弹性力学作业习题

HOMEWORK OF THEORETICAL ELASTICITY

1. DATE: 2001-9-20

1. 设地震震中距你居住的地方直线距离为l，地层的弹性常数E,?和密度?均为已知。假

设你在纵波到达t0秒后惊醒。问你在横波到达之前还有多少时间跑到安全地区？试根据

l?200Km，E?20GPa，??0.3，??2.0?106g/m3，t0?3s来进行具体估算。

2. 假定体积不可压缩，位移u1(x1，x2)与u2(x1，x2)很小，u3?0。在一定区域内已

22知u1?(1?x2) (a?bx1?cx1)，其中a，b，c为常数，且?12?0，求u2(x1，x2)。

3. 给定位移分量

u1?cx1(x2?x3)2，u2?cx2(x1?x3)2，u3?cx3(x1?x2)2，此处c为一个很小的常数。求应变分量?ij及旋转分量Qij。

4. 证明

?i?eijkQjk?eijkuk,j

其中?i为转动矢量。

5. 设位移场为u?a(x1?x3)2e1?a(x2?x3)2e2?ax1x2e3，其中a为远小于1的常数。确定在P (0，2，?1)点的小应变张量分量，转动张量分量和转知矢量分量。

6. 试分析以下应变状态能否存在。

222（1）?11?k(x1?x2)x2，?22?kx2x3，?33?0，?12?2kx1x2x3，?23??31?0 222（2）?11?k(x1?x2)，?22?kx2x，?33?0，?12?2kx1x2，?23??31?0

22222（3）?11?ax1a2，?22?ax1 x2，?33?ax1x2，?12?0，?23?ax3?bx2，?31?ax1?bx21212其中k，a，b为远小于1的常数。

2. DATE: 2001-9-17

1. 证明对坐标变换?

?x1??cos?????x2???sin?sin???x1?，x3?x3，无论?为何值均有 ???cos???x2?1

22 ?11??22??11??22，?11?22??12??11?22??122222，?ij??ij ?13??23??13??232. 利用课堂上给出的各向同性张量表达式，推导各向同性材料的广义虎克定律。并写为以

杨氏模量E和泊松比?来表示的分量表达式。 写出在Voigt记号下的6个Cauchy关系等式。

3. 证明，对各向同性弹性体，若主应为?1??2??3，则相应的主应变?1??2??3。 4. 证明在各向同性弹性体中，应力张量的主方向与应变张量的主方向一致。

5. 各向同性弹性体承受单向拉伸（?1?0，?2??3?0），试确定只产生剪应变的截面位置，并求该截面上的正应力（取v?0.3）。

6. 试推导体积应变余能密度Wvc及畸变应变余能密度Wfc公式：

11Wvc??ii?jj?(?ii)2

618K11?12???ij??Wfc??ij???(?)ijijii? 24G?3??

3. DATE: 2001-9-26

1. 下面应力场是否为无体力时弹性体中可能存在的应力场？如果是，它们在什么条件下存在？

（1）?x?ax?by，?y?cx?dy，?z?0，

?xy?fx?gy，?yz??zx?0；

（2）?x?ax2y2?bx，?y?cy2，?z?0，?xy?dxy，

?yz??zx?0；

（3）?x?a[y2?b(x2?y2)]，?y?a[x2?b(y2?x2)]，

?z?ab(x2?y2)，?xy?2abxy，?yz??zx?0。

b、c、d、f及g均为常数。 其中a、2. 设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在除上、下表面之外的全部边界上，受有均匀压力p。验证?x??y??p及?xy?0能满足平衡微分方程、协调方程及边界条件，

2

因而就是正确的解答。

3.应力函数一般形式

?ij?einkejml?mn,kl

和对应的Beltrami-Michell方程

?2?einkejml?mn,kl??1?2?mm??mn,mn1????,ij?0

导出在Maxwell应力函数下（?11?X1,?22?X2,?33?X3，其余为零），书中的(4.7)，(4.8)式。

考虑由面积不可压缩??11??22?0?的平行叠层组成的层合板，其层界面以X3轴为法向，写出该层合板的约束应力表达式.

