2010年中考数学真题分类汇编(150套)专题十八·二次函数的图象和
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一、选择题
1.(2010福建福州)已知二次函数y =Ax 2+Bx +C 的图象如图所示,则下列结论正确的是
( )
A .a >0
B .c <0
C .b 2-4ac <0
D .a +b +c >0
(第10题)
【答案】D
2.(2010 河北)如图5,已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ,点A ,
B 均在抛物线上,且AB 与x 轴平行,其中点A 的坐标为
(0,3),则点B 的坐标为
A .(2,3)
B .(3,2)
C .(3,3)
D .(4,3)
【答案】D 3.(2010 山东莱芜)二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则一次函数a bx y +=的
图象不经过
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
【答案】D
4.(2010年贵州毕节)函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( ) (第9题图) 图5
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【答案】C.
5.(2010年贵州毕节)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为y=x2-3x+5,则()
A.b=3,c=7B.b=6,c=3 C.b=-9,c=-5D.b=-9,c=21 【答案】A.
6.(2010湖北荆门)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论错误的是
A.ab<0 B.ac<0 C.当x<2时,函数值随x的增大而增大;当x>2时,函数值随x的增大而减小D.二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根。
【答案】B
7.
(2010 四川成都)把抛物线2
y x
=向右平移1个单位,所得抛物线的函数表达式为()(A)21
y x
=+(B)2
(1)
y x
=+
(C)21
y x
=-(D)2
(1)
y x
=-
【答案】D
8.(2010山东潍坊)已知函数y1=x2与函数y2=-1
2
x+3的图象大致如图,若y1<y2,则
自变量x的取值范围是().
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A .-3
2<x <2
B .x >2或x <-32
C .-2<x <3
2 D . x <-2或x >3
2
【答案】C
9.(2010湖北荆州)若把函数y=x 的图象用E (x ,x )记,函数y=2x+1的图象用E (x ,2x+1)记,……则E (x ,122+-x x )可以由E (x ,2
x )怎样平移得到?
A .向上平移1个单位
B .向下平移1个单位
C .向左平移1个单位
D .向右平移1个单位
【答案】D
10.(2010湖北鄂州)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,下列结论①a 、b 异号;②当x =1和x=3时,函数值相等;③4a +b =0,④当y =4时,x 的取值只能为0.结论正确的个数有( ) 个
A .1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
11.(2010湖北省咸宁)已知抛物线2y ax bx c =++(a <0)过A (2-,0)、O (0,0)、
B (3-,1y )、
C (3,2y )四点,则1y 与2y 的大小关系是
A .1y >2y
B .1y 2y =
C .1y <2y
D .不能确定 【答案】A
12.(2010北京) 将二次函数y =x 2-2x +3,化为y =(x -h )2+k 的形式,结果为( )
A .y =(x +1)2+4
B .y =(x -1)2+4
C .y =(x +1)2+2
D . y =(x -1)2+2 【答案】D
13.(2010山东泰安)下列函数:①3y x =-;②21y x =-;③()1
0y x x =-<;
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④223y x x =-++,其中y 的值随x 值增大而增大的函数有( )
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个
【答案】B
14.(2010四川乐山).设a 、b 是常数,且b >0,抛物线y=ax 2+bx +a 2-5a -6为下图中四个
图象之一,则a 的值为( )
A. 6或-1
B. -6或1
C. 6
D. -1
【答案】D 15.(2010黑龙江哈尔滨)在抛物线42-=x y 上的一个点是( )
(A )(4,4) (B )(1,-4) (C )(2,0) (D ).(0,4)
【答案】C
16.(2010江苏徐州)平面直角坐标系中,若平移二次函数y=(x-2009)(x-2010)+4的图象,使其与x 轴交于两点,且此两点的距离为1个单位,则平移方式为
A .向上平移4个单位
B .向下平移4个单位
C .向左平移4个单位
D .向右平移4个单位
【答案】B
17.(2010陕西西安)已知抛物线103:2-==x x y C ,将抛物线C 平移得到抛物线C '若
两条抛物线C 、C ' 关于直线1=x 对称,则下列平移方法中,正确的是
A .将抛物线C 向右平移25
个单位 B .将抛物线C 向右平移3个单位
C .将抛物线C 向右平移5个单位
