客观、合理评价学生学习状况的数学模型

客观、合理评价学生学习状况的数学模型

摘 要

目前对学生学习状况的评价相对比较主观，以测试成绩的高低来评价学生的学习优劣。这种评价方式单一，忽略了不通基础水平同学的进步程度以及测试本身的局限性，为了更好鼓励基础相对较差的学生努力学习，我们需要建立一个客观、更合理的评价学生学习状况的数学模型。通过以上考虑，本文试图通过回答以下几个问题来达到目的： 问题一：通过分析题目所给的612名学生的整体成绩情况，其中包括每个学期整体的平均成绩、及格率、最高分、最低分、方差、标准差等多项指标有关，通过所给数据，得到图表。整体情况为：及格率均在90%以上，并逐年增长，平均分在70分以上，整体成绩良好。

问题二：为了体现学生成绩进步在整体评价中的作用，采用学生每个学期的成绩和进步情况作为指标, 我们采用了两种方法：

模糊层次分析法：考虑到每次考试的难易度不同先通过分数转换将学生的成绩转换成“标准分”，且进步度=进步率×学生的成绩平均分。通过糊层次分析方法得出最后求出各个因素的权重向量为：W'?(0.0900,0.0967,0.1033,0.1030,0.1800,0.1800,0.2400)，再利用模糊层次分析方法得出学生i学习状况的综合评定指标如下：

Ci?k1?x1i?k2?x2i?k3?x3i?k4?x4i?k5?x5i?k6?x6i?k7?x7i

灰色关联分析法：利用标准分和由黑尔指数法求得的进步分数进行评价。根据灰色关联度分析法得到各指标的关联度，又由于灰色关联分析法是等权划分，不能显示出各指标的重要性差异，所以我们运用模糊层次分析法中得到的权重。由此可以得到较为客观的综合评价模型：总和评价结果=各个指标的权重与取值的乘积之和。

问题三： 根据不同的评价方法预测这些学生后两个学期的学习情况：

多元线性回归预测模型：只考虑原先度考试成绩对后来考试成绩的影响。利用matlab中的regress函数得到第四个学期成绩与第三个学期的关系，发现第四个学期的成绩受三个学期的成绩的影响是比较大的，因此可以得到第五个学期与第六个学期的成绩

分析对一些进行结果分析，再对于一些成绩浮动过大或是缺考的学生可以剔除再计算进行比较。

灰色预测模型：利用matlab编辑预测函数

u??ak?0axi(k?1)=xi(k?1)?xi(k)=?xi(1)??e(1?e)算出第i个学生第j学期的预测成绩。再

a???0?1?1利用这个函数来分别算出已知学期学生的成绩与原始的数据进行残差检验，分别求出他

们的绝对误差与相对误差判断得知该模型型建立是合理、客观和全面的。预测结果如下：

序号 5 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 77.560 77.69 75.51 77.83 81.51 78.51 59.64 18.19 70.96 72.33 78.685 78.41 81.15 76.68 81.60 82.43 55.72 12.06 69.64 72.66

关键字：黑尔指数转换法 模糊层次分析 多元线性回归预测 分数转换标准分灰色关联分析 权重

一． 问题重述

学生的学习状况是体现学生的学习能力和评价学校教学质量的一个重要指标。然而传统的评价方式单纯根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽略了学生基础条件的差异以及学生的进步程度，所以单纯的通过测试成绩来评价学生的学习状况是不合理的。

故而，建立合理的数学模型来解决这类问题是势在必行的。 在本题中，我们需要解决的问题有以下三个：

1.根据附件数据，对附件中给出的612名学生的整体情况进行分析说明；

2.根据附件数据，采用两种及以上方法，全面、客观、合理的评价这些学生的学习状况；

3.根据不同的评价方法，预测这些学生后两个学期的学习情况。

二．问题分析

? 问题一：根据统计学知识，我们认为这612名学生的整体情况应该包括每个学期整

体的平均成绩、最高分、最低分、极差、中位数、方差、标准差、偏度等多项指标。通过附表所给的数据进行统计整理，我们可以得到各学期的相关指标，并对其分布进行正态性检验，通过各项指标的对比还可以对四个学期成绩分布之间的相关性进行研究。我们也可由此对学生的整体情况进行全面、直观、科学的说明。

