打包下载：2019届高考数学(理)一轮复习名师学案(共75套)北师大版

第一节 绝对值不等式

[考纲传真] (教师用书独具)1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.

(对应学生用书第204页)

[基础知识填充]

1．含绝对值的不等式的性质

定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 2．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a的解法：

不等式 |x|a a>0 {x|－a＜x＜a} {x|x＞a或x＜－a} a＝0 ? {x∈R|x≠0} a<0 ? R (2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解； ②利用零点分段法求解；

③构造函数，利用函数的图像求解．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．( ) (2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0.( ) (3)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.( ) (4)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√

2．不等式1<|x＋1|<3的解集为( )

A．(0,2)

B．(－2,0)∪(2,4)

C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)

D [原不等式等价于1

∴原不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)，故选D．] 3．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )

A．(－∞，4) C．(1,4)

B．(－∞，1) D．(1,5)

A [①当x<1时，原不等式等价于1－x－(5－x)<2，即－4<2，恒成立， ∴x<1.

②当1≤x≤5时，原不等式等价于x－1－(5－x)<2，即x<4， ∴1≤x＜4.

③当x>5时，原不等式等价于x－1－(x－5)<2，即4<2，无解． 综合①②③知x<4.]

4．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.

2 [∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.]

5．(教材改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．

(－∞，－3]∪[3，＋∞) [由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3， 要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，

只需|a|≥3，∴a≥3或a≤－3.]

(对应学生用书第204页)

绝对值不等式的解法

(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)在图1中画出y＝f(x)的图像； (2)求不等式|f(x)|>1的解集．

图1

?3?3x－2，－1＜x≤，2[解] (1)由题意得f(x)＝?

3

－x＋4，x＞，??2

故y＝f(x)的图像如图所示．

x－4，x≤－1，

(2)由f(x)的函数表达式及图像可知， 当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3； 1

当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.

3故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}，

???1

f(x)＜－1的解集为?x?x＜或x＞5

3???

??

?. ??

???1

所以|f(x)|＞1的解集为?x?x＜或1＜x＜3或x＞5

3???

??

?. ??

[规律方法] 解绝对值不等式的基本方法 利用绝对值的定义，通过分类讨论，用零点分段法转化为解不含绝对值符号的普通不等式，零点分段法的操作程序是：找零点，分区间，分段讨论； 当不等式两端均非负时，可通过两边平方的方法转化为解不含绝对值符号的普通不等式； 利用绝对值的几何意义，数形结合求解. [跟踪训练] (2018·海口调研)已知函数f(x)＝|x－2|. (1)求不等式f(x)＋x－4>0的解集；

2

(2)设g(x)＝－|x＋7|＋3m，若关于x的不等式f(x)

【导学号：79140394】

[解] (1)原不等式可化为|x－2|>4－x， 即x－2>4－x或x－24－x，得x>2或x<－3； 由x－22或x<－1.

综上，原不等式的解集为{x|x>2或x<－1}．

(2)原不等式等价于|x－2|＋|x＋7|<3m的解集非空． 令h(x)＝|x－2|＋|x＋7|，即h(x)min<3m，

由|x－2|＋|x＋7|≥|x－2－x－7|＝9，所以h(x)min＝9， 由3m>9，解得m>3，

所以m的取值范围为(3，＋∞)．

2

22

2

2

绝对值不等式的证明 ?1??1? (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝?x－?＋?x＋?，M为不等式f(x)＜2的解集． ?2??2?

(1)求M；

(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.

??11

[解] (1)f(x)＝?1，－＜x＜，

221?2x，x≥.?2

11

当－＜x＜时，f(x)＜2；

22

1

－2x，x≤－，

2

1

当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；

2

1

当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.

2所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．

(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)－(1＋ab)＝a＋b－ab－1＝(a－1)(1－b)＜0. 因此|a＋b|＜|1＋ab|.

2

2

22

2

2

2

2

[规律方法] 证明绝对值不等式三种常用方法 利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明. 利用不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明. 转化为函数问题，利用数形结合进行证明. [跟踪训练] (2018·长沙模拟(二))已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－a－1|. 3

(1)证明：f(x)≥；

4

(2)若f(4)<13，求a的取值范围． [解] (1)证明：f(x)＝|x＋a|＋|x－a－1| ≥|(x＋a)－(x－a－1)| ＝|a＋a＋1|

2

2

2

2?1?33＝?a＋?＋≥. ?2?44

??a＋a＋1，a≥3，2

(2)因为f(4)＝|a＋4|＋|a－3|＝?2

?a－a＋7，a<3，???a≥3，

所以f(4)<13??2

?a＋a＋1<13?

2

2

??a<3，

或?2

?a－a＋7<13.?

解得－2

2

绝对值不等式的综合应用 (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围． [解] (1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于

x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①

当x<－1时，①式化为x－3x－4≤0，无解；

当－1≤x≤1时，①式化为x－x－2≤0，从而－1≤x≤1； 当x>1时，①式化为x＋x－4≤0， －1＋17

从而1＜x≤. 2

2

2

2

??－1＋17

所以f(x)≥g(x)的解集为?x?－1≤x≤

2??

