中考数学-2018年中考数学二轮复习经典例题解析2 精品

专题二《方程与不等式》

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考点分析： 内容 1、方程的解、解方程及各种方程（组）的有关概念 2、一元一次方程及其解法和应用；二元一次方程组及其解法和应用 3、用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法角一元二次方程 4、可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其应用 5、一元二次方程根的判别式及应用 6、不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集 7、不等式的基本性质 8、一元一次不等式（组）的解法及应用 要求 Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅱ 命题预测：方程与方程组始终是中考命题的重点内容，近几年全国各地的中考试题中，考查方程和方程组的分值平均占到25%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法；一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用；列方程和方程组解应用题三大类问题．其中列一元一次方程求解商品利润问题以选择题为主；一元二次方程的解法以选择题和解答题为主；根的判别式及根与系数的关系以选择题和解答题为主，但难度一般不大；列二元一次方程组解应用题以解答题为主，主要考查解工程类、方案设计类及愉策类问题．结合2007－2008年的中考题不难看出，课改区对方程（组）的考题难度已经有所降低，如根与系数关系的运用，课改区几乎不再考查．

不等式与不等式组的分值一般占到5－8%左右，其常见形式有一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主；列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题，以解答题为主．近年试题显示，不等式（组）的考查热点是其应用，即列不等式（组）求解实际生活中的常见问题．

由此可见，在方程（组）与不等式（组）这一专题中，命题趋势将会是弱化纯知识性的考题，而更加热衷于数学知识在生活中的应用问题．

●难点透视

例1解方程：

x24??2 ． x?1x?1x?1【考点要求】本题考查了分式方程的解法．

【思路点拨】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可．

原方程变形为

x24方程两边都乘以(x?1)(x?1)，去分母并整理得??x?1x?1(x?1)(x?1)x2?x?2?0，解这个方程得x1?2,x2??1．经检验，x?2是原方程的根，x??1是原方程的增

根．∴原方程的根是x?2．

【答案】x?2．

【方法点拨】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘记检验．突破方法：牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少．

22??4x?y?0,例2?2

??x?xy?3?0.【考点要求】本题考查用消元法解二元二次方程组．

【思路点拨】解方程组的基本思路就是消元和降次，要根据方程组的特点选取适当方法．

22??4x?y?0,?2??x?xy?3?0.①②由方程①可得?2x?y??2x?y??0，

∴2x?y?0,或2x?y?0.它们与方程②分别组成两个方程组：

?2x?y?0 ?2?x?xy?4?0?2x?y?0 ?2?x?xy?4?0?2x?y?0解方程组?2可知，此方程组无解；

?x?xy?4?0?2x?y?0?x1?2解方程组?2得?x?xy?4?0?x2?4?所以原方程组的解是??x2??2 ?y??4?2?x1?2?x2?4?x2??2 ?y??4?2?x2??2 ?y??4?2?x1?2【答案】??x2?4【规律总结】少数学生未能掌握二元二次方程组的基本解题思路，不知如何处理．突破方法：将第一个方程通过因式分解，得到两个一次方程，再分别与第二个方程组成两个新的方程组，求解．

解题关键：解二元二次方程组的基本解题思想是消元，即化二元为一元．常用的方法就是通过因式分解进行降次，再重新组成新的方程组求解，所求得的结果即为原方程组的解．

例3下列一元方程中，没有实数根的是（ ）

A．x?2x-1?0 B．x?22x?2?0 C．x?2x?1?0 D．?x?x?2?0 【考点要求】本题考查一元二次方程根的判别式．

【思路点拨】根据?b?4ac，确定好选项方程中的各项的系数及常数项，代入根的判别式进行计算，如果所求结果非负，则有实数根；否则没有实数根．

C选项中?b2?4ac?(2)2?4?1?1??2＜0，方程无实数根．

【答案】选C．

【错解分析】出现错误的学生主要是两原因：一是根的判断式未能记牢，出现使用错误，二是在确定各项系数和常数项时，弄错符号，导致计算错误．突破方法：将一元二次方程化为一般式后，再确定系数及常数项．

22222

解题关键：根据?b?4ac可知，若二次项系数与常数项异号，则方程必有实数根，从而缩小解题范围．

例4用换元法解分式方程x2?x?1?22时，如果设y?x2?x，那么原方程可化为关于y的一2x?x元二次方程的一般形式是 ．

【考点要求】本题考查利用换元法将分式方程转化为整式方程．

【思路点拨】整体代换（换元法）也是我们解方程常用的方法之一，它在解方程中起到消元、降次简化运算的作用．

2把y?x2?x代入原方程得，y?1?，即y2?y?2?0，故答案应填写y2?y?2?0．

y【答案】y2?y?2?0．

【方法点拨】整体换元要求原方程具备一定结构特点，如果不具备，必须设法通过变形化出相同或者相关的形式再进行换元．

?2x?3x?3例5若不等式组?的正整数解只有2，求a的整数值．

3x?a??6?【考点要求】本题考查解不等式组及不等式组的解集等知识的综合运用．

要求a的值，可先求出不等式组中的各不等式的解集，再根据不等式组的正整数解只有2，列出关于a的不等式组，进而求出a的值．

?x?3?2x?3x?3?，解得a?6． ??3x?a??6x???3?又∵原不等式组只有正整数解2． 由右图，应有1?a?6?2． 3∴9?a?12,∴a?9,10,11. 【答案】a?9,10,11.

