高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(新课标人教A版)

高中数学必修+选修知识点归纳

新课标人教A版

复习寄语：

引言

1.课程内容：

必修课程由5个模块组成：

必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、

对、幂函数）

必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、

三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。

选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、

导数及其应用。

选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩

充与复数、框图

系列2：由3个模块组成。

选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、

空间向量与立体几何。

选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系

的扩充与复数

选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，

统计案例。

系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。

选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。

选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。

选修4—3：数列与差分。

选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。

选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。

选修4—10：开关电路与布尔代数。

2．重难点及考点：

重点：函数，数列，三角函数，平面向量，

圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点：

⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻

辑、充要条件

⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、

值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用

⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数

列、数列求和、数列的应用

⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、

和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用

⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、

数量积及其应用

⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式

的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用

⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位

置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系

⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直

线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用

⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线

与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量

⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二

项式定理及其应用

⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、

抽样、正态分布

⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算

第一章：集合与函数概念

§1.1.1、集合

1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总

体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个

集合相等。

3、 常见集合：正整数集合：N*或N ，Z，有理数集合：Q，实数集合：R.

f(x1) f(x2) 0 f(x)在[a,b]上是增函数； f(x1) f(x2) 0 f(x)在[a,b]上是减函数.

步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设x1,x2 a,b 且x1 x2，则：f x1 f x2 =

(2)导数法：设函数y f(x)在某个区间内可导，若f (x) 0，则f(x)为增函数；

若f (x) 0，则f(x)为减函数. §1.3.2、奇偶性

1、 一般地，如果对于函数f x 的定义域内任意一个

x，都有f x f x ，那么就称函数f x 为

4、集合的表示方法：列举法、描述法.

§1.1.2、集合间的基本关系

1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任

意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作A B.

2、 如果集合A B，但存在元素x B，且x A，

则称集合A是集合B的

真子集.记作：AB.

.并规定：3、 把不含任何元素的集合叫做记作：

空集合是任何集合的子集.

偶函数.偶函数图象关于y轴对称.

2、 一般地，如果对于函数f x 的定义域内任意一个

都有f x f x ，那么就称函数f x 为x，

奇函数.奇函数图象关于原点对称. 1、函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义： 函数y f(x)在点x0处的导数是曲线y f(x)在

P(x0,f(x0))处的切线的斜率f (x0)，相应的切线方

4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子

集，2n 1个真子集.

§1.1.3、集合间的基本运算

1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成

的集合，称为集合A与B的并集.记作：A B. 2、 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素

组成的集合，称为A与B的交集.记作：A B. 3、全集、补集？CUA {x|x U,且x U} §1.2.1、函数的概念

1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应

关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集

合B中都有惟一确定的数f x 和它对应，那么就称f:A B为集合A到集合B的一个函数，记作：y f x ,x A.

2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值

域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完

全一致，则称这两个函数相等.

§1.2.2、函数的表示法

1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法：

(1)定义法：设x1、x2 [a,b],x1 x2那么

程是y y0 f (x0)(x x0). ①C' 0；②(xn)' nxn 1；

③(sinx) cosx； ④(cosx) sinx； ⑤(a) alna； ⑥(e) e； ⑦(log

a

''

x'xx'x

x)

'

1xlna

'

；⑧(lnx)

'

1x

（1）(u v) u v. （2）(uv) uv uv. (v 0). （3）() 2

vv

u

''

'

'

uv uv

''

复合函数y f(g(x))的导数和函数

y f(u),u g(x)的导数间的关系为yx yu ux ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

解题步骤:分层—层层求导—作积还原.

极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值；

极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＞f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极小值. (2)判别方法：

①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值. (1)求y f(x)在(a,b)内的极值（极大或者极小值）

§2.1.2、指数函数及其性质 1、记住图象：y ax a 0,a 1

2、性质：

(2)将y f(x)的各极值点与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。 注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。

第二章：基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算

1、 一般地，如果xn a，那么x叫做a 的n次方根。

其中n 1,n N . 2、 当n为奇数时，a a；

当n为偶数时，a3、 我们规定：

n

n

§2.2.1、对数与对数运算

x

1、指数与对数互化式：a N x logaN；

2、对数恒等式：a

logaN

N.

a 1.

3、基本性质：loga1 0，log

n

a

a 0,a 1,M 0,N 0时： ⑴log

a.

a

MN

log

a

M log

a

N；

⑴am

a

*

n

⑵loga

,m 1；

M

log N M

n

a

M log

a

N；

a 0,m,n N

⑵a

n

⑶log

a

nlog

a

M.