? 问题二：我们认为评价一个学生的学习状况可以有多方面的因素，诸如学习环境、

学习基础、考试难度、进步状况等。但是由于附件中只给出了612名学生连续四个学期的综合成绩，如果从多个因素着手就会脱离客观现实，具有不可操作性，因此，我们只能着眼于学生的学习综合成绩和进步状况。本题所用的两种模型就只针对这两类因素展开，层次分析图如下：

目标层： 学生学习情况综合评价A

准则层： 学生实际成绩B1 学生成绩进步情况B2

指标层： 第 第 第 第 第 第 第 一 二 三 四 二 三 四 学 学 学 学 学 学 学 期 期 期 期 期 期 期 成 成 成 成 进 进 进 绩 绩 绩 绩 步 步 步 度 度 度 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7

对于该问题我们采两个不同的模型进行：

模型一：我们考虑到的是成绩与进步度的影响因素，由于每学期的难易度不同，我们可以将其转换成“标准分”，这样既降低了这方面的误差，又排除了不同基础水平的同学进步情况受影响的因素，可以令进步度=进步率×学生的成绩平均分。接着就可以根据模糊层次分析的原理进行建模与求解。

模型二：灰色关联分析法是一种多因素统计分析方法，对信息不精确、不完全确定的小样本系统有明显的分析优势。其核心是关联度的计算，但如果没有考虑各指标重要性差异和允许指标属性之间相互线性补偿，将导致信息的流失，并且产生较大的误差。运用模糊层次法能够对每个评价指标的重要程度予以充分的考虑和保证，客观地揭示各评价指标的重要性。因此，评价过程可以运用模糊层次分析法来确定评价指标的权重，建立基于灰色关联度的灰色综合评价模型。

? 问题三：观察数据我们可以想到的是基本的统计回归接着进行运算即可，接着再进

行相应的残差分析，判断数据的可行性而模糊预测模型通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。

三． 模型的假设及符号说明

3.1.模型的假设

1.假设每个学期的总和成绩的满分为100分； 2.假设每个学期的学生人数不会变动；

3.假设每位学生所处的学习考试环境相同；

4.假设附件数据中的两个零是由特殊情况所致； 5.每位学生的学习能力基本保持不变；

6.以后两个学期记分方式与前面四个学期记分方式相同。 3.2.符号说明 i 第i个学生, i?1,2?612 第j个指标, j?1,2,?7 第i名学生针对第j个指标的原始数据 第i名学生的相对重要程度函数值 Zi与Z1在第k点的关联系数; j xij Zi yi(k)Sij 第i名学生针对第j个指标标准化后的数据; 分辨系数 ? xj 第j个学期学生的总体平均分 分别是每个学期的学生总体与标准差j=1,2,3,4 sj rij Ci sij 下层第i个元素相对于第j个元素的模糊关系 第i个学生的评价分 第i个学生第j个学期的标准分,j=1,2,3,4 第i个学生四个学期的平均分 第i个学生第j个学期的进步度；j=2,3,4 第i个因素的指标。i-1,2,3,4,5,6,7. 各个学期名次为k的平均分 准则层对目标层的权值 指标层对准则层的权值 si cij ki mk w0 w12,w11

四． 模型的建立与求解

4.1.对学生整体成绩进行分析

利用附件中所给的数据进行统计，得到了学生成绩总体分布的情况如图所示。数据处理时把成绩分为四个等级，80分及以上的为优秀，70分到80分之间的为良好，60分到70分之间的为合格，小于60分的为不及格。