【误区警示】部分学生解出不等式组的解集后，不知如何运用“正整数解只有2”这一条件．突破方法：用含a的代数式表示不等式组的解集，结合数轴表示出不等式组的解集，再转化为关于a的不等式组，求出a的值．

例6如图甲是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图乙是车棚顶部截面的示意图，弧AB所在圆的圆心为O．

车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留?）．

2米 A 43米 B A B

O ·

60米 图甲 图乙

【考点要求】本题考查用方程解几何问题，方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现．

【思路点拨】连结OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交弧AB于F，如图．

由垂径定理，可知：E是AB中点，F是弧AB中点， F 1∴EF是弓形高 ∴AE=AB?23，EF=2．

2A B E O ·

设半径为R米，则OE=(R－2)米．

在Rt△AOE中，由勾股定理，得 R 2=(R?2)2?(23)2．解得R =4．

∵sin∠AOE=

AE3?， ∴ ∠AOE=60°， OA2180∴∠AOB=120°． ∴弧AB的长为120?4?=∴帆布的面积为

8?． 38?×60=160?（平方米）． 3【答案】160?（平方米）．

【方法点拨】部分学生遇此问题，不能将实际问题抽象为数学问题．突破方法：联系实际，将车棚顶部展开得长方形，其长为车棚长，宽为弧AB长．

解题关键：在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．

例7已知方程组?A．m≥－?y?2x?m,的解x、y满足2x+y≥0，则m的取值范围是（ ）

2y?3x?m?1?444 B．m≥ C．m≥1 D．－≤m≤1 333【考点要求】本题考查方程（组）与不等式的综合问题，此类题型常用的方法是可把m看作已知

数，用它来表示其余未知数．

【思路点拨】由题意，可求出x?1?m2?5m4,y?，代入2x+y≥0，解得m≥－．或者也可7733m?4?0，解得m≥7整体求值，把第(2)式乘以4减去第(1)式直接得7y?14x?3m?4，得2x?y?－4． 3【答案】选A．

【方法点拨】本题一般做法是把m看作是已知系数，用含m的代数式表示x、y，解出方程组的解，然后再把所求的x、y的值入题目中的不等式，从而得到只含m的不等式，求出解集．或者也可以依据题目条件的特点，从整体考虑，直接进行整理得到与不等式相关的代数式，进行求解．

例8根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？

小朋友，本来你用10元钱买一盒饼干是够的，但要再买一袋牛奶就不够了！今天是儿童节，我给你买的饼干打9折，两样东西请拿好！还有找你的8角钱． 一盒饼干的标价可是整数元哦！ 阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上10元钱） 【考点要求】本题考查方程在实际情境中的运用，结合现实问题情景,需把方程和不等式有关内容

有机结合起来,求出整数解.

【思路点拨】设饼干的标价每盒x元，牛奶的标价为每袋y元，

?x?y＞10?则?0.9x?y?10?0.8 ?x＜10?① ②

③由②得y=9.2－0.9x ④

把④代入①，得x+9.2－0.9x＞10 ∴ x ＞8 由③得8＜x＜10 ∵x是整数 ∴x=9 将x=9代入④，得y=9.2－0.9×9=1.1

【答案】饼干一盒标价9元，一袋牛奶标价1.1元．

【方法点拨】部分学生不习惯这种情境题，不能很好地从情景对话中找出有用的信息来．突破方法：因为题目中的条件只是两人对话，因此要紧紧围绕两人的对话进行分析，综合各数据列出不等式组求解．

解题关键：情境题中的条件一般不会很多，但每一句话都可能给出重要信息，因此要仔细阅读分析．

例9某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元．

(1)若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案； (2)经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？

【考点要求】本题考查方程（组）在实际生活中的应用． 【思路点拨】在市场经济大环境背景下,用数学知识确定价格,预计利润,是中考应用性问题的常见题型.我们通过运用数学知识能够避免盲目的投资,创造最大的经济.

（1）(Ⅰ)设甲种电视机x台,乙种电视机y台.

则?x?y?501500x?2100y?90000,解得

??x?25y?25

(Ⅱ)设甲种电视机x台,丙种电视机z台. 则

?x?z?501500x?2500z?90000,解得x?35z?15

（Ⅲ)设乙种电视机y台,丙种电视机z台.