1a

n

n 0 ；

⑴aa a

⑵ a

rr

s

r s

5、换底公式：log

a

b

loglog

cc

ba

a 0,r,s Q ；

a 0,a 1,c 0,c 1,b 0 .

6、重要公式：logab

n

m

s

a

rs

a 0,r,s Q ；

mn

logab

rr

⑶ ab ab a 0,b 0,r Q .

r

7、倒数关系：log

a

b

1log

b

a

a 0,a 1,b 0,b 1 .

如果函数y f x 在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f a f b 0，那么函数y f x 在区间 a,b 内有零点，即存在c a,b ，

§2..2.2、对数函数及其性质 1、记住图象：y log

2、性质：

a

x a 0,a 1

使得f c 0，这个c也就是方程f x 0的根. §3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法.

§3.2.1、几类不同增长的函数模型 §3.2.2、函数模型的应用举例

1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.

第一章：空间几何体 圆柱、圆锥、圆台、球。

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且

每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

§2.3、幂函数

1、几种幂函数的图象：

截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。

第三章：函数的应用

§3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程f x 0有实根

函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点. ⑴圆柱侧面积；S侧面 2 r l

r l

⑶圆台侧面积：S侧面 r l R l ⑷体积公式：

V柱体 S h；V锥体

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的

直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。

第三章：直线与方程

tan ⑴点斜式：y y0 k x x0

y2 y1x2 x1

13

S h；

V台体

13

S

2

上

S上 S下 S下h

⑸球的表面积和体积：

S球 4 R，V球

43

R.

3

第二章：点、直线、平面之间的位置关系

1如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条

直线在此平面内。

⑵斜截式：y kx b

y y1x x1xa yb

⑶两点式：

y2 y1x2 x1

2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它

们有且只有一条过该点的公共直线。

⑷截距式： 1

4平行于同一条直线的两条直线平行.

5空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这

两个角相等或互补。

⑸一般式：Ax By C 0

l1:y k1x b1,l2:y k2x b2有： k1 k2

⑴l1//l2 ；

b1 b2

6平行、相交、异面。

7直线在平面内、直线和平面平行、直

线和平面相交。

8平行、相交。

9

⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则

该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一

平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。

⑵l1和l2相交 k1 k2； k1 k2

⑶l1和l2重合 ；

b1 b2

10

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，

则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。

⑷l1 l2 k1k2 1.

l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0

⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么

它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。

11 如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，

那么就说这条直线和这个平面垂直。

有：

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，

则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。

⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面

角，就说这两个平面互相垂直。

A1B2 A2B1

⑴l1//l2 ；

BC BC21 12

⑵l1和l2相交 A1B2 A2B1； A1B2 A2B1

⑶l1和l2重合 ；

B1C2 B2C1

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个

平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。

⑷l1 l2 A1A2 B1B2 0.

P1P2

P1P2

x2 x1 y2 y1 z2 z1

2

2

2

2

x2 x1 y2 y1

2

第一章：算法 自然语言、流程图、程序语言； 起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；

顺序结构、条件结构、循环结构 ⑴顺序结构示意图：

当型循环结构 直到型循环结构

d

Ax0 By0 C

A B

2

2

l1：Ax By C1 0与l2：Ax By C2 0平行，

C1 C2A B

2

2

则d

第四章：圆与方程 ⑴标准方程： x a y b r2

2

2

其中圆心为(a,b)，半径为r.

⑵一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0. 其中圆心为(

D2,

E2

)，半径为r

.

（图1）

⑵条件结构示意图： ①IF-THEN-ELSE格式：

直线Ax By C 0与圆(x a) (y b) r的位置关系有三种:

d r 相离 0; d r 相切 0; d r 相交 0.

2

2

2

l

2r d

22

（图2）

②

O1O2 ⑴外离：d R r； ⑵外切：d R r； ⑶相交：R r d R r； ⑷内切：d R r； ⑸内含：d R r.

（图3）

⑶循环结构示意图：

①

（图4）

②

直到型（UNTIL型）循环结构示意图：

（图5）

（“=”有时也用“←”）.