四个学期学生成绩分布情况350300250人数20015010050012学期34优秀人数良好合格不及格

从上述处理结果可以看出，四个学期的学习成绩良好及以上同学居多，且不及格人数逐年减少。

运用Excel对统计后的数据进一步分析与计算得到的表格如下： 平均分 72.88555681 74.85333673 73.76263004 75.93762224 最高分 最低分 极差 中位数 总分 方差 标准差 偏度 优秀人数 良好 合格 不及格 及格 及格率 分数>90 89.45 27.53125 61.91875 74.52083333 43658.44853 81.39423623 9.021875427 -0.577725994 138 273 136 52 547 0.89379085 0 90.85185185 19.18181818 71.67003367 76.93939394 44837.1487 89.66409054 9.469112447 -0.380977955 205 243 109 42 557 0.910130719 2 表1 90.61584906 22.05263158 68.56321748 74.40330189 44183.81539 58.14112094 7.62503252 -0.488578121 130 301 143 25 574 0.937908497 1 89.625 19.43023256 70.19476744 76.745 45486.63572 56.29434797 7.502955949 0.974336831 194 284 105 16 583 0.952614379 0 由上表可以得出：一、二、三学期的偏度为负，说明呈负偏态分布，即分数小于平均分的学生比大于平均分的学生多；第四学期的偏度为正，说明呈正偏态分布，即分数大于平均分的学生比小于平均分的学生多。由此说明学生的整体成绩提高了。同时我们还可以得到以下结论：

（1）、四个学期的及格率均在89%以上，可以肯定大部分学生的学习能力； （2）、第一、二学期的标准差较第三、四学期的大，说明前两个学期的分数较为分散，学生的差距较大；

（3）、四个学期中，分数大于90分的学生比较少，所以该学校应该加强尖子生这块的培养；

（4）、四个学期的总平均成绩在73分左右，学生的总体学习情况良好。

由表可得，四个学期的平均成绩分别为：X1?73，X2?74，X3?73，X4?75。

协方差：Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)。相关性系数：?(X,Y)?Cov(X,Y)D(X)D(Y)。

由附件数据可得，?(X1,X2)＝0.76，因此第二学期成绩与第一学期成绩存在正非线性相关关系，同理可得第三、四学期成绩与第一学期成绩也存在正非线性相关关系。 4.2.评价学生的学习情况 4.2.1.数据处理

? 黑尔指数转换：用指数方差确定进步幅度和难度，并根据高低分着的进步幅度，一

不同的难度权重，最后根据两粗测验获得的“进步分”的多少来进行评价。 (1).根据原始的黑尔指数表格（表1）回归分析出T分与进步分公式，

根据黑尔指数换算表回归分析出T分与相应的进步分y的关系:y?0.09966*1.0473T,得到了进步分yij。 先是利用公式Tij?50?10?xij?xjxjxj，xj，其中xij是第i个学生第j个学期的成绩，

分别是每个学期的学生总体的平均分与标准差。利用这个公式将成绩装换为T分， 可将两学期两次额成绩分别转换成T分，然后将T分转换为进步分，见附录。 以下表是取序号排列1~10的学生为例所求的进步分 学生序号 T分 进步分 T 进步分 T 进步分 T 1 56.79 13.75 50.43 10.25 51.24 10.64 49.24 2 53.24 11.67 49.08 9.63 58.24 14.71 55.40 3 39.01 6.05 35.68 5.18 44.82 7.91 43.59 4 60.74 16.51 58.34 14.77 53.70 11.92 51.41 5 53.74 11.94 58.26 14.72 54.89 12.60 52.46 6 56.03 13.28 41.43 6.76 53.19 11.64 50.95 7 53.97 12.07 51.06 10.55 39.19 6.10 38.64 8 37.78 5.71 34.76 4.97 30.82 4.14 31.28 9 46.42 8.51 51.87 10.96 47.65 9.01 46.08 10 52.76 11.42 45.42 8.13 52.41 11.23 50.27 表2

? 分数的转换：由于学期的考试难度不同，将各学期的成绩分别强制重新分布，即分

别将没学期的成绩进行排名，再算出该名次四学期的平均分mi(j=1,2,..612),则若学生在j学期的成绩名次为k,则sij就为第k名次的分数。称为标准分。转换表见附录1. 现在先已前10个学生为例（以下均以前20个学生为例） 学生序号 学期1 学期2 学期3 1 80.17086 73.60982 75.48343 2 76.76518 72.60189 81.73924 3 64.92197 61.09857 68.96101 4 83.83266 82.29952 77.88961 5 77.20141 82.12876 78.89942 6 79.41556 65.78705 77.37894 7 77.42085 74.16948 62.43962 8 63.66054 60.08061 53.90643 9 70.65604 74.97018 71.95387 10 76.29021 69.39598 76.59162 表3 学期4 75.93652 73.71727 66.35911 79.8259 82.33829 70.81329 63.06503 20.8267 72.32588 68.48538 名次 294 350 510 172 102 423 551 611 387 477 以下两种方法的计算都是建立在转换后的标准分的基础上。 4.2.2.模糊层次分析模型