则2100y?2500z?90000,解得z??37.5 (舍去)

(2)设甲种电视机(50?4z)台,乙种电视机3z台,丙种电视机z台. 由题意得?1500(50?4z)?2100?3z?2500z?90000 150(50?4z)?200?3z?250z?8500?y?z?50?y?87.5解得:4?z?5.357 ∴z?4,5

∴ 进货方案有:①甲、乙、丙各为34台、12台和4台；

②甲、乙、丙各为30台、15台和5台；

商场的利润为①34?150?12?200?4?250?8500（元）

②30?150?15?200?5?250?8750（元）

∴ 要是商场获利最大，则进货方案为甲、乙、丙各为30台、15台和5台；

【答案】（1）方案一：甲种电视机25台，乙种电视机25台，方案二：甲种电视机35台，乙种电视机15台；（2）要是商场获利最大，则进货方案为甲、乙、丙各为30台、15台和5台．

【方法点拨】部分学生完成此题时，解题不能完整．突破方法：本题以现实问题为背景，以方案设计为主题，体现分类讨论的数学思想.

例10某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件．已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克．

（1） 据现有条件安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出来． （2） 若甲种原料每千克80元，乙种原料每千克120元，怎样设计成本最低． 【考点要求】本题考查运用不等式知识解决实际生活和生产中的问题，不仅考查学生对知识的掌握，灵活运用知识的解题的能力，同时考查学生数学建模的能力．

【思路点拨】（1）设生产A种产品x件，B种产品(50?x)件．按这样生产需甲种的原料

?9x?4(50?x)?360?x?32,,32,∴有三种生产，∴即：30?x?32．∵x为整数，∴x?30,31???3x?10(50?x)?290?x?30.方案．

第一种方案：生产A种产品30件，B种产品20件； 第二种方案：生产A种产品31件，B种产品19件； 第三种方案：生产A种产品32件，B种产品18件．

（2）第一种方案的成本：80?(9?30?4?20)?120?(3?30?10?20)?62800（元）． 第二种方案的成本：80?(9?31?4?19)?120?(3?31?10?19)?62360（元）． 第三种方案的成本：80?(9?32?4?18)?120?(3?30?10?18)?61920（元）．

∴第三种方案成本最低．

【答案】（1）第一种方案：生产A种产品30件，B种产品20件； 第二种方案：生产A种产品31件，B种产品19件； 第三种方案：生产A种产品32件，B种产品18件． （2）第三种方案成本最低．

【方法点拨】解决本题的关键在于找出生产A种产品和B种产品分别甲种原料和乙种原料的数

则2100y?2500z?90000,解得z??37.5 (舍去)

(2)设甲种电视机(50?4z)台,乙种电视机3z台,丙种电视机z台. 由题意得?1500(50?4z)?2100?3z?2500z?90000 150(50?4z)?200?3z?250z?8500?y?z?50?y?87.5解得:4?z?5.357 ∴z?4,5

∴ 进货方案有:①甲、乙、丙各为34台、12台和4台；

②甲、乙、丙各为30台、15台和5台；

商场的利润为①34?150?12?200?4?250?8500（元）

②30?150?15?200?5?250?8750（元）

∴ 要是商场获利最大，则进货方案为甲、乙、丙各为30台、15台和5台；

【答案】（1）方案一：甲种电视机25台，乙种电视机25台，方案二：甲种电视机35台，乙种电视机15台；（2）要是商场获利最大，则进货方案为甲、乙、丙各为30台、15台和5台．

【方法点拨】部分学生完成此题时，解题不能完整．突破方法：本题以现实问题为背景，以方案设计为主题，体现分类讨论的数学思想.

例10某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件．已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克．

（1） 据现有条件安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出来． （2） 若甲种原料每千克80元，乙种原料每千克120元，怎样设计成本最低． 【考点要求】本题考查运用不等式知识解决实际生活和生产中的问题，不仅考查学生对知识的掌握，灵活运用知识的解题的能力，同时考查学生数学建模的能力．

【思路点拨】（1）设生产A种产品x件，B种产品(50?x)件．按这样生产需甲种的原料

?9x?4(50?x)?360?x?32,,32,∴有三种生产，∴即：30?x?32．∵x为整数，∴x?30,31???3x?10(50?x)?290?x?30.方案．

第一种方案：生产A种产品30件，B种产品20件； 第二种方案：生产A种产品31件，B种产品19件； 第三种方案：生产A种产品32件，B种产品18件．

（2）第一种方案的成本：80?(9?30?4?20)?120?(3?30?10?20)?62800（元）． 第二种方案的成本：80?(9?31?4?19)?120?(3?31?10?19)?62360（元）． 第三种方案的成本：80?(9?32?4?18)?120?(3?30?10?18)?61920（元）．

∴第三种方案成本最低．

【答案】（1）第一种方案：生产A种产品30件，B种产品20件； 第二种方案：生产A种产品31件，B种产品19件； 第三种方案：生产A种产品32件，B种产品18件． （2）第三种方案成本最低．

【方法点拨】解决本题的关键在于找出生产A种产品和B种产品分别甲种原料和乙种原料的数

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