2011届全国各地高考数学试题汇编 不等式2

不等式题组二

一、选择题

1．（2011湖南嘉禾一中）已知实数x ，y 满足约束条件??

???≤-≤≥021y x y x 则y x z -=2的取值范围是

（ ）

A ．[1，2]

B ．[0，2]

C ．[1，3]

D ．[0，1]

答案 A

2. （成都市玉林中学2010—2011学年度）设0a >，不等式||ax b c +<的解集是{|21}x x -<<，则::a b c 等于

（A ）1:2:3 （B ）2:1:3 （C ）3:1:2 （D ）3:2:1

答案 B.

2．解：

0,||a ax b c >+<且的解是：21x -<<

c b c b c ax b c x a a

+-∴-<+

（A ）(sin )(cos )f f αβ>

（B ）(cos )(cos )f f αβ< （C ）(cos )(cos )f f αβ>

( D ）(sin )(cos )f f αβ<

答案 D. 4. (江苏省2011届数学理)若关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取

值范围是（ ）

A 03≥-≤m m 或

B 03≤≤-m

3-≥m

D 3-≤m 答案 D.

5．（四川省成都市玉林中学2011届高三理）在R 上定义运算?：x ?y =x (1－y ).若不等式(x －a )?(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则

A ．11a -<<

B ．02a <<

C ．2321<<-a

D ．2

123<<-a 答案 C.

6. (浙江省杭州市2011届高三文)函

数()2()log 6f x x =-的定义域是

（ ） A {}|6x x > B {}|36x x -<< {}|3x x >- D {}|36x x -<≤

答案 D.

7．（安徽省合肥八中2011届高三文）设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1)f x x =-的定义域为N ，则M N 为

（ ） A ．[)0,1 B ．()0,1 C ．[]0,1 D ．(]1,0- 答案 A.

8 . （河北省唐山一中2011届高三理） 已知0,0>>b a ，若不等式b

a m

b a +≥+212恒成立，则m 的最大值等于（ ）

A.10

B.9

C.8

D.7

答案 B.

9 . （河北省唐山一中2011届高三文）已知实数x 、y 满足??

???≤≤≤-≥+3022y y x y x ，则z ＝2x －y 的取值范围是

（ ）

A. [-5,7]

B. [5,7]

C. [4,7]

D. [-5,4]

答案D.

10 .（浙江省杭州市2011届高三文）若关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则实

数m 的取值范围是（ ）

A 03≥-≤m m 或

B 03≤≤-m

3-≥m

D 3-≤m

答案 D

11．（广东省湛江一中2011届高三10月月考理）

不等式0232>-+-x x 的解集是

A ．{}21x x x <->-或

B ．{}12x x x <>或

C ．{}12x x <<

D ．{}21x x -<<-

答案 C.

12．(河南信阳市2011届高三理）如果01a <<，那么下列不等式中正确的是

（ ）

A ．1132(1)(1)a a ->-

B ．(1)log (1)0a a -+>

C ．32(1)(1)a a ->+

D ．1(1)1a a +->

答案 A.

二、填空题

13.（2011湖南嘉禾一中）已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且在（0，+∞）上有f '（x ）> 0，若f （－1）= 0，那么关于x 的不等式x f （x ）< 0 的解集是____________．

答案 )1,0()1,(?--∞，

14．（江苏泰兴市重点中学2011届高三理）

设f （x ）是定义在（-1,1）上的偶函数在（0,1）上增，若f （a-2）-f （4-a 2）<0，则a 的取值范

围为______________．

答案

)()22,5

15．（江苏泰兴市重点中学2011届文）设函数1()f x x x =-

，对任意的 [)1,x ∈+∞,()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是____________．

答案 1m <。

16．（浙江省桐乡一中2011届高三文）已知变量x ，y ，满足?????≤-+≥≤+-082

042y x x y x ，则22y x +的取值范围

为

答案 [13，40]

17．（江苏泰兴市重点中学2011届理）设f （x ）是定义在（-1,1）上的偶函数在（0,1）上增，若f

（a-2）-f （4-a 2）<0，则a 的取值范围为______________．

答案 )()22,5，

18. （福建省四地六校联考2011届高三文）已知变量x y ，满足约束条件2203x y x y y +??-???

≥，≤，≤≤，则目标函数

x y z 2-=的最小值为 .

答案 15.

19 ．（广东省河源市龙川一中2011届高三文）

若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-??≥??+≤?

则z=2x+y 的最大值为

答案 3.

20．(广东省湛江一中2011届高三10月月考理）

在平面直角坐标系上，设不等式组00(4)x y y n x >??>??≤--?