? 模型原理：模糊层次分析法采用0.1～0.9标度法（见附录1）， 能够准确地描述任

意两个因素之间关于某准则的相对重要程度。且由优先判断矩阵改造成的模糊一致

矩阵满足加性一致性条件即rij?rik?rjk?12，就是R的任意两行的对应元素之差为

常数。无须再做一致性检验，另外模糊层次分析法还解决了解的收敛速度及精度问题，具体步骤如下：

(1).建立优先关系矩阵。优先关系矩阵是每一层次中的因素针对于上层因素的相对重要性两两比较建立的矩阵，也称为模糊互补矩阵，即：

R?(rij)n?n?r11?????r?n1???r1n??? ?rnn?? 其中rij表示下层第i个元素相对于第j个元素的模糊关系。而因素间两两重要性比较

rij与因素重要程度权重wi,wj之间的关系为rij?0.5??wi?wj?β.0?β?0.5β越大

表示决策者越重视因素间重要程度的差异。将采用0.1-O.9标度给予数量表示，rij且

rij?rji=1。

(2).将优先关系矩阵改造成模糊一致矩阵利用加性一致性rij?rik?rjk?0.5。记

nri??k?1rik,i?1,2,?,n,做变换rij?ri?rj2n ?0.5，将优先关系矩阵改造为模糊一致矩阵。

n?12(3).根据公式wi?',,,1n,?12a?r?naj?11n,(i?1,2,?,n),a?ij，可以算出R的排序向量

W?(w1,w2...wn)T,a越小表示决策者越重视因素间重要程度的影响。推导出各因素

权重值。

(4).将各层次间的重要性权值转化为相对于总目标的综合权重。 (5).根据考评结果得出优劣次序。 ? 模型的建立与求解：

评价指标体系如上个模型的指标体系将学生学习情况的评价层定为目标层，评价中主要涉及的两个方面定为准则层，

构造优先关系矩阵并计算各因素权重值。在层次结构表的基础上建立优先关系矩阵，然后将优先关系矩阵改造为模糊一致矩阵如下： (1).优先关系矩阵及转换成模糊一致矩阵

构造优先关系矩阵：为了显示重视每个因素间重要程度间的影响取β?0.5，

rij?0.5??wi?wj?0.5

将优先矩阵转换成模糊一致矩阵，则rij?ri?rj2n?0.5

假设令成绩进步情况相对于实际成绩的权重值为：0.3:0.7则 A-B的优先关系矩阵：??0.5?0.70.3?? A-B0.5?模糊一致矩阵：??0.5?0.60.4?? 0.5?b假设令后一个成绩均比前一给成绩权重大为则为：0.1：0.2：0.3：0.4

?0.5?0.55B1-C的优先关系矩阵：??0.6??0.65?0.5?0.525B1?C模糊一致矩阵：??0.55??0.5750.450.50.550.60.4750.50.5250.550.40.450.50.550.450.4750.50.5250.35??0.4? 0.45??0.5?0.425??0.45? 0.475??0.5?c 同样的令后一个的进步度的权重比为：2:2:6 ?0.5?B2?C的优先关系矩阵：0.5??0.7??0.5? B2?C的模糊一致矩阵：?0.5?0.6?0.50.50.70.50.50.60.3??0.3

?0.5??

0.4??0.4

?0.5??由模型原理中的步骤（3）中的计算公式，为了提高排序结果的分辨率我们取并且同时取a?n?12，根据wi?,1n?12a??na1nrij,(i?1,2,?,n),a?n?12可以算的B层相对于

j?1A层，更因素权值为w0?(0.4,0.6),C层相对于B层，各指标相对应上层相应因素的权值分别为：

?w11?(0.2250,0.2417,0.2583,0.2750) ?w12?(0.3000,0.3000,0.4000)? 所以综合权重为：

k=?0.4*w11,0.6*w12?=(0.0900,0.0967,0.1033,0.1030,0.1800,0.1800,0.2400)