D .将抛物线C 向右平移6个单位 【答案】C
18.(2010 福建三明)抛物线772--=x kx y 的图象和x 轴有交点,则k 的取值范围是
( ) A .47
-≥k B .47
-≥k 且0≠k C .47
->k D .47
->k 且0≠k
【答案】B
19.(2010 山东东营) 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数ac
bx y -=与反比例函数x c
b a y +-=在同一坐标系内的图象大致为( )
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【答案】B 20.(2010安徽蚌埠)已知函数))((3n x m x y ---=,并且b a ,是方程0))((3=---n x m x 的两个根,则
实数b a n m ,,,的大小关系可能是
A .n b a m <<<
B .b n a m <<<
C .n b m a <<<
D .b n m a <<<
【答案】D
21.(2010安徽省中中考) 若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为
………………( )
A )0.5
B )0.1
C )—4.5
D )—4.1
【答案】C
22.(2010甘肃兰州) 二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是
A .(-1,8)
B .(1,8)
C .(-1,2)
D .(1,-4)
【答案】A
23.(2010甘肃兰州) 抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为322--=x x y ,则b 、c 的值为
A . b=2, c=2 B. b=2,c=0
C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2
【答案】B
24.(2010甘肃兰州) 抛物线c bx ax
y ++=2图像如图所示,则一次函数24b ac bx y +--=与反比例函数 a b c
y x ++=在同一坐标系内的图像大致为
x
x
x
x x x x
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第15题图
【答案】D
25.(2010江苏盐城)给出下列四个函数:①x y -=;②x y =;③x y 1
=;④2x y =.0
A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 【答案】C 26.(2010山东烟台)如图,AB 为半圆的直径,点P 为AB 上一动点,动点P 从点A 出发,沿AB 匀速运动到点B ,运动时间为t ,分别以AP 于PB 为直径做半圆,则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图像大致为 【答案】D 27.(2010台湾)坐标平面上有一函数y =24x 2-48的图形,其顶点坐标为何? (A) (0,-2) (B) (1,-24) (C) (0,-48) (D) (2,48) 。 【答案】C 28.(2010台湾) 坐标平面上,若移动二次函数y =2(x -175)(x -176)+6的图形,使其与x 轴交于两点,且此两点的距离为1单位,则移动方式可为下列哪一种? (A) 向上移动3单位 (B) 向下移动3单位 (C) 向上移勤6单位 (D) 向下移动6单位 。 【答案】D 29.(2010浙江杭州)定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ,1 – m , –1– m ] 温州龙文教育飞霞校区 您身边的个性化辅导专家 电话: 0577-******** 网址:0cb1af976bec0975f465e2f0 的函数的一些结论: ① 当m = – 3时,函数图象的顶点坐标是(31,38 ); ② 当m > 0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于 23 ; ③ 当m < 0时,函数在x >41 时,y 随x 的增大而减小; ④ 当m ≠ 0时,函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有 A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 30.(2010 嵊州市)已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,记 b a c b a q b a c b a p -+++=+++-=2,2,则p 与q 的大小关系为 ( ) A.q p > B.q P = C.q p < D.p 、q 大小关系不能确定 【答案】C 31.(2010 浙江台州市)如图,点A ,B 的坐标分别为(1, 4)和(4, 4),抛物线n m x a y +-=2)(的顶点在线段AB 上运动,与x 轴交于C 、D 两点(C 在D 的左侧),点C 的横坐标最小值为3-,则点D 的横坐标最大值为(▲) () A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B 34.(2010 浙江衢州)下列四个函数图象中,当x>0时,y随x的增大而增大的是() 【答案】C 35.(2010 浙江衢州)如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC, 设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的 函数关系式是() A.2 2 25 y x =B.2 4 25 y x = C.2 2 5 y x =D.2 4 5 y x = 36.