(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，

?

?. ?

所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2. 又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一， 所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1. 所以a的取值范围为[－1,1]．

[规律方法] 1.研究含有绝对值的函数问题，常利用零点分段法或数形结合法求解. 2.与恒成立或能成立相关的求参问题，常构造函数转化为求最值问题. [跟踪训练] (2018·郑州第二次质量预测)已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x|＋a. (1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；

(2)若存在x∈R，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围.

【导学号：79140395】

[解] (1)当a＝0时，由f(x)≥g(x)，得|2x＋1|≥|x|. 两边平方整理，得3x＋4x＋1≥0， 1

解得x≤－1或x≥－.

3

2

?1?所以原不等式的解集为(－∞，－1]∪?－，＋∞?. ?3?

(2)由f(x)≤g(x)，得a≥|2x＋1|－|x|. 令h(x)＝|2x＋1|－|x|，

??1则h(x)＝?3x＋1，－

2

??x＋1，x≥0.

1－x－1，x≤－，2

1?1?由分段函数图像可知h(x)min＝h?－?＝－， 2?2?

?1?从而所求实数a的取值范围为?－，＋∞?. ?2?

第二节 不等式的证明

[考纲传真] (教师用书独具)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．

(对应学生用书第206页)

[基础知识填充]

1．基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a，b为正数，则

2

2

a＋b2

≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

3

≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

定理3：如果a，b，c为正数，则

a＋b＋c3

定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则

a1＋a2＋…＋ann≥a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

n2．柯西不等式

(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．

(2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． (3)柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R， 则(x1－x2)＋(y1－y2)＋(x2－x3)＋(y2－y3)≥(x1－x3)＋(y1－y3).

(4)柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．

3．不等式的证明方法

证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等． (1)比较法：

①比差法的依据是：a－b>0?a>b步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．

②比商法：若B>0，欲证A≥B，只需证≥1. (2)综合法与分析法：

①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

AB这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．

②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )

(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )

(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．( ) (4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×

11

2．(教材改编)若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是( )

abA．x＞y C．x≥y

1?1?A [x－y＝a＋－?b＋?

B．x＜y D．x≤y

a?b?

＝a－b＋

b－a(a－b)(ab－1)

＝. abab由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0，

(a－b)(ab－1)

所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.]

ab3．若a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a，b，c的大小关系为( )

A．a>b>c C．b>c>a

A [“分子”有理化得a＝所以a>b>c.]

11

4．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________.

13＋2

，b＝

B．a>c>b D．c>a>b 16＋5

，c＝

17＋6

，

ab【导学号：79140398】

4 [由题意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0， 11?11?ba所以＋＝?＋?(a＋b)＝2＋＋

ab?ab?

ab≥2＋2ba·＝4， ab1

当且仅当a＝b＝时等号成立．]

2

5．已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y)(1＋x＋y)≥9xy. [证明] 因为x＞0，y＞0，

323222

所以1＋x＋y≥3xy＞0,1＋x＋y≥3xy＞0，

323222

故(1＋x＋y)(1＋x＋y)≥3xy·3xy＝9xy.

(对应学生用书第207页)

2

2

已知a＞0，b＞0，求证：

比较法证明不等式 ab＋≥a＋b. ba[证明] 法一：∵?

＝?

?a＋b?

?－(a＋b) a??b?a－b??b－a?a－bb－a＋ ?＋??＝?b??a?ba(a－b)(a－b)

＝

ab(a＋b)(a－b)

＝≥0，

2

ab∴

ab＋≥a＋b. baab＋baa＋baa＋bb

ab(a＋b)

法二：由于＝

＝＝

(a＋b)(a－ab＋b)

ab(a＋b)a＋b－1 ab2ab≥

ab－1＝1.

又a＞0，b＞0，ab＞0， ∴

ab＋≥a＋b. ba[规律方法] 作差比较法证明不等式的步骤：作差；变形；判断差的符号；下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负. 注：作商比较法也有类似的步骤，但注意其比较的是两个正数的大小，且第商与“1”的大小. [跟踪训练] (2018·临川一中)设a≠b，求证：a＋6ab＋b>4ab(a＋b)． [证明] 因为a＋6ab＋b－4ab(a＋b)

＝(a＋b)－4ab(a＋b)＋4ab ＝(a＋b－2ab)＝(a－b). 又a≠b，所以(a－b)>0， 所以a＋6ab＋b>4ab(a＋b)．

4

22

4

2

2

4

2

2

2

4

2

22

2

2

22

4

22

4

2

2

422422步要判断 3

3

综合法证明不等式 (2017·全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a＋b＝2.证明：(1)(a＋b)(a＋b)≥4； (2)a＋b≤2.

[证明] (1)(a＋b)(a＋b)＝a＋ab＋ab＋b ＝(a＋b)－2ab＋ab(a＋b)＝4＋ab(a－b)≥4. (2)因为(a＋b)＝a＋3ab＋3ab＋b＝2＋3ab(a＋b) 3(a＋b)3(a＋b)≤2＋(a＋b)＝2＋，

44所以(a＋b)≤8，因此a＋b≤2.