4. DATE: 2001-9-28

1.若在域V内应力场?ij?x?与体力fi?x?相平衡，V的边界S均为力边界，作用在其上有面力ti??ijvj，vj为S上的单位外法向量。若fi，ti为已知，而?ij为待求，求证问题只有在fi，ti满足下列条件时才有解

?VfidV??tidS?0且

S??eijk??xjfkdV??xjtkdS??0

S?V?2. 对各向同性弹性体，若体力为零，试证明

?2?kk?0

3. 将橡皮方块放在与它同样体积的铁盒内，在上面用铁盖封闭，在铁盖上面作用均匀压力p（图5-6）。假设铁盒与铁盖可以视为刚体，在橡皮与铁之间没有摩擦。试用位移法求橡皮块中的位移、应变与应力。

图5-6

LX2t2=?sin(?x/L)> X14. 图5-8所示矩形薄板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压。由叠加原理求板的应务和位移。

图5-8

5. 一矩形截面构件受沿轴向的简单拉伸及绕x、y轴的弯矩作用，如图5-9所示。不计

3

>Fig. For Question 4体力。六个应力分量为

?z?0，?x??y??yz??zx??xy?0

试用平衡方程和B-M方程求?z的函数形式。并利用端面边界条件

?A?yzdA??A?zxdA??A(x?yz?y?zx)dA?0

?A?zdA?Px，?Ay?zdA?Mx，?Ax?zdA??My

确定积分常数。（A为端部横截面面积，x、y轴分别为截面的对称轴。截面对x、y轴的惯性矩分别为Ix，Iy，设坐标原点处无平移和转动）

6. 在一半平面的边界处，作用有自平衡的面力t1?0,t2??sin???x??。试说明(通过求解)?L?该面力引起的应力场在表面以下呈指数衰减，并以及论证在这一问题上圣维南原理适用。

5. DATE: 2001-10-2

1. 课堂上用猜测的方法，并引用唯一性定理，得到了简单拉伸问题的位移场。请利用已得

的应变表达式和六个应变－位移关系来严格地导出这一位移场。

2. 考虑纯弯曲问题，在不变弯矩作用下柱体的轴线（即材力中所说的挠度曲线应为一段圆

2弧）。而根据课堂上的推导，横向挠度u1?0,0,x3?,u2?0,0,x3?均正比于x3，即为抛物线。

试解释产生这一不同的原因。

考虑由端面反对称自平衡的面力分布而导致的对矩形梁弯曲问题的修正解。求出制约该修正解衰减指数的特征方程。

6. DATE: 2001-10-9

1．半径为a的圆截面杆两端作用扭矩Mz。试写出此杆的应力函数，并求出剪应力分量，最大剪应力及位移分量。

2. 用位移法导出圆轴扭转的剪应力和扭角公式。

3. 若柱体扭转时横截面上应力为?xz??G?y，?yz?G?x，证明该柱体截面是圆。

4．考虑一个单连通域的横截面，证明在条件

????2??

2inA 和 ??0onC

A C 应力函数?可唯一确定。

4

5．考虑一个单连通的横截面，从中切去一个由应力函数等高线所界定的单连通域。试证明：

1． 新的、双连通的横截面所对应的应力函数仍为

原来的应力函数。 ??Const2． 该环形域的扭转刚度为原问题的扭转刚度与

（挖去的）芯部区的扭转刚度之差。

7. DATE: 2001-10-17

1. （思考题）无穷长板条含半无穷长裂纹，求??z?,?3?,u3，裂尖应力强度因子。

? hh

2. （思考题）试推导这张表中的所有结果，并与Saint-Venant假设下的估算结果相比较。

形状

圆

扭转刚度

Mp??

a?4a 2椭圆

b

a?a3b3a?b22

正方形

a

0.1406a4

半圆

a0.29756a4

a正三角形

ah3 30(h?3a) 2 5

a等腰直角三角形

0.026091a4

(a>b)

矩形

ab?a?ab3N??

?b?

b a1 2 3 4 5 6 8 10 100 ?