所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（即横坐

标和纵坐标均为整数的点）的个数为()n a n N *∈. 则1a ＝ ，经推理可得到n a ＝ ．

答案：n 6,6 ．当1,2,3=x 时，区域内的整点个数分别为n n n 3,2,个，共n 6． 三， 解答题

21．（四川成都市玉林中学2010—2011学年度）（本题满分12分） 已知函数13

2)(23=-=+++=x x c bx ax x x f 与在时都取得极值

（I ）求a 、b 的值与函数)(x f 的单调区间；

（II ）若对c c x f x 求恒成立不等式,)(],2,1[2<-∈的取值范围。 答案 21.（本小题满分12分）

（Ⅰ）,)(23c bx ax x x f +++= b ax x x f ++='23)(2 由?????=++='=+-=-'0

23)1(034912)32(b a f b a f …………………………3分

221,2的单调区间如下表函数解得b a '??

???-=-= 所以函数).1,3(),,1()3,()(-

+∞--∞递减区间是与的递增区间是x f ……8分 （II ）],2,1[,22

1)(23-∈+--=x c x x x x f 当,2)2(,27

22)(,32c f c x f x +=+=-=而为极大值时 所以c f +=2)2(为最大值。 ………………11分

要使.2)2(,]2,1[)(22c f c x c x f +=>-∈<须且只需恒成立对

解得.21>-

22．（江苏泰兴市重点中学2011届）（16分）已知数列{}n a 是等差数列，()*+∈-=N n a a c n n n 212

（1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由；

（2）如果()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ，试写出数列{}

n c 的通项公式；

（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅

当12=n 时取得最大值。若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由。 答案22．解：（1）设{}n a 的公差为d ，则

22221121()()n n n n n n c c a a a a ++++-=---

2221112()()n n n a a d a d +++=---+

22d =- ∴数列{}n c 是以22d -为公差的等差数列…………4分

（2）

1325130a a a +++=

242614313a a a k +++=-

∴两式相减：131313d k =-

1d k ∴=-…………6分

113(131)1321302a d -∴+?=

3212a k ∴=-+…………8分

1(1)(1(133))n a a n d kn k ∴=+-=-+-

22111()()n n n n n n n c a a a a a a +++∴=-=+-

2226326(21)(1)k n k =-+-+- 22(1)25305k n k k =--?+-+…………10分

（3）因为当且仅当12n =时n S 最大

12130,0c c ∴><有…………12分

即2222224(1)2530501819036(1)25305022210k k k k k k k k k k ??--+-+>+->?????--+-+<-+>???? 1191921211

k k k k k k ><-???<->?>

23．（江苏泰兴市重点中学2011届理）（本小题满分14分）

已知：在函数的图象上，x mx x f -=3)(以),1(n N 为切点的切线的倾斜角为.4π

（I ）求n m ,的值；

（II ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式]3,1[1993)(-∈-≤x k x f 对于恒成立？如果存在，

请求出最小的正整数k ，如果不存在，请说明理由。

答案 23．依题意，得.32,113,4tan

)1(==-='m m f 即π 因为.3

1

,)1(-==n n f 所以…………6分 （II ）令.2

2,012)(2±==-='x x x f 得…………8分 当;012)(,2

212>-='-<<-x x f x 时 当;012)(,2

2222<-='<<-x x f x 时 当;012)(,32

22>-='<

2)22(,32)22(,31)1(=-==-=-f f f f 因此， 当.15)(32,]3,1[≤≤-

-∈x f x 时…………12分

要使得不等式]3,1[1993)(-∈-≤x k x f 对于恒成立，则.2008199315=+≥k 所以，存在最小的正整数.2008=k 使得不等式]3,1[1993)(-∈-≤x k x f 对于恒成立

24．（江苏泰兴市重点中学2011届理）设n 为大于1的自然数，求证：

2

121312111>+++++++n n n n

答案 24．证明：（放缩法）1111111......1222222n n n n n n +++>++=++ 解：不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐

标系D-xyz ，则各点的坐标为A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0）， 1A （1，0，1），1C （0，1，1），E （12,1,0）, F （0 , 12

,0） 25.（江苏省2011届理）已知常数2,20a R x ax x a ∈-+<解关于的不等式。

答案 25.(1)0,0.a x =>时解为

2

2

(2)0,44.0,01,20{.0,1,;.0,1,.a a i a ax x a a x x ii a x iii a x >?=-±?><<-+=∴<∈?时1当即时方程两根为不等式的解集为当即时当时即时 26．（江苏泰兴2011届高三文）已知集合A ＝{|(2)[(31)]0}x x x a --+<，B ＝22{|0}(1)x a x x a -<-+． ⑴当a ＝2时，求A B ； ⑵求使B ?A 的实数a 的取值范围．

答案 26． 解：（1）当a ＝2时，A ＝（2，7），B ＝（4，5）∴ A B ＝（4，5）．

（2）∵ B ＝（2a ，a 2＋1），当a ＜

13时，A ＝（3a ＋1，2） 要使B ?A ，必须223112a a a ≥+??