[规律方法] 1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A?B1?B2?…?Bn?BA为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论，它的常见书面表达式是“∵，∴”或“?”. 2.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键. [跟踪训练] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证： 111

(1)＋＋≥8；

3

2

3

3

3

2

2

3

3

32

33

4

4

2

22

5

5

6

5

5

6

55

abab?1??1?(2)?1＋??1＋?≥9. ?

a??

b?

[证明] (1)∵a＋b＝1，a>0，b>0， 11111a＋b∴＋＋＝＋＋

abababab

?11??a＋b＋a＋b? ＝2?＋?＝2???ab??ab?

?ab?

?ba?＝2?＋?＋4≥4

ba·＋4＝8 ab1111

(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，∴＋＋≥8.

2abab111?1??1?111

(2)∵?1＋??1＋?＝＋＋＋1，由(1)知＋＋≥8.

?a??b?abababab?1??1?∴?1＋??1＋?≥9. ?

a??

b?

用分析法证明不等式 (1)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥3； 111

(2)设x≥1，y≥1，求证x＋y＋≤＋＋xy.

xyxy【导学号：79140399】

[证明] (1)因为a，b，c>0， 所以要证a＋b＋c≥3， 只需证明(a＋b＋c)≥3.

即证：a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 而ab＋bc＋ca＝1，

故需证明：a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)． 即证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.

而ab＋bc＋ca≤成立． 所以原不等式成立． (2)由于x≥1，y≥1， 111

要证x＋y＋≤＋＋xy，

2

2

22

2

2

2

2

2

2

a2＋b2b2＋c2c2＋a2

2

＋2＋

2

＝a＋b＋c(当且仅当a＝b＝c时等号成立)

222

xyxy只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy). 因为[y＋x＋(xy)]－[xy(x＋y)＋1] ＝[(xy)－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1) ＝(xy－1)(xy－x－y＋1)

2

2

2

＝(xy－1)(x－1)(y－1)， 因为x≥1，y≥1，

所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0， 从而所要证明的不等式成立．

[规律方法] 分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”. [跟踪训练] (2018·广州综合测试(二))(1)已知a＋b＋c＝1，证明：(a＋1)＋(b＋1)＋162

(c＋1)≥；

3

(2)若对任意实数x，不等式|x－a|＋|2x－1|≥2恒成立，求实数a的取值范围． [证明] (1)法一：因为a＋b＋c＝1，

所以(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)＝a＋b＋c＋2(a＋b＋c)＋3＝a＋b＋c＋5. 16222

所以要证(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)≥，

31222

只需证a＋b＋c≥. 3

因为a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca) ≥(a＋b＋c)－2(a＋b＋c)， 所以3(a＋b＋c)≥(a＋b＋c). 1222

因为a＋b＋c＝1，所以a＋b＋c≥.

316222

所以(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)≥.

3法二：因为a＋b＋c＝1，

所以(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)＝a＋b＋c＋2(a＋b＋c)＋3＝a＋b＋c＋5. 16222

所以要证(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)≥，

31222

只需证a＋b＋c≥. 3

121212222

因为a＋≥a，b＋≥b，c＋≥c，

93939312222

所以a＋b＋c＋≥(a＋b＋c)．

331222

因为a＋b＋c＝1，所以a＋b＋c≥.

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22216222

所以(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)≥.

31682

法三：因为(a＋1)＋≥(a＋1)，

931682

(b＋1)＋≥(b＋1)，

931682

(c＋1)＋≥(c＋1)，

93

168222

所以(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)＋≥[(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)]．

33因为a＋b＋c＝1，

16222

所以(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)≥.

3(2)设f(x)＝|x－a|＋|2x－1|，

则“对任意实数x，不等式|x－a|＋|2x－1|≥2恒成立”等价于“f(x)min≥2”．

?1?－x＋1－a，a≤x≤，1

2当a<时，f(x)＝?2

1

3x－a－1，x>.??2

?1?1

此时f(x)min＝f??＝－a，

?2?2

－3x＋a＋1，x

1

要使|x－a|＋|2x－1|≥2恒成立，必须－a≥2，

23

解得a≤－. 2

1?1??1??1?2

当a＝时，f(x)＝?x－?＋|2x－1|＝3?x－?≥2，即?x－?≥不可能恒成立．

2?2??2??2?3

??1

1当a>时，f(x)＝?2x＋a－1，≤x≤a，2

??3x－a－1，x>a.

1?1?此时f(x)min＝f??＝a－，

2?2?

1－3x＋a＋1，x<，2

1

要使|x－a|＋|2x－1|≥2恒成立，必须a－≥2，

2

5

解得a≥.

2

3??5??综上所述，实数a的取值范围为?－∞，－?∪?，＋∞?. 2??2??

已知x，y，z均为实数．

(1)若x＋y＋z＝1，求证：3x＋1＋3y＋2＋3z＋3≤33； (2)若x＋2y＋3z＝6，求x＋y＋z的最小值．

[解] (1)证明：因为(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)≤(1＋1＋1)(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)＝27.