④条件语句的一般格式有两种： IF—THEN—ELSE语句的一般格式为：

⑤循环语句的一般格式是两种：

当型循环（WHILE）语句的一般格式：

直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：

结果是以相除余数为0而得到 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： ⅰ）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商S0和一个余数R0； ⅱ）：若R0＝0，则n为m，n的最大公约数；若R0≠0，则用除数n除以余数R0得到一个商S1和一个余数R1； ⅲ）：若R1＝0，则R1为m，n的最大公约数；若R1≠0，则用除数R0除以余数R1得到一个商S2和一个余数R2；

依次计算直至Rn＝0，此时所得到的Rn 1即为所求的最大公约数。

结果是以减数与差相等而得到 ⅰ）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。 ⅱ）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 k进制数—除k取余法 k进制数化为十进制数 第二章：统计 ①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多）

IF—THEN语句的一般格式为：

③分层抽样（总体中差异明显） 注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为⑴一表二图：

①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观

③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 ⑵茎叶图：

①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。 ⑴平均数：x

x1 x2 x3 xn

n

⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；

⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点； ⑶随机事件A的概率：P(A)

mn

,0 P(A) 1.

nN

。

⑵古典概型的特点：

①所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件都是等可能发生。

⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率P(A) ⑴几何概型的特点：

①所有的基本事件是无限个； ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑵几何概型概率计算公式：P(A)

d的测度D的测度

mn

.

；

取值为x1,x2, ,xn的频率分别为p1,p2, ,pn，则其平均数为x1p1 x2p2 xnpn；

注意：频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差：一组样本数据x1,x2, ,xn 方差：s2

1n

n

2

i

；

其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。

⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件； ⑵如果事件A1,A2, ,An任意两个都是互斥事件，则称事件A1,A2, ,An彼此互斥。

⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，

即：P(A B) P(A) P(B)

⑷如果事件A1,A2, ,An彼此互斥，则有：

P(A1 A2 An) P(A1) P(A2) P(An)

(x

i 1

x)

；

标准差：s

1n

n

2

i

(x

i 1

x)

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。 ⑶线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：y

⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。 ①事件A的对立事件记作A

P(A) P(A) 1,P(A) 1 P(A)

bx a

（最小二乘法）

n

xiyi nxy

i 1

b n

2 2 x nx i

i 1

a y bx

②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。

第一章：三角函数

§1.1.1、任意角

1、 . 2、 与角 终边相同的角的集合： 2k ,k Z .

注意：线性回归直线经过定点(x,y)。 第三章：概率

§1.1.2、弧度制

1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度

的角. 2、

lr

sin 2k sin ,

cos 2k cos ,（其中：k Z） tan 2k tan .

.

n R180

R.

2、 诱导公式二：

sin sin ,

3、弧长公式：l

cos cos ,

n R360

2

4、扇形面积公式：S

12

lR.

tan tan .

3、诱导公式三：

sin sin ,

§1.2.1、任意角的三角函数

1、 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P x,y ，那么：sin y,cos x,tan

yx

cos cos ,

tan tan .

2、 设点A x,y

r

yr

为角

终边上任意一点，那么：

（设

4、诱导公式四：

sin sin ,

cos cos ,

tan tan .

cos ，

xr

tan ，

yx

sin ，cot

xy

5、诱导公式五：

sin

cos , 2

cos sin .

2

3、 sin ，cos ，tan 在四个象限的符号和三角

函数线的画法.

正弦线：MP;

余弦线：OM; 正切线：AT

5、 特殊角

6、诱导公式六：

sin cos , 2

cos sin .

2

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 sin cos 1. 2、 tan

sin cos

2

2

.

3、 倒数关系：tan cot 1 §1.3、三角函数的诱导公式

（概括为k Z） 1、 诱导公式一：

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定

义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、

奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图

.

y

x在x [0,2 ]上的五个关键点为：

3

（0，0）（，1）（， ，0）（，）-1（，2 ，0）.

22

2、记住余切函数的图象：

§1.4.3、正切函数的图象与性质

1、记住正切函数的图象：

3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

f x ，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数f x 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

§1.5、函数y Asin x 的图象 1、对于函数：

y Asin x B A 0, 0 有：振幅A，周

函数y sin( x )，x∈R及函数y cos( x )，x∈R(A, , 为常数，且A≠0)的周期T 数y tan( x )，x k 常数，且A≠0)的周期T 对于y Asin (x

2

2 | |

；函

,k Z(A,ω, 为

期T

2

，初相 ，相位 x ，频率f

T

2

.

| |

.

2、能够讲出函数y sinx的图象与

y Asin x B的图象之间的平移伸缩变

和)y Acos( x )来

换关系.