各因素对综合评价的影响权重

综合评价 即如下面的关系图：

第一学期成绩 0.0900 第二学期成绩 0.0967 第三学期成绩 0.1033 第四学期成绩 0.1800 第二学期进步度 0.1800 第三学期进步度 0.1800 第四学期进步度 0.2400 因此对于学生i学习状况的综合评定定量表示如下：

Ci?k1?si1?k2?si2?k3?si3?k4?si4?k5?ci5?k6?ci6?k7?ci7

进步度：考虑到学生的基础不同 算出每个学生的三个进步度,进步度是cij=再由学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ?sij?sij?1?sij?1*si，j?2,3,4

学期1 80.171 76.765 64.922 83.833 77.201 79.416 77.421 63.661 70.656 76.290 85.103 65.689 78.134 77.626 69.993 71.721 76.201 56.143 68.445 84.629 学期2 73.610 72.602 61.099 82.300 82.129 65.788 74.169 60.081 74.970 69.396 81.022 68.684 72.363 74.043 70.813 70.349 76.997 55.039 71.844 78.671 学期3 75.483 81.739 68.961 77.890 78.899 77.379 62.430 53.906 71.954 76.592 82.585 69.603 80.099 75.937 77.460 75.796 83.328 62.333 76.227 79.003 20个学生为例，对他们成绩的综合评定如下表：

进步 进步 进步 名学期4 度2 度3 度4 总评 次 75.937 -6.244 1.942 0.458 29.288 7 73.717 -4.133 9.591 -7.479 29.154 8 66.359 -3.848 8.408 -2.465 25.939 17 79.826 -1.481 -4.338 2.013 31.207 4 82.338 5.1150 -3.151 3.4930 32.713 1 70.813 -12.59 12.924 -6.224 27.363 13 63.065 -2.909 -10.96 0.694 24.757 18 20.827 -2.790 -5.099 -30.48 10.525 20 72.326 4.425 -2.916 0.375 28.853 10 68.485 -6.569 7.537 -7.693 26.871 14 65.325 -3.765 1.515 -16.41 26.411 15 65.501 3.072 0.901 -3.970 26.252 16 80.758 -5.750 8.321 0.640 31.238 3 73.444 -3.474 1.925 -2.470 28.684 11 77.379 0.866 6.937 -0.077 30.505 6 80.906 -1.428 5.783 5.035 31.413 2 77.010 0.819 6.445 -5.943 30.725 5 60.665 -1.151 7.759 -1.567 23.876 19 72.772 3.5915 4.412 -3.278 29.131 9 71.436 -5.522 0.3314 -7.512 28.006 12 表4 由表4的计算结果可看出，5号同学的综合得分最高，为32.71295，说明其学习状况在这20名同学中最好，而且其进步度也在提高。而8号同学的综合得分最低且为10.52521，说明他在这20名同学中学习状况最差，成绩一直呈下滑趋势，老师应该采取必要的措施，帮助该同学尽快摆脱这种状况。所以，由以上模型，可以对所有的学生的四个学期的成绩进行综合评定，来说明他们的学习状况。 学生的整体情况可如下图来体现：

总体分布350300250200150100500>=3020~30>=3020~3010~20<1010~201<10

上面这个表再次说明学生的学习状况整体是不错的达到中上等水平的同学占大部分，但是仍有少部分学生的总评分是比较小的，因此老师、学校应该加强对这部分同学的关心与注重。

4.2.3.灰色关联分析法

? 模型原理：灰色关联分析方法是根据因素之间发展趋势的相似或相异程度,亦即“灰

色关联度”,作为衡量因素间关联程度的一种分析方法。具体步骤如下： (1).选择母指标:可选取对方案效益影响最重要的指标作为母指标；

(2).对指标值进行处理：由于各指标的量纲不同，应对其均值化处理或初值化处理； (3).计算关联系数：yi(j)?a?b??i(j)?b?，其中：?i(j)?xi(j)'?x0(j)'，i?1,2,?m，

j?1,2,?n,a?minmin??i(k)?，b?maxmax??i(j)?，??0.5

1?j?n1?i?m1?j?6121?i?5(4).求关联度：ri?1nn?j?1yi(k)，i?1,2,?m

(7).排序：因素间的关联程度主要是用关联度的大小次序描述, 而不仅是关联度的大小。因此必须按ri的大小依次排序, 即得关联序。

? 模型建立与求解：

灰色关联分析法利用灰色关联度来描述因紊间关系的强弱、大小和次序，但把各项指标等权划分，不能显示出各指标的重要性差异。而模糊层次分析法引入了模糊一致矩阵，克服了层次分析法中判断矩阵的一致性与人类思维的一致性间存在的显著差异，减小了主观影响，可以得到较为客观的综合评价结果。 (1).选择母指标：模型一求得的权重