所以3x＋1＋3y＋2＋3z＋3≤33. 21

当且仅当x＝，y＝，z＝0时取等号．

33

(2)因为6＝x＋2y＋3z≤x＋y＋z·1＋4＋9，

18yz369222222

所以x＋y＋z≥，当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z有最小值

72377718

. 7

[规律方法] 1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明. 11?222?12.利用柯西不等式求最值的一般结构为：a1＋a2＋…＋an)?2＋2＋…＋2?2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

柯西不等式的应用 ?a1a22an?＋1＋…＋2＝n.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条件. 2222[跟踪训练] (2017·江苏高考)已知a，b，c，d为实数，且a＋b＝4，c＋d＝16，证明：ac＋bd≤8.

[证明] 由柯西不等式，得(ac＋bd)≤(a＋b)(c＋d)．

因为a＋b＝4，c＋d＝16， 所以(ac＋bd)≤64， 因此ac＋bd≤8.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

第一节 集 合

[考纲传真] (教师用书独具)1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．

(对应学生用书第1页) [基础知识填充]

1．元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法． (4)常见数集的记法 集合 符号 自然数集 N 正整数集 N(或N＋) *整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 2.集合间的基本关系 表示 关系 集合间的基本关系 相等 子集 真子集 文字语言 集合A与集合B中的所有元素都相同 符号语言 A＝B A?B AB A中任意一个元素均为B中的元素 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 空集 3.集合的基本运算 图形表示 符号表示 意义 并集 交集 补集 A∪B {x|x∈A或x∈B} A∩B {x|x∈A且x∈B} ?UA {x|x∈U且x?A} [知识拓展] 集合关系与运算的常用结论 (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2个，真子集有2－1个． (2)任何集合是其本身的子集，即：A?A.

nn

(3)子集的传递性：A?B，B?C?A?C. (4)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.

(5)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任何集合都有两个子集．( )

(2){x|y＝x}＝{y|y＝x}＝{(x，y)|y＝x}．( ) (3)若{x1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ) (4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )

(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立． (6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )

[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．

(2)错误．三个集合分别表示函数y＝x的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y＝x上的点集．

(3)错误．当x＝1时，不满足互异性．

(4)正确．两个集合均为不大于1的实数组成的集合． (5)正确．由交集、并集、子集的概念知，正确． (6)错误．当A＝?时，B，C可为任意集合．

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×

2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤22}，a＝2，则下列结论正确的是( )

【导学号：79140000】

A．{a}?A B．a?A C．{a}∈A D．a?A D [由题意知A＝{0,1,2}，由a＝2，知a?A.]

3．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )

A．{x|－2＜x＜－1} C．{x|－1＜x＜1}

B．{x|－2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}

2

2

2,

2

2

2

A [∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}， ∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.]

4．设全集U＝{x|x∈N＋，x＜6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则?U(A∪B)等于( )

A．{1,4} C．{2,5}

B．{1,5} D．{2,4}

D [由题意得A∪B＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U＝{1,2,3,4,5}，∴?U(A∪B)＝{2,4}．]

5．已知集合A＝{x＋x,4x}，若0∈A，则x＝________.

2

??x＋x＝0，

－1 [由题意，得?

?4x≠0?

2

??4x＝0，

或?2

?x＋x≠0，?

解得x＝－1.]

(对应学生用书第2页)

(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

22 0192 019

(2)已知a，b∈R，若?a，，1?＝{a，a＋b,0}，则a＋b为( )

集合的基本概念 ??

ba??

A．1 C．－1

B．0 D．±1

(1)B (2)C [(1)因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4，a＝1,2,3时，x＝5,6,7.

当b＝5，a＝1,2,3时，x＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x＝5,6,7,8. 即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素． (2)由已知得a≠0，则＝0，

所以b＝0，于是a＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 0192

ba＋b2 019

＝(－1)

2 019

＋0

2 019

＝－1.]

[规律方法] 与集合中的元素有关的问题的求解策略 确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集. 看这些元素满足什么限制条件. 根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性. [跟踪训练] (1)若集合A＝{x∈R|ax－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( ) 999A. B. C．0 D．0或 288

(2)已知集合A＝{m＋2,2m＋m}，若3∈A，则m的值为________.

【导学号：79140001】

32

(1)D (2)－ [(1)若集合A中只有一个元素，则方程ax－3x＋2＝0只有一个实根或

2

2

2有两个相等实根．

2

当a＝0时，x＝，符合题意；

3

92

当a≠0时，由Δ＝(－3)－8a＝0得a＝，

89

所以a的取值为0或. 8

(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m＋m＝3. 当m＋2＝3，即m＝1时，2m＋m＝3， 此时集合A中有重复元素3， 所以m＝1不符合题意，舍去；

32

当2m＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)，

231

此时当m＝－时，m＋2＝≠3符合题意．

223

所以m＝－.] 2

(1)已知集合A＝{x|y＝1－x，x∈R}，B＝{x|x＝m，m∈A}，则( ) A．AB C．A?B

B．BA D．B＝A

2

2

2

2

集合间的基本关系 (2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|－m＜x＜m}．若B?A，则m的取值范围为________．

(1)B (2)m≤1 [(1)由题意知A＝{x|－1≤x≤1}， 所以B＝{x|x＝m，m∈A}＝{x|0≤x≤1}， 因此BA.