① y sinx 平移| |个单位 y sin x

（左加右减）

说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.

求函数y Asin( x )图像的对称轴与对称中心，只需令 x k

2

(k Z)与 x k (k Z)

解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 利用图像特征：A

maxmin

2

y Asin x

纵坐标变为原来的A倍

，B

ymax ymin

2

.

要根据周期来求, 要用图像的关键点来求.

§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题.

第三章、三角恒等变换

§3.1.1、两角差的余弦公式 记住15°的三角函数值： 纵坐标不变 y Asin x

横坐标变为原来的|平移个单位（上加下减）

1

|倍

y Asin x B

② y sin y Asinx

纵坐标变为原来的A倍

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、sin sin cos cos sin 2、sin sin cos cos sin 3、cos cos cos sin sin 4、cos cos cos sin sin 5、tan

tan tan

.

1 tan tan tan tan

.

1 tan tan

x y Asin

横坐标变为原来的|1

|倍

Asin x

（左加右减） 平移个单位（上加下减）

y Asin x B

6、tan

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、sin2 2sin cos ，

变形

sin cos sin2 .

22、cos2 cos sin

2cos 1

2

1 2sin .

22

2

§2.2.1、向量加法运算及其几何意义

1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.

2 .

§2.2.2、向量减法运算及其几何意义

1、 与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量. 2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.

§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义

1、 规定：实数 与向量a的积是一个向量，这种运

算叫做向量的数乘.记作： a，它的长度和方向

变形如下：

2

1 cos2 2cos

2

1 cos2 2sin

cos2 (1 cos2 ) 2

2

sin (1 cos2 ) 2

2tan

3、tan2 .

2

1 tan

4、tan

sin2 1 cos2

1 cos2 sin2

§3.2、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次. y asinx bcosx

a bsin(x )

2

2

规定如下： ⑴ ⑵当 0时, a的方向与a的方向相同；当

0时, a的方向与a的方向相反.

（其中辅助角 所在象限由点(a,b)的象限决定,tan

ba

).

第二章：平面向量

§2.1.1、向量的物理背景与概念

1、 了解四种常见向量：. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示

1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三

个要素：起点、方向、长度.

2、 向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称

模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长

2、 平面向量共线定理：向量aa 0与b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使b a. §2.3.1、平面向量基本定理

1、 平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两

个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数 1, 2，使a 1e1 2e2. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 a xi yj x,y .

度等于1个单位的向量叫做单位向量.

3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量

1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

§2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设a x1,y1 ,b x2,y2 ，则： ⑴a b x1 x2,y1 y2 ，

⑵a b x1 x2,y1 y2 ， ⑶ a x1, y1 ， ⑷a//b x1y2 x2y1. 2、 设A x1,y1 ,B x2,y2 ，则： AB x2 x1,y2 y1 . §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设A x1,y1 ,B x2,y2 ,C x3,y3 ，则 ⑴线段AB中点坐标为

x1 x2

y2

2

,

y1 2

，

⑵△ABC的重心坐标为

x1 x2 x3

y3

3

,

y1 y2 3

.

§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、

a b .

2、 a在b

cos . 3、

2

a . 4、

5、 a b a b 0.

§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设a x1,y1 ,b x2,y2 ，则：

⑴a b x1x2 y1y2

⑵

x2

2

1 y1

⑶a b a b 0 x1x2 y1y2 0

⑷a//b a b x1y2 x2y1 0

2、 设A x1,y1 ,B x2,y2 ，则：

x2

2 x1 y2 y1 2

.

3、 两向量的夹角公式

cos a b

ab

4、点的平移公式

平移前的点为P(x,y)（原坐标），平移后的对应点为

P (x ,y )（新坐标），平移向量为PP (h,k)，

则 x x h

y y k.

函数

y f(x)的图像按向量a (h,k)平移后的

图像的解析式为y k f(x h). §2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例

空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.

1 若A、B是直线l上的任意两点，则

AB为直线l的一个方向向量；与 AB平行的任意非零向量也是直线l

的方向向量.

若向量n所在直线垂直于平面 ，则称这个向量

垂直于平面 ，记作n ，如果n ，那么向量n

叫做平面 的法向量.

①建立适当的坐标系．

②设平面

的法向量为n (x,y,z)．

③求出平面内两个不共线向量的坐标

a (a1,a2,a3),b (b1,b2,b3)．

n a 0

④根据法向量定义建立方程组 .

n b 0

量是u，则要证明l ，只需证明a∥u，即a u.