W?(0.0900,0.0967,0.1033,0.1030,0.1800,0.1800,0.2400)'中最大的指标c7为母指标，记xo

(2).指标的规范化处理：

利用数据处理后得到的学生成绩和进步分，再对其进行规范化处理，使其无量纲、

无数量级的差别。处理方法为：先分别求出每个指标sij中的最大、最小值，再采用

公式：xj(i)'?sij?min(sij)jmax(sij)?min(sij)jj得到无量纲x矩阵。

(3).构建综合评价模型：

根据灰色关联分析法，关联度可由以下表达式确定：

yj(i)?a?b??j(i)?b?，其中：?j(i)?xj(i)'?x0(i)'，i?1,2,?612，j?1,2,?7

a?minmin??j(k)??0，b?maxmax??j(j)?，??0.5

1?i?6121?j?51?i?6121?j?5 综合各个指标的权重和各个指标的取值，建立综合评价模型：

7Zi??wj?1j'xij

(4).再由各项指标结合附件中的数据以前20个学生为例，对他们成绩的综合评定如下表： 序进步 进步 进步 名号 学期1 学期2 学期3 学期4 度2 度3 度4 总评 次 1 80.171 73.610 75.483 75.937 -6.244 1.942 0.458 0.442 7 2 76.765 72.602 81.739 73.717 -4.133 9.591 -7.479 0.441 8 3 64.922 61.099 68.961 66.359 -3.848 8.408 -2.465 0.432 17 4 83.833 82.300 77.890 79.826 -1.481 -4.338 2.013 0.455 4 5 77.201 82.129 78.899 82.338 5.1150 -3.151 3.4930 0.531 1 6 79.416 65.788 77.379 70.813 -12.59 12.924 -6.224 0.531 13 7 77.421 74.169 62.430 63.065 -2.909 -10.96 0.694 0.432 18 8 63.661 60.081 53.906 20.827 -2.790 -5.099 -30.48 0.429 20 9 70.656 74.970 71.954 72.326 4.425 -2.916 0.375 0.438 10 10 76.290 69.396 76.592 68.485 -6.569 7.537 -7.693 0.437 14 11 85.103 81.022 82.585 65.325 -3.765 1.515 -16.41 0.434 15 12 65.689 68.684 69.603 65.501 3.072 0.901 -3.970 0.434 16 13 78.134 72.363 80.099 80.758 -5.750 8.321 0.640 0.457 3 14 77.626 74.043 75.937 73.444 -3.474 1.925 -2.470 0.437 11 15 69.993 70.813 77.460 77.379 0.866 6.937 -0.077 0.442 6 16 71.721 70.349 75.796 80.906 -1.428 5.783 5.035 0.458 2 17 76.201 76.997 83.328 77.010 0.819 6.445 -5.943 0.458 5 18 56.143 55.039 62.333 60.665 -1.151 7.759 -1.567 0.431 19 19 68.445 71.844 76.227 72.772 3.5915 4.412 -3.278 0.440 9 20 84.629 78.671 79.003 71.436 -5.522 0.3314 -7.512 0.437 12 结果与模糊层次分析法求出的结果大致相同。 4.3.预测接下来两学期的学习成绩 4.3.1.多元线性回归法预测模型

记xi,j为第i个学生第j期的预测成绩，则假设学期的成绩是由前三个学期的成绩所确

定的建立如下多元线性回归方程：

xi,j?a*xi,j?2?b*xi,j?2?c*xi,j?1?d利用附件提供的前

三个学期的成绩，可以算得第四个学期的成绩的预测值，所以，用 最小二乘拟合求解系数a,b,c,d则xi,j?0.0225*xi,j?2?0.2068*xi,j?2?0.6961*xi,j?1?7.1190 . 从上式中的式子中我们可发现，系数值依次递减，说明第4 学期的成绩受第3学期影响最大，随时间差的增大同时画出相应的残差分析图，从上式可发现，系数值依次递减，说明第4 学期的成绩受第3学期影响最大，随时间差的增大，