(2)当m≤0时，B＝?，显然B?A，

当m＞0时，因为A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}＝{x|－1＜x＜3}． 当B?A时，有

－m≥－1，??

所以?m≤3，

??－m＜m.所以0＜m≤1.

2

综上所述，m的取值范围为m≤1.] [规律方法] 1.集合间基本关系的两种判定方法 化简集合，从表达式中寻找两集合的关系. 用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系. 2.根据集合间的关系求参数的方法,已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解. 易错警示：B?AA≠?，应分B＝?和B≠?两种情况讨论. [跟踪训练] (1)已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4

(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围是________．

(1)D (2)(－∞，4] [(1)由x－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}． 由题意知B＝{1,2,3,4}，

所以满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)∵B?A，

∴当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠?时，若B?A，如图．

22m＋1≥－2，??

则?2m－1≤7，??m＋1＜2m－1，

解得2＜m≤4.

综上，m的取值范围为m≤4.]

◎角度1 集合的运算

(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3＜1}，则( ) A．A∩B＝{x|x＜0} C．A∪B＝{x|x＞1}

B．A∪B＝R D．A∩B＝?

x集合的基本运算 (2)(2018·九江一中)设U＝R，A＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(?UB)

＝( )

A．{1,2}

C．{－3，－2，－1,0}

xB．{－1,0,1,2} D．{2}

(1)A (2)C [(1)∵B＝{x|3＜1}，∴B＝{x|x＜0}．

又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A. (2)由题意得?UB＝{x|x＜1}，∴A∩(?UB)＝{－3，－2，－1,0}，故选C.] ◎角度2 利用集合的运算求参数

???1

(2018·合肥第二次质检)已知A＝[1，＋∞)，B＝?x∈R?

?2??

??

a≤x≤2a－1?，若

??

A∩B≠?，则实数a的取值范围是( )

A．[1，＋∞) 2??C.?，＋∞?

?3?

1??a≤2a－1，A [集合A∩B≠?，则?2

??2a－1≥1，解得a≥1，故选A.] ◎角度3 新定义集合问题

如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合

?1?B．?，1?

?2?

D．(1，＋∞)

A＝{2x,0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝______.

{0,6} [由题意可知－2x＝x＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．] [规律方法] 解决集合运算问题需注意以下四点： 看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提. 看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解. 要借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍. 以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以创新，但最终应转化为原来的集合问题来解决. [跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( ) A．{1，－3}

B．{1,0}

22

C．{1,3} D．{1,5}

(2)已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分(如图1-1-1)表示的集合是( )

图1-1-1

A．[－1,1) B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)

(3)设A，B是非空集合，定义A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，则A?B＝________.

【导学号：79140002】

(1)C (2)D (3){0}∪[2，＋∞) [(1)∵A∩B＝{1}， ∴1∈B.

∴1－4＋m＝0，即m＝3. ∴B＝{x|x－4x＋3＝0}＝{1,3}． 故选C.

(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(?UN)＝(－3，－1)．

(3)由已知A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，结合数轴得A?B＝{0}∪[2，＋∞)．]

2

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

[考纲传真] (教师用书独具)1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

(对应学生用书第3页) [基础知识填充]

1．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

图1-2-1

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 2．充分条件与必要条件

(1)若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)若p?q，且?/p，则p是q的充分不必要条件； (3)若p?/q且q?p，则p是q的必要不充分条件； (4)若p?q，则p是q的充要条件；

(5)若p?/q且q?/p，则p是q的既不充分也不必要条件． [知识拓展] 集合与充要条件

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有： (1)若A?B，则p是q的充分条件，若A(2)若B?A，则p是q的必要条件，若B(3)若A＝B，则p是q的充要条件．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“x＋2x－3<0”是命题．( )

(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．( )

﹁

2

B，则p是q的充分不必要条件． A，则p是q的必要不充分条件．

(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( ) (4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )

(5)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．( ) [解析] (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．

(3)正确．因为两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (4)正确．q是p的必要条件说明p?q，所以p是q的充分条件． (5)正确．原命题与逆否命题是等价命题． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√

π

2．(教材改编)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )

4

π

A．若α≠，则tan α≠1

4π

B．若α＝，则tan α≠1

4π

C．若tan α≠1，则α≠

4π

D．若tan α≠1，则α＝

4

π﹁﹁﹁﹁

C [“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，显然q：tan α≠1，p：α≠，

4π

所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．]

43．“x＝1”是“(x－1)(x＋2)＝0”的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

A [若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不一定成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x＝1或－2.]

4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( ) A．1 C．3

B．2 D．4

B [原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个真命题．] 5．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 B [∵2－x≥0，∴x≤2. ∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2.