②（法二）设直线l的方向向量是a，平面 内的两

a m 0

个相交向量分别为m、n，若 ,则l .

a n 0

⑤解方程组，取其中一组解，即得平面 的法向量.

（如图）

即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的

法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。

2、

设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥

若平面 的法向量为u，平面 的法向量为v，要

证 ，只需证u v，即证u v 0.

即：两平面垂直两平面的法向量垂直。 4已知a,b为两异面直线，A，C与B，D分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为 ，

AC BD

则cos .

ACBD

l2，只需证明a∥b，即a kb(k R).

即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。

①（法一）设直线l的方向向量是a，平面 的法向 量是u，则要证明l∥ ，只需证明a u，即a u 0.

即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外

②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.

若平面 的法向量为u，平面 的法向量为v，要

证 ∥ ，只需证u∥v，即证u v.

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成

②求法：设直线l的方向向量为a，平面 的法向量

为u，直线与平面所成的角为 ，a与u的夹角为 ，

则 为 的余角或 的补角 的余角.即有：

a u

sin cos .

au

即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。 3

b，则要证明设直线l1,l2的方向向量分别是a、

①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个

半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面

l1 l2，只需证明a b，即a b 0.

即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。

二面角的平面角是指在二面角 l 的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射

线

①（法一）设直线l的方向向量是a，平面 的法向

AO l,BO l，则 AOB为二面角 l 的平

面角.

如图：

②求法：设二面角 l 的两个半平面的法向量

n M MP

nMP n MP

n

当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平

分别为m、n，再设m、n的夹角为 ，二面角

n的夹角 l 的平面角为 ，则二面角 为m、

面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。

n MP

即d . n

或其补角 .

根据具体图形确定 是锐角或是钝角：

m n

◆如果 是锐角，则cos cos ，

mn

m n

即 arccos；

mn

m n

◆ 如果 是钝角，则cos cos ，

mn m n

即 arccos .

mn

面间的距离转化为求点面距离。

n MP

即d . n

设向量n与两异面直线a,b都垂直，M a,P b,

则两异面直线a,b间的距离d就是MP在向量n方向

上投影的绝对值。

5,P在直线l上，a为直线l的

方向向量，b=PQ，则点Q到直线l距离为6在平面内的一条直线，如果它和这个h 平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂推理模式：

n MP

即d . n

若点P为平面 外一点，点M为平面 内任一点，

平面 的法向量为n，则P到平面 的距离就等于

MP在法向量n方向上的投影的绝对值.

PO ,O

PA A a ,a OA

即d MPcosn,MP

概括为：垂直于射影就垂直于斜线.

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的

PO ,O

推理模式：PA A a AO

a ,a AP

2 a2 b2 c2 2bccosA, 2

22

b a c 2accosB, 222c a b 2abcosC.

222 b c a

, cosA

2bc

222a c b

, cosB

2ac

222

a b c

. cosC

2ab

概括为：垂直于斜线就垂直于射影.

7 内的任一条直线，AD是 的一条斜线AB在 内的射影，且BD⊥AD，垂足为D.设AB与 AD与AC所成的角为 2， AB (AD)所成的角为 1，

与AC所成的角为 ．则cos cos 1cos 2.

用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；

⑵已知三角形三边，求其它元素。

8、做题中两个定理经常结合使用.

3S ABC

12

absinC

12

bcsinA

12

acsinB

已知平面 内一个多边形的面积为S S原 ，它在平面 内的射影图形的面积为S S射 ，平面 与平面 所成的二面角的大小为锐二面角 ，则 cos

SS

'

4 C C (A B)

C2

=

S射S原

2

.

A B2

2C 2 2(A B).

9

若sin2A sin2B,则A B或A B .特别注意，影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为 1、 2、 3,则有l l l l cos 1 cos 2 cos 3 1 sin 1 sin 2 sin 3 2.

2

2

2

2

2

1

22

23

2

2

2

5 b sinA sinB A B;

2

在三角函数中，sinA sinB A B不成立。

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

第二章：数列

第一章：解三角形 1asinA

bsinB

csinC

2R.

,(n 1) S1

an 注意通项能否合并。

S S,(n 2).n 1 n

2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即an－an 1=d ，（n≥2，n∈N），

那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数a、A、b成等差数列

A

a b2

（其中R为 ABC外接圆的半径）

a 2RsinA,b 2RsinB,c 2RsinC; sinA

a2R

,sinB

b2R

,sinC

c2R

;

a:b:c sinA:sinB:sinC.

