ○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○2求出f(-x)，与f(x)进行比较； ○3作结论：若f(-x) = f(x)，则f(x)是偶函数；若f(-x) = -f(x)，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定。

(B)借助函数的图象判定 .

例20下面说法正确的选项

（ ）

A．函数的单调区间可以是函数的定义域

B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象

例21如果偶函数在[a,b]具有最大值，那么该函数在[?b,?a]有

（ ）

A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值

例22如果函数f(x),x?R是奇函数,且f(1)?f(2),则必有

A．f(?1)?f(?2) B．f(?1)?f(?2) C ．f(?1)?f(1) D． f(?1)?f(?2)

4

例23函数f(x)在R上为奇函数，且f(x)?例24判断下列函数的奇偶性

①f(x)?x?

3x?1,x?0，则当x?0，f(x)? .

1； ②f(x)?2x?1?1?2x； x1?x2f(x)? ③f(x)?x4?x； ④|x?2|?2。

例25已知f(x)?x2005?ax3?b?8，f(?2)?10，求f(2). x3、函数的解析表达式

（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法、待定系数法、换元法、构造法

例26已知函数f(x)＝x＋px＋q满足f(1)＝f(0)＝0，则f(4)的值是( ) A． 5 B．－5 C．12 D．20

例27已知f(x)是一次函数,若2f(2)?3f(1)?5,2f(0)?f(?1)?1,则f(x)的解析式为 A．f(x)?3x?2 B．f(x)?3x?2 C．f(x)?2x?3

D．f(x)?2x?3

例28定义域为R的函数f(x)满足f(x)?2f(?x)?2x?1，则f(x)＝( )

11

A．－2x＋1 B．2x－ C．2x－1 D．－2x＋

33

2

4、函数最大（小）值

（1）一般的，设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

（a）对于任意的x?I,都有f(x)?M； （b）存在x0?I，使得f(x0)?M 那么称M为y?f(x)的最大值。

（2）求函数最值的方法 ○1 利用二次函数的性质（配方法） ○2 利用图象求函数的最大（小）值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

例29当x?[0,5]时,函数f(x)?3x?4x?1的值域为

A.[f(0),f(5)] B.[f(0),f()] C.[f(),f(5)] D.(f(0),f(5)] 例30函数f(x)?223231在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是 x?15

A.,1 B.1,15111 C.,1 D.1, 577例31函数f(x)?2x?1?x的值域是

A.[,??) B.(??,] C.(0,??) D.[1,??)

例32已知函数y?x2?2x?3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,求m的取值范围.

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