N 0.1406 0.2287 0.2633 0.2808 0.2913 0.2983 0.3071 0.3123 0.3312 1/3 3. 求裂纹尖端第二项所对应的平面位移u3和剪应力?31,题？

8. DATE: 2001-10-20

?32。论述该项对于何种边值问

考虑无体力的平面问题，此时Airy应力函数?满足双调和方程????0。

21.证明对两个调和函数?和?(即???0和???0),可构造??x2???满足调和方程。

2222.利用应力的Airy应力函数表达式（无体力），构造以?和?表达的应力式。 3.考虑一个半平面问题，x2?0，且在边界上仅承受正应力，

x2即?12x2?0?0?x1，证明其所对应的解答可写为

x1

6

????? ?x24.由此证明在边界仅受正应力的半平面沿边界必然有

?11x2?0??22x2?0 （A）

5.你认为上述导致（A）的证明是否严格？有无例外情况？

9. DATE: 2001-10-31

1. 书中

设在厚壁管外套以绝对刚性的外套，使管不能发生轴向位移。厚壁管受均匀内压力q（图7-50），试求厚壁管中的应力及位移。

图7-50

2. 图7-51所示薄圆环，在r?a处固定，在r?b处受均匀分布的剪力?。以位移法及应力函数法求圆环中的应力和位移。 图7-51

3.考虑无穷远处受均匀剪切?xy??的无穷大平面弹性体，平面内有一半径为a的刚性体，它与弹性体理想粘合，即

ur?u??0,onr?a，求解该问题的应力场，并确定

沿孔边环向应力的最大值及位置。若要保持该刚性体既不移动也不转动，需要在该刚性体施加力或力偶吗？

10. DATE: 2001-11-11

习题

a?1. 图7-53所示曲梁（二分之一圆环），其上端周向应力(??)??0的合力为P，对坐标原点O的力矩为零。求曲梁的应力。

图7-53

2. 图7-54所示椭圆薄板中心有一小圆孔，其半径为a。板的外边界作用有均匀分布的法向拉应力p。试求应力集中系数。

图7-54

3. 在距地面深为h处，挖一直径为d的圆形长孔道，孔道与地面平行（图7-55）。岩石

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比重为?，弹性模量为E，泊松比为v。试求孔边最大应力（绝对值）的值及发生的位置。

?2的表达式。 4. 推导以复势?(z)和?(z)表示的最大剪应力?max及主应力?1、5. 图8-19所示悬臂薄板，厚度为1，长为l，高度为2h，无体力作用。设复势为

?(z)?a2iz 8ha?2iz 8h?(zi)??图8-19

其中a为实数。求板所受的边界载荷与所发生的位移。

6. 曲杆如图8-21所示。在每一端面上受弯矩M的作用，杆由半径为a和b的圆弧确定，径向线具有张角? (??2?)。此问题可由形如

?(z)?Azlnz?Bz，?(z)?C/z

图8-21

的复势解决，试确定常数A、B和C (A、B、C可以是复常数)。 7. 图8-22所示圆柱体受内压p1及外压p2作用。试作如下应力函数

图8-22

?(z)?Az，?(z)?确定其应力和位移分量。（考虑平面应力情况）

8.思考题 求解下列曲梁 ?rr?? bb a

11. DATE: 2001-12-21

在Boussnesq解系中，利用解E并取??B z?rr??sin???a1，找出其对应的应力和位移场。证明由Rr?ztan???（?为锥角）所定义的锥体表面无面力作用。并利用该结果求一个传递扭矩为

T的锥体中的应力场。

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10-4 用余虚功原理计算图10-22中半圆曲梁中点B处向上的铅直位移。

图10-22

提示：计算中略去轴力及剪刀的影响。圆环曲率半径R比环的横截面尺寸大得多，因而横截面上的弯曲正应力可以认为沿径向线性分布。

10-10 用量小势能原理导出弹性力学三维问题的平衡方程及边界条件。

10-17 图10-13所示简支梁长为l，抗弯刚度为EI，中点受P力作用，支座之间有弹性介质支承。其弹性系数为k（即每单位长介质对单位挠度提供的反力）。设

图10-13

???ansinn?1?n?x l试用李兹法求梁中点的挠度。

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