Residual Case Order Plot

30 20 10 0 Residuals -10 -20 -30 -40 -50 100

200

300 400 Case Number

500

600

图6：未剔除数据前的多元线性回归预测的残差图

给出了采用前三学期原始成绩预测的第四学期成绩的残差，可见大部分预测值与真实值之间的偏差小于10 分，只是对于极少部分成绩较差的学生预测的偏差还较大，因为这部分同学的成绩波动较大，不能按照线性回归来预测其成绩。

我们发现有些数据的残差比较大，为了更精确的预测学生成绩，我们剔除一些成绩波动较大的学生的成绩，然后再次进行多元线性回归预测。如成绩变化太过悬殊及出现成绩为0的都先不考虑。为8，11，26，43，62，67，90，121， 181，231，249，264，267，273，288，301，307，466，491，536，557，565最终我们剔除了这些同学的成绩数据，再求解线性回归方程的系数，求得的多元线性回归方程如下并得残差分析图7：发现没有特别脱离的数据则可以得到为：

?i,j? 0.0387*xx? 0.2220*xi,j?2? 0.5400*xi,j?1? 16.7594 i,j?3

运用此式可以计算出第5，6学期的学生成绩，如下表：

Residual Case Order Plot

25 20 15 10 5 Residuals 0 -5 -10 -15 -20 -25 50

100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

Case Number 图7：剔除部分波动较大的数据之后的多元线性回归残差图

由图7可以明显发现预测值与真实值之间的偏差几乎都小于10 分，没有波动很大的成绩出现，说明该线性回归的精度在一定程度上满足要求。从以上的数据分析来看，在不考虑极少部分成绩很不稳定的同学的前提下，该模型能够很好的预测学生的5，6学期的成绩，由此来说明其学习状况。 学生序号 学期5成绩 学期6成绩 学生序号 学期5成绩 学期6成绩 1 77.71671 78.69101 11 74.87179 75.48324 2 77.90768 78.56402 12 71.67042 73.29807 3 71.44551 73.27903 13 81.34908 81.92946 4 80.63366 81.21552 14 76.52521 77.5271 5 82.17705 82.62867 15 78.76284 79.64912 6 75.31178 76.46329 16 80.35543 81.25079 7 69.67624 71.60362 17 80.28682 80.65469 8 40.33299 44.36558 18 67.18754 69.61233 9 75.25422 76.49459 19 76.1888 77.23307 10 74.07745 75.25894 20 76.46011 77.23652 由下表的数据，可看出学生总体的成绩是在不断提高的，成绩为优秀和良好的同学占得比例越来越大，同时不及格的同学正在逐渐减少，学生总体的学习状况良好。

再利用Excel对所预测的学生成绩进行数据分析与计算得到的表格如下： 第5学期 第6学期 平均分 77.195 78.389 最高分 87.957 87.944 最低分 29.673 36.781 极差 58.284 51.163 中位数 77.621 78.845 总分 45158.868 45857.280 方差 41.513 32.166 标准差 6.443 5.672 偏度 -0.4356 -0.3725 4.3.2.灰度模型GM(1,1)预测成绩模型 模型分析：

灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。

模型建立：

xi(j)是第

0i个学生第j个学期的综合成绩，则第i个学生的的原始数据列可为：

000xi?xi(1),xi(2),xi(3),xi(4)0?0?。利用原始数据进行累加和得到生成数列

?1?i(k)?x1k?j?1?1?1?1??1?x(j),k?1,2,......n；所以xi??xi(1),xi(2),xi(3),xi(4)?。则建立灰色模型GM

????0i（1，1）相应的微分方程为：

dxi?t?1dt?axi(t)?uα称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。

1?1?1??1?????xi(1)?xi(2)?,1????xi0(2)??2????0????1?1??1?xi(3)?xi(2)?xi(3)?,1? ，YN?令B????， ??????2???????11??0??1??(xi(3)?xi(4)),1??xi(n)??2???则A?(a,u)T?(BTB)?1BTYN，A称为待估参数向量

