相似三角形的判定及习题精讲(含答案)

相似三角形的判定

（一）填空：

1．若3x-7y=0, 则y∶x=_______, =________。

2．若a=7, b=4, c=5, 则b, a, c的第四比例项d=_______。 3．若线段a=4, b=6, 则a, b的比例中项为________。

4．已知：===, 则

=______，=_________。

5．已知：a∶b∶c=3∶4∶5, a+b-c=4, 则4a+2b-3c=________。

6．若=, 则 x=_______。

7．已知：ΔABC中，DE//BC交AB于D，AC于E，AB=10，AD-DB=2，BC=9，则DE=________。 8．已知：RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=4，BD=2，则CD=________，AC=_________。 9．ΔABC中，∠ACB=90°，CD是高，AC=3，BC=4，则CD=_______，AD=_________，BD=_________。 10．ΔABC中，AB=AC=10，∠A=36°，BD是角平分线交AC于D，则CD=_________。 11．等边三角形的边长为a，则它的内接正方形的边长为_________。 12．ΔABC中，DE//BC，DE交AB，AC于D，E，AD∶DB=5∶4，则S梯形BCED∶SΔADE=________。 13．两个相似多边形面积比是1∶3，则周长比是_______。

14．两个相似多边形的面积比为25∶9，其中一个多边形的周长为45，则另一个多边形的周长为_________。

15．如果两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm，它们的周长差为60cm，那么这两个多边形的周长分别为__________。

（二）选择题：

1．在ΔABC中，DE//BC交AB于D，AC于E，若四边形DECB的面积为ΔADE面积的3倍，则DE∶BC=（ ）

A、1∶3 B、1∶9 C、3∶1 D、1∶2

2．如图，在ΔABC中=，=，设AD与CE的交点为P，则CP∶PE=（ ）。 A、5∶1 B、4∶1 C、3∶1 D、5∶2

3．一个直角三角形两条直角边之比是1∶2，则它们在斜边上射影的比是（ ） A、1∶

B、1∶

C、1∶4 D、1∶5

4．ΔABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列式子中错误的是（ ）

22

A、AD=BD²DC B、CD=CF²CA

22

C、DE=AE²EB D、AD=AF²AC

5．ΔABC中，D，E，F分别在AB，BC，AC上，四边形ADEF是菱形，AB=a, AC=b，则菱形ADEF的边长是（ ）

A、 B、 C、 D、 6．正方形ABCD中，E是AD中点，BM⊥CE于M，AB=6cm, 则BM的长为（ ）。

A、12cm B、cm C、3cm D、cm

7．要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（ ）倍。 A、2 B、4 C、2

D、64

8．梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD交于E点，SΔADE∶SΔADC=1∶3，则SΔADE∶SΔDBC=（ ）。

A、1∶3 B、1∶4 C、1∶5 D、1∶6

（三）已知：如图，在ΔABC中，AD为中线，E在AB上，AE=AC，CE交AD于F，EF∶FC=3∶5，EB=8cm，求：AB，AC的长。

（四）矩形DGFE内接于ΔABC， DG∶DE=3∶5， S矩形DGFE=60cm2, 高AH=10cm，求：SΔABC。

（五）如图，在ΔABC中，AD是BC边上中线，E是AD中点，求证：AF=

FC，EF=BE。

（六）已知：如图，在ΔABC中，D为AB边上一点，Q为BC延长线上一点，DQ交AC于P，且∠BDQ=∠PCQ，求证：AB²QD=AC²QB。

（七）已知：ΔABC中，∠C=90°，AC=8cm, BC=6cm

求：在ΔABC内作正方形，使正方形的四个顶点都在三角形的边或顶点上，求这个正方形的边长。

练习参考答案： （一）填空： 1．3∶7；2．

（合比性质）

（注意顺序为b, a,c的第四比例项）

3．2（注意线段的比例中项仍然是线段）

4．；（本题用到等比性质） 5．10 6．±2

（注意与3小题的区别）

7．5.4（由平行得比例，从而计算出DE的长） 8．29．CD=

，2

（双垂直条件下，灵活运用乘积式及勾股定理） ，BD=

（方法与8小题类似）

=

，

。ΔABC是一个特殊的三角形，

，AD=

10．提示：如图，易证ΔABC∽ΔBCD，∴ ∵ BC=BD=AD=10-CD，∴

我们应熟悉它的一些性质。

=

，解得CD=15-5

11．提示：应利用“相似三角形对应高的比等于相似比的性质”如图，等边ΔABC，

AB=BC=AC=a，正方形DEFG内接于ΔABC，设正方形边长为x，作AH⊥BC于H，交DG于P，∵ DG//BC， ∴

ΔADG∽ΔABC，∴ =， ∵ AH=a,

∴

=，解得x=(2-3)a.

12．56∶25（用到相似三角形面积比等于相似比的平方）

13．

14．75或27， 提示：当小多边形的周长为45时，大多边形的周长为³45=75；当大多边形的周长为45时，小多边形的周长为³45=27。 15．100cm和40cm

（二）选择题：

1. D

2．A 。 提示：过E作EG//AD交BD于G，则∵ EG//PD，∴

3．C 4. A 5.D

6．B。 提示：如图，易证ΔBMC∽ΔCDE， ∵ ED=∴ EC=

AD=3，CD=6，

=3

， =

=

=

=

=

，设BG=2k, GD=3k, 则BD=5k, CD=15k,

∴

=，∴ =，

∵ BM=

7. C 8. D

（三）AB=20cm, AC=12cm。 提示：过D点作DH//AB交CE于H，∵ AD是中线，∴ EH=CH，设EF=3k, FC=5k, 则EH=4k, FH=k,

∵ BE=8cm, ∴ DHBE, ∴ DH=4cm, ∵ DH//AE, ∴ ∴ AE=3DH=12cm, ∴ AC=AE=12cm, AB=20cm.

（四）125cm. 提示：设DG=3k, DE=5k, ∵ S矩形DGFE= 60cm, ∴ 3k²5k=60, 求得k=2, 得DG=6cm, DE=10cm, ∵ DE//BC, ∴ ΔADE∽ΔABC，由相似三角形对应高的比等于相似比可得∴ BC=25， ∴ SΔABC=

2

2

==,

=，即=，

BC²AH=³25³10=125(cm2).

（五）略

（六）提示：过点D作DM//AC交BC于M，证ΔBDM∽ΔBAC及ΔQDM∽ΔQBD，通过等比代换可得。

（七）本题由正方形在三角形中的位置不同引起分类讨论。提示如下： 解：直角三角形内接正方形有两种不同的位置。 如下图：

（1）如图（1），作CP⊥AB于P，交GF于H，则CH⊥GF， ∵ GF//AB， ∴ ΔCGF∽ΔCAB， ∴ =， ∵ ∠ACB=90°，AC=8，BC=6由勾股定理得AB=10, ∵ AC²BC=AB²CP， ∴ CP=

=

=

，

设GF=x, 则CH=-x, ∴ =, ∴ x=.

（2）如图（2），∵ DE//AC， ∴ ΔBDE∽ΔBAC， ∴

=

， 设CF=x, 则BE=6-x, DE=x, ∴

=, ∴ x=

.

答：ΔABC内接正方形的边长为cm或

cm。

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