∵当x≤2时不一定有x≥0，当0≤x≤2时一定有x≤2， ∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件． 故选B.]

(对应学生用书第4页)

2

2

四种命题的关系及其真假判断 (1)命题“若a＞b，则a＞b”的否命题是( ) A．若a＞b，则a≤b C．若a≤b，则a＞b

2

2

2

2

B．若a≤b，则a≤b D．若a≤b，则a≤b

2

2

22

(2)(2017·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是( ) A．命题“若x＞1，则x＞1”的否命题 B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题 C．命题“若x＝1，则x＋x－2＝0”的否命题 1

D．命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题

22

x(1)B (2)B [(1)根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．该题中，p为a＞b，q为a＞b，故p为a≤b，q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a≤b，则a≤b.

(2)对于A，命题“若x＞1，则x＞1”的否命题为“若x≤1，则x≤1”，易知当x＝－2时，x＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x＋x－2＝0，11

故为假命题；对于D，命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题为“若x≤1，则≤1”，2

2

2

2

2

2

2

2

﹁

2

2

﹁

2

2

﹁

﹁

xx易知为假命题，故选B.]

[规律方法] 命题真假的两种判断方法 联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断. 利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断. 易错警示：写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提. 判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.) [跟踪训练] (2017·南昌十校二模)已知命题“已知a，b，c为实数，若abc＝0，则a，b，c中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为

( )

【导学号：79140007】

A．0 C．2

B．1 D．3

D [原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.]

充分条件与必要条件的判断 (1)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

(2)(2017·安徽百所重点高中二模)“a＞b”是“ln a＞ln b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(1)A (2)B [(1)法一：由题意知|m|≠0，|n|≠0. 设m与n的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m＝λn， 则m与n反向共线，θ＝180°， ∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.

当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.

3

3

A．p真，q真 C．p真，q假

B．p假，q真 D．p假，q假

(1)A (2)B [(1)命题p中，因为函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，所以函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上为减函数，所以p是真命题；命题q中，设f(x)＝2

cos x，则

f(－x)＝2cos(－x)＝2cos x＝f(x)，x∈R，所以函数y＝2cos x是偶函数，所以q是真命题，所

以p且q是真命题，故选A.

(2)因为p为真命题，所以p为假命题，又因为p或q为真命题， 所以q为真命题．]

[规律方法] 判断“p或q，p且q，p”形式的命题真假的三个步骤与依据 确定命题的构成形式； 判断p，q的真假； 依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，确定“p或﹁﹁

q”“p且q”“﹁p”等形式命题的真假. [跟踪训练] (2018·呼和浩特一调)命题p：x＝2π是函数y＝|sin x|的一条对称轴，q：π﹁

是y＝|tan x|的最小正周期，下列命题①p或q；②p且q；③p；④q，其中真命题2有( )

【导学号：79140013】

A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

C [由已知得命题p为真命题，命题q为假命题，所以p或q为真命题，p且q为假命题，q为真命题，所以真命题有①③④，共3个，故选C.]

﹁

◎角度1 全称命题、特称命题的真假判断

下列命题中，真命题是( ) A．任意x∈R，x－x－1＞0

B．任意α，β∈R，sin(α＋β)＜sin α＋sin β C．存在x∈R，x－x＋1＝0

D．存在α，β∈R，sin(α＋β)＝cos α＋cos β

22

全称命题、特称命题 5?1?5

D [因为x－x－1＝?x－?－≥－，所以A是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α

4?2?4

2

2

?1?33

＋β)＝sin α＋sin β，所以B是假命题．x－x＋1＝?x－?＋≥，所以C是假命

?2?44

2

2

π

题．当α＝β＝时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D是真命题，故选D.]

2◎角度2 含有一个量词的命题的否定

命题“任意n∈N＋，f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定形式是( ) A．任意n∈N＋，f(n)?N＋且f(n)>n B．任意n∈N＋，f(n)?N＋或f(n)>n C．存在n0∈N＋，f(n0)?N＋且f(n0)>n0 D．存在n0∈N＋，f(n0)?N＋或f(n0)>n0

D [写全称命题的否定时，要把量词“任意”改为“存在”，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．]

[规律方法] 1.全称命题、特称命题的真假判断方法 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得px成立；x0不成立即可. 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使px0成立即可，否则，这一特称命题就是假命题. 2.全称命题与特称命题的否定 改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写. 否定结论：对原命题的结论进行否定. ?π?﹁

[跟踪训练] (1)已知命题p：存在x∈?0，?，使得cos x≤x，则p为( )

2??

?π?A．存在x∈?0，?，使得cos x＞x

2???π?B．存在x∈?0，?，使得cos x＜x 2???π?C．任意x∈?0，?，总有cos x＞x 2???π?D．任意x∈?0，?，总有cos x≤x 2??

(2)下列命题中的假命题是( ) A．存在x0∈R，lg x0＝0 C．任意x∈R，x＞0

3

B．存在x0∈R，tan x0＝3 D．任意x∈R,2＞0

x(1)C (2)C [(1)原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x≤x”的否定是“cos x＞x”．故选C.