用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；

⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它

元素。

⑶通项公式：an a1 (n 1)d am (n m)d

或an pn q(p、q是常数）. ⑷前n项和公式：

n n 1 2

n a1 an

2

②ak,ak m,ak 2m, 为等比数列，公比为qk(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)

③数列 an （ 为不等于零的常数）仍是公比为q的

Sn na1

d

等比数列；正项等比数列 an ；则 lgan 是公差为

lgq的等差数列；

⑸常用性质：

①若m n p q m,n,p,q N ，则

am an ap aq；

②下标为等差数列的项 ak,ak m,ak 2m, ，仍组成等差数列；

③数列 an b （ ,b为常数）仍为等差数列； ④若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kan pbn} (k、p是非零常数)、{ap nq}(p,q N)、， 也成等差数列。

⑤单调性： an 的公差为d，则：

ⅰ）d 0 an 为递增数列； ⅱ）d 0 an 为递减数列； ⅲ）d 0 an 为常数列；

⑥数列{an}为等差数列 an pn q（p,q是常数） ⑦若等差数列 an 的前n项和Sn，则Sk、S2k Sk、

S3k S2k 是等差数列。

*

12④若 an 是等比数列，则 can ， a， n a

n ，

an

r

21r

是等比数列，公比依次是q，q，q. (r Z)

q

⑤单调性：

a1 0,q 1或a1 0,0 q 1 an 为递增数列；

a1 0,0 q 1或a1 0,q 1 an 为递减数列； q 1 an 为常数列； q 0 an 为摆动数列；

⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ⑦若等比数列 an 的前n项和Sn，则Sk、S2k Sk、

S3k S2k .

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前

一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等

比数列。

⑵等比中项：若三数a、G、b成等比数列 G ab,（ab同号）。反之不一定成立。

n 1n m

amq⑶通项公式：an a1q

求该数列而根据规律写出此数列的一个通项。

n项和Sn与a

n

2

的关系，求数列 an 的通项an可用公式 ,(n 1) S1

an 构造两式作差求解。

S S,(n 2)n 1 n

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一

⑷前n项和公式：Sn ⑸常用性质

a1 1 q1 q

n

a1 anq1 q

分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an

合为一个表达，（要先分n 1和

n 2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。

n 1 an f(n)f(n)是关

①若m n p q m,n,p,q N ，则

am an ap aq；

an an 1 f(n 1)

an 1 an 2 f(n 2)

于n的函数）可构造：

...

a a f(1) 21

如下两种：

法一：设an 1 p(an ),展开移项整理得

an 1 pan (p 1) ,与题设an 1 pan q比较系

将上述n 1个式子两边分别相加，可得：

an f(n 1) f(n 2) ...f(2) f(1) a1,(n 2)

数（待定系数法）得

qp 1

,(p 0) an 1

qp 1

p(an

qp 1

)

①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

② 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和.

n 1

an 1

f(n) an f(n) an an

qp 1qp 1

p(an 1

q

),即 an 构成

p 1p 1

q

以a1

为首项，以p为公比的等比数列.再利用

等比数列的通项公式求出 an

的通项整理可p 1 q

得an.

法二：由an 1 pan q得an pan 1 q(n 2)两式

相减并整理得

an 1 anan an 1

p,即 an 1 an 构成以

an

f(n 1) a n 1 an 1

f(n 2)

中f(n)是关于n的函数）可构造： an 2

... a2

a f(1) 1

将上述n 1个式子两边分别相乘，可得：an f(n 1) f(n 2) ... f(2)f(1)a1,(n 2)

a2 a1为首项，以p为公比的等比数列.求出

an 1 an 的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求

出

an.

法一：设an An B p an 1 A(n 1) B ，

通过待定系数法确定A、转化成以a1 A BB的值，为首项，以p为公比的等比数列 an An B ，再利用等比数列的通项公式求出 an An B 的通项整理可得an.

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这

种方法求解。

（1）若p 1时，数列{an}为等差数列; （2）若q 0时，数列{an}为等比数列;

（3）若p 1且q 0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有

法二：当f(n)的公差为d时，由递推式得：

an 1 pan f(n)，an pan 1 f(n 1)两式相减

得：an 1 an p(an an 1) d，令bn an

1

an得：

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