1u??aku?0?x(k?1)?x(1)??，k=1,2,3,4,5 可得到i?i?ea?a?1u??a(k?1)u?0??. 且因为xi(k)??xi(1)??ea?a?所以xi(k?1)=xi(k?1)?xi(k)=?xi0(1)???0?1?1?u??aka(1?e)； ?ea?故应用Matlab编辑函数求出学生的预测成绩：则以前10 个学生的成绩为例如下表为： 学期 期 序号 1 2 3 4 5 6 77.5677.6975.5177.8381.5178.515 0 2 1 2 2 1 78.6878.4081.1476.6881.6082.436 5 9 5 2 4 9 其他学生的成绩预测见附录 我们对上面的成绩预测结果进行残差检验：根据公式

?0?1?17 59.641 55.715 8 18.188 12.059 9 70.959 69.639 10 72.334 72.661 u??ak?0axi(k?1)=xi(k?1)?xi(k)=?xi(1)??e(1?e)算出第2,3，4学期学生的综合成绩

a??0xi(j)并与x(j)原始进行相减得到相对的绝对误差序列Δi(j)?xi(j)?xi(j)即相对应

0i?00?0的绝对误差序列φ(j)? Δi(j)x(j)0i0*100%。以下表是前10个学生的绝对误差列：

绝对学期1 学期2 学期3 学期4 误差 1 5.7809 0.5440 1.0684 0.5287 2 0.7363 2.1763 4.3139 2.1364 3 4 5 5.4970 1.6341 0.1400 1.8150 5.0459 1.8788 3.1132 1.4027 3.6793 1.8694 3.7533 1.8746 相对学期1 学期2 学期3 学期4 误差 1 0.0732 0.0073 0.0144 0.0069 2 0.7363 0.0296 0.0535 0.0285 3 4 5 0.0885 0.0276 0.0454 0.0204 0.0017 0.0218 0.0663 0.0226 0.0481 0.0231 0.0484 0.0225 由上面的表给我们发现预测中预测方法的相对误差都不是很大都是在10%以下说明该模型可行的。

五．结果分析与检验

模糊层次分析模型：

由模型求解过结果可以发现学生的整体情况都比较好，只有部分的同学的综合评价不是很好，现在来分析下学生整体的进步情况，如下图： 140 120 100 80 60 40 20 0 -20 1 50 99 148 197 246 295 344 393 442 491 540 589 -40 -60

发现几乎是所有的同学的后三个学期的进步度包括平均进步度都是大于0的再次说明学生的学习状况都是不错的额、都是在不断的进步当中。

进步度2 进步度3 进步度4 平均进步 六．优化方向

? 模糊层次分析法

优点：模糊层次分析法利用权重关系比较进行分析可以提高学生学习情况综合评价指标权重值的科学性和可信性，从而能够很好地反映学生的实际学习情况，避免了传统的将各项分数相加求和的不合理性做法，从而使教育管理者能更好的了解学生学习状态，有效的实施教学管理。

缺点：此方法仍一定程度受主观因素的影响，比如在刚开始的各个中我们因素的各项指标权重是已经确定的再进行求解，这里就有一定的主观性。

改进：在对刚开始的因素的各项指标的权重赋值上，可以根据不同学校的标准进行设定，亦或是查阅相关的资料进行确定。 ? 灰色关联分析法

优点：灰色关联分析法是一种多因素统计分析方法，对信息不精确、不完全确定的小样本系统有明显的分析优势。 缺点：使用灰色关联分析法进策评价行决时，往往忽略了各评价指标问的重要性差异，造成评价的不公平。

改进：采用模糊层次分析法来确定指标权重，既体现了指标的重要度，又减少了人的主观思维所带来的影响，使得评价的结果更公正、客观。

七、 参考文献

[1]姜启源 谢金星 叶俊 编著《数学模型》高等教育出版社 2003年8月第三版； [2]周凯等人 编著《数学建模竞赛辅导教程》浙江大学出版社 2009年8月第一版;

[3]黎延海 马引弟 《基于模糊层次分析的灰色关联分析法及程序实现》 科技情报开发与经济2009(26)：19．

[4]宋光兴 杨德礼 《模糊判断矩阵的一致性检验及一致性改进方法》系统工程 2003(21)：1．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tvho.html