π

(2)当x＝1时，lg x＝0，故命题“存在x0∈R，lg x0＝0”是真命题；当x＝时，3

tan x＝3，故命题“存在x0∈R，tan x0＝3”是真命题；由于x＝－1时，x＜0，故命题“任意x∈R，x＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对任意x∈R,2＞0，故命题“任意x∈R,2＞0”是真命题．]

x3

3

x 2

由命题的真假求参数的取值范围 给定命题p：对任意实数x都有ax＋ax＋1＞0成立；q：关于x的方程x－x＋a＝0有实数根．如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．

[解] 当p为真命题时，“对任意实数x都有ax＋ax＋1＞0成立”?a＝0或

??a＞0，?

?Δ＜0，?

2

2

∴0≤a＜4.

12当q为真命题时，“关于x的方程x－x＋a＝0有实数根”?Δ＝1－4a≥0，∴a≤.

4∵p或q为真命题，p且q为假命题， ∴p，q一真一假．

1

∴若p真q假，则0≤a＜4，且a＞，

4

a＜0或a≥4，??1

∴＜a＜4；若p假q真，则?14a≤，??4

即a＜0.故实数a的取值范围为(－

?1?∞，0)∪?，4?.

?4?

[规律方法] 根据复合命题的真假求参数范围的步骤 先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围. 再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况有时不一定只有一种情况最后由的结果求出满足条件的参数取值范围. 1[跟踪训练] (1)(2018·太原模拟(二))若命题“任意x∈(0，＋∞)，x＋≥m”是假命题，

x则实数m的取值范围是________.

【导学号：79140014】

(2)已知p：存在x0∈R，mx0＋1≤0，q：任意x∈R，x＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为( ) A．m≥2

C．m≤－2或m≥2

B．m≤－2 D．－2≤m≤2

2

2

1

(1)(2，＋∞) (2)A [(1)由题意，知“存在x∈(0，＋∞)，x＋＜m”是真命题，又

x1

因为x∈(0，＋∞)，所以x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，所以实数m的取值范

x围为(2，＋∞)．

(2)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，任意x∈R，mx＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m－4≥0，m≤－2或m≥2.

??m≥0，

因此，由p，q均为假命题得?

?m≤－2或m≥2，?

2

2

即m≥2.]

第一节 函数及其表示

[考纲传真] (教师用书独具)1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．

(对应学生用书第8页) [基础知识填充]

1．函数与映射的概念

函数 映射 设A，B是两个非空的集合 集合A与B存在着对应关系f，对于集合A中的每一个元素两集合A，B 设A，B是两个非空的数集 如果按照某个对应关系f，对于集对应关系f：合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)和它对应 名称 记法 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：

把对应关系f叫作定义在集合A上的函数 函数y＝f(x)，x∈A A→B x，集合B中总有唯一的元素y与之对应 称这种对应为从集合A到集合B的映射 映射：f：A→B 数集A叫作函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法：

表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 3．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．

分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

[知识拓展]

1．函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．

2．分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数

解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数是特殊的映射．( )

(2)函数y＝1与y＝x是同一个函数．( )

(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×

2．(教材改编)函数y＝2x－3＋

1

的定义域为( ) x－3

B．(－∞，3)∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)

0

?3?A.?，＋∞? ?2??3?C.?，3?∪(3，＋∞) ?2?

??2x－3≥0，

C [由题意知?

?x－3≠0，?

3

解得x≥且x≠3.]

2

3．如图2-1-1所示，所给图像是函数图像的有( )

图2-1-1

A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

B [(1)中，当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此(1)不是函数图像；(2)中，当x＝x0时，y的值有两个，因此(2)不是函数图像；(3)(4)中，每一个x的值对应唯一的y值，因此(3)(4)是函数图像，故选B.]

x＋1，x≤1，??

4．设函数f(x)＝?2

，x＞1，??x2

则f(f(3))＝________.

2?213213? [f(3)＝，f(f(3))＝??＋1＝.]

939?3?

5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax－2x的图像过点(－1,4)，则a＝________.

－2 [∵f(x)＝ax－2x的图像过点(－1,4)， ∴4＝a×(－1)－2×(－1)，解得a＝－2.]

3

3

3

(对应学生用书第9页)

求函数的定义域

(1)(2018·济南一模)函数f(x)＝

13x2－＋的定义域为________．

2x＋1

(2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝

fxx－1

的定义域是________．

?x1

(1)(－1，＋∞) (2)[0,1) [(1)由题意得?2－≥0，

2?

x＋1≠0，

解得x＞－1，所

以函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)．

(2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，所以0≤x＜1，即g(x)的定义域为[0,1)．]

[规律方法] 函数定义域问题的类型及求解策略 已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解. 实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解. 抽象函数： ①若已知函数fx的定义域为[a，b]，其复合函数fgx的定义域由不等式a≤gxb求出； 的定义域为[a，b]，则fx的定义域为gx在x∈[a，b]②若已知函数fgx时的值域. ③已知f[φx定义域为[m，n]，求f[hx定义域，先求φx值域[a，b]，令a≤hxb，解出x即可. 3x2[跟踪训练] (1)函数f(x)＝

＋lg(3x＋1)的定义域是( )

1－x?1?A.?－，1? ?3??11?C.?－，? ?33?

x?1?B.?－，＋∞? ?3?