+≤?，此时a ＝－1； 当a ＝13时，A ＝Φ，使B ?A 的a 不存在； 当a ＞13

时，A ＝（2，3a ＋1） 要使B ?A ，必须222131

a a a ≥??+≤+?，此时1≤a ≤3．

27. (江西省上高二中2011届高三理）已知常数2

,20a R x ax x a ∈-+<解关于的不等式。

答案 27.(1)0,0.a x =>时解为

2

2(2)0,44.0,01,20{.0,1,;.0,1,.a a i a ax x a a x x ii a x iii a x >?=-±?><<-+=∴<∈?时1当即时方程两根为不等式的解集为当即时当时即时

2

(3)0,

.0,10,{|}

.0,1,(1)0

1.

.0,1,.

1,

01,{|}

0,{|0};

10,{|

a

i a x x x

a a

ii a x

x R x

iii a x R

a

a x x

a a

a x x

a x x

<

-

?>-<<<>

?==-+>

∴∈≠-

?<<-∈

≥

+

<<<<

=>

-<<<

当时

1

即时不等式的解集为

即时不等式化为

解为且

即时

综上所述，当时

11

当时解集为

当时解集为

当时

解集为

1,{|R1};1,.

x

a x x x a R

>

=-∈≠-<-

当时解集为且当时解集为

28．（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）（12分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：

1

,1,

6

2

,

3

x c

x

P

x c

?

≤≤

??-

=?

?>

??

（其中c为小于6的正常数）

（注：次品率=次品数/生产量，如0.1

P=表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.

（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；

（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

答案 28．解：（1）当x c

>时，

2

3

P=，

12

210

33

T x x

∴=?-?=

当1x c

≤≤时，

1

6

P

x

=

-

，

2

1192

(1)2()1

666

x x

T x x

x x x

-

∴=-??-??=

---

综上，日盈利额T（万元）与日产量x（万件）的函数关系为：

2

92

,1

6

0,

x x

x c

T x

x c

?-

≤≤

?

=-

?

?>

?

（2）由（1）知，当x c

>时，每天的盈利额为0

当1x c

≤≤时，

2

92

6

x x

T

x

-

=

-

9

152[(6)]

6

x

x

=--+

-

15123

≤-=

当且仅当3

x=时取等号

所以()i当36

c

≤<时，

max

3

T=，此时3

x=

()ii 当13c ≤<时，由222

224542(3)(9)(6)(6)x x x x T x x -+--'==--知 函数2926x x T x -=-在[1,3]上递增，2

max 926c c T c

-∴=-，此时x c = 综上，若36c ≤<，则当日产量为3万件时，可获得最大利润

若13c ≤<，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润

29．（浙江省吴兴高级中学2011届高三文）已知,,a b c R +∈，1a b c ++=。

（1）求()222

149a b c +++的最小值；

（2

≥。

答案 29、解：（1）因为,,a b c R +∈，1a b c ++=，所以

()()2

2221111114912344923a b c a b c ??????+++++≥++?+?= ?????????， 得()22214414949a b c +++≥。

当且仅当149a b c +==，即

23187,,494949a b c ===时， ()222

149a b c +++有最小值14449。………………5分 （2）因为()(

)2

222111a b c ++++≥，

≤，当且仅当1a b c ===取等号。

又

9??+++≥??，

2≥≥。…………10分

30．（河南信阳市2011届高三理）（本小题满分10分）

选做题：任选一道，两题均做只以（I ）的解答计分。

（I ）已知,,x y z 均为正数，求证：111.x y z yz zx xy x y z

++≥++ （II ）已知正数a 、b 、c 满足2a b c +<

，求证：c a c <<+

答案 30．（I ）证明：因为x ，y ，z 均为正数， 所以1

2

(),x

y

x

y

yz zx z y x z +=+≥

…………4分 同理可得22

,,y z z x

zx xy x xy yz y +≥+≥

…………6分 当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立，

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得1

1

1

.x

y

z

yz zx xy x y z ++≥++

…………10分 （II

）证明：要证c a c -<<+

只需证a c <-<

…………3分

即只要证||a c -<

…………5分 两边都是非负数，

222(),

2()2,0,2,

a c c a

b a a

c ab

a a

b a

c a a b c ∴-<--<-+<>+<只要证只要证即只要证只需证

这就是已知条件，

且以上各步都可逆，

c a c ∴<<

…………10分

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