1??D.?－∞，－?

3??

(2)已知函数f(2)的定义域为[－1,1]，则f(x)的定义域为________.

【导学号：79140019】

?1?(1)A (2)?，2? [(1)由题意可知{1－x＞0，

?2?

x＋1＞0， 解得

?

?x＜1，?

x＞－，x13

1

∴－＜x＜1，故选A.

3

(2)∵f(2)的定义域为[－1,1]， 1x?1?∴≤2≤2，即f(x)的定义域为?，2?.] 2?2?

求函数的解析式 ?1?21

(1)已知f?x＋?＝x＋2，求f(x)的解析式；

?

x?

x?2?(2)已知f?＋1?＝lg x，求f(x)的解析式；

?x?

(3)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式；

?1?(4)已知f(x)＋2f??＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．

?x?

1?1?21?1?2

[解] (1)由于f?x＋?＝x＋2＝?x＋?－2，令t＝x＋，当x＞0时，t≥2?x?

x?x?

xx·

x1

＝2，当且仅当x＝1时取等号；

1??当x＜0时，t＝－?－x－?≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，

?x?

∴f(t)＝t－2t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．f(x)的解析式是f(x)＝x－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

22

(2)令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝，

xt－1∴f(t)＝lg

22

，即f(x)＝lg(x＞1)． t－1x－1

2

22

(3)设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)＋b(x＋1)－ax－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1， ∴{2a＝1，

2

2

a＋b＝－1， 即?a＝，b＝－，

?

?

1

232

123

∴f(x)＝x－x＋2.

22

1?1??1?(4)∵f(x)＋2f??＝x，∴f??＋2f(x)＝. ?x??x?

x联立方程组?f?

?

x＋2f??＝x，f??＋2fx＝，

x?x??x?

?1??1?1

2x解得f(x)＝－(x≠0)．

3x3

[规律方法] 求函数解析式的常用方法 待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法. 换元法：已知复合函数fgx范围. 构造法：已知关于fx的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值?1?与f??或fx?? －x的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出fx[跟踪训练] (1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式； (2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求

f(x)的解析式．

[解] (1)法一：(换元法)设x＋1＝t(t≥1)，则x＝t－1，所以f(t)＝(t－1)＋2(t－1)＝t－1(t≥1)，所以f(x)＝x－1(x≥1)． 法二：(配凑法)f(x＋1)＝x＋2x＝(x＋1)－1， 又x＋1≥1，所以f(x)＝x－1(x≥1)． (2)设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2， 所以a＝1，b＝2，f(x)＝x＋2x＋c. 又因为方程f(x)＝0有两个相等的实根， 所以Δ＝4－4c＝0，c＝1， 故f(x)＝x＋2x＋1.

2

2

2

2

2

2

2

2

◎角度1 求分段函数的函数值

(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝{1＋log2

分段函数及其应用 －x，x<1，

x－1

，x≥1， 则

f(－2)＋f(log212)＝( )

A．3 C．9

C [∵－2<1，

∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3. log212－112

∵log212>1，∴f(log212)＝2＝＝6.

2∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C.] ◎角度2 已知分段函数的函数值求参数

(2017·成都二诊)已知函数f(x)＝{log2x，x≥1，x＋m，x＜1， 若f(f(－

2

2

B．6 D．12

1))＝2，则实数m的值为( ) A．1 C.3

2

2

B．1或－1 D.3或－3

2

D [f(f(－1))＝f(1＋m)＝log2(1＋m)＝2，m＝3，解得m＝±3，故选D.] ◎角度3 解与分段函数有关的方程或不等式

(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝{x＋1，x≤0，

x，x＞0， 则满足f(x)＋

f?x－?＞1的x的取值范围是________．

2

??

1??

?－1，＋∞? [当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋1>1，解得x>－1， ?4?24??

1

∴－

4

11x当01，显然成立．

2211x当x>时，原不等式为2＋2x－>1，显然成立．

22

?1?综上可知，x的取值范围是?－，＋∞?.]

?4?

[规律方法] 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现ffa的形式时，应从内到外依次求值已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围自变量的范围不确定时，应分类讨论. [跟踪训练] (1)(2017·山东高考)设f(x)＝{x，0

?a?

A．2 C．6

B．4 D．8

x2

(2)(2018·北京西城区二模)函数f(x)＝{2， x≤0，1

________；方程f(－x)＝的解是________．

2(3)已知函数f(x)＝{x＋2ax，x≥2，

2

1?

x，x＞0， 则f???＝

?4?

x＋1，x＜2， 若f(f(1))＞3a2，则a的取

值范围是________.

【导学号：79140020】

(1)C (2)－2 －2或1 (3)(－1,3) [(1)若0

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