(2010 天津)已知二次函数2 y ax bx c =++(0 a≠)的图象如图所示,有下列结论: ①240 b ac ->; ②0 abc>; ③80 a c +>; (第10题) A B C D (第 C 温州龙文教育飞霞校区 您身边的个性化辅导专家 电话: 0577-******** 网址:0cb1af976bec0975f465e2f0 ④930a b c ++<. 其中,正确结论的个数是 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 【答案】D 37.(2010 内蒙古包头)已知二次函数2 y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-,、1(0)x ,, 且112x <<,与y 轴的正半轴的交点在(02),的下方.下列结论:①420a b c -+=;②0a b <<;③20a c +>;④210a b -+>.其中正确结论的个数是 个. 【答案】4 38.(2010广西桂林)将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°,所得抛物线的解析式是( ). A .221216y x x =--+ B .221216y x x =-+- C .221219y x x =-+- D .221220y x x =-+- 【答案】D 39.(2010 四川自贡)y=x 2+(1-a )x +1是关于x 的二次函数,当x 的取值范围是1≤x ≤3时,y 在x =1时取得最大值,则实数a 的取值范围是( )。 A .a=5 B .a ≥5 C .a =3 D .a ≥3 【答案】B 40.(2010宁夏回族自治区)把抛物线2y x =-向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移 后抛物线的表达式 ( ) 第(10)题 温州龙文教育飞霞校区 您身边的个性化辅导专家 电话: 0577-******** 网址:0cb1af976bec0975f465e2f0 A .2(1)3y x =--+ B .2(1)3y x =-++ C .2(1)3y x =--- D .2(1)3y x =-+-. 【答案】B 41.(2010 湖北咸宁)已知抛物线2y ax bx c =++(a <0)过A (2-,0)、O (0,0)、 B (3-,1y )、 C (3,2y )四点,则1y 与2y 的大小关系是 A .1y >2y B .1y 2y = C .1y <2y D .不能确定 【答案】A 42.(2010 广西钦州市)已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象如图所示,则下列结论: ① ac >0; ② a –b +c <0; ③当x <0时,y <0; ④方程20ax bx c ++=(a ≠0)有两个大于-1的实数根. 其中错误的结论有 (A )② ③ (B )② ④ (C )① ③ (D )① ④ 【答案】C 43.(2010青海西宁)下列哪一个函数,其图象与x 轴有两个交点 A. 155)23(41 2+-=x y B. 155)23(412++= x y C. 155)23(41 2---=x y D. 155)23(412++- =x y 【答案】D 44.(2010鄂尔多斯)已知二次函数c bx x y ++-=2 中函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示,点A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2)在函数的图象上,当0 A . y 1≥y 2 B . y 1>y 2 C . y 1<y 2 D . y 1≤y 2 【答案】C 45.(2010广西梧州)已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图7所示,那么下列判断不正确的是( ) A .ac <0 B .a -b +c >0 C .b = -4a D .关于x 的方程ax 2+bx +c =0的根是x 1=-1,x 2=5 第18题 ? ? 温州龙文教育飞霞校区 您身边的个性化辅导专家 电话: 0577-******** 网址:0cb1af976bec0975f465e2f0 【答案】B 46.(2010云南昭通)二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示,则下列结论正确的是( ) A .a <0,b <0,c >0,b 2-4ac >0; B .a >0,b <0,c >0,b 2-4ac <0; C .a <0,b >0,c <0,b 2-4ac >0; D .a <0,b >0,c >0,b 2-4ac >0; 【答案】D 47.(2010贵州遵义)如图,两条抛物线y 1=-21 χ2+1、y 2=21 χ2-1 与分别经过点(-2,0), (2,0)且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 A .8 B .6 C .10 D .4 【答案】A 48.(2010广西柳州)抛物线y =-x 2+bx +c 上部分点的横坐标x ,纵坐标y 的对应值如下表: 从上表可知,下列说法正确的个数是 ①抛物线与x 轴的一个交点为(-2,0) ②抛物线与y 轴的交点为(0,6) 图7 1 5 2 O 温州龙文教育飞霞校区 您身边的个性化辅导专家 电话: 0577-******** 网址:0cb1af976bec0975f465e2f0 ③抛物线的对称轴是:x =1 ④在对称轴左侧y 随x 的增大而增大 A .1 B .2 C .3 D .4 【答案】C 49.(2010湖北宜昌)抛物线221y x x =++的顶点坐标是( )。 A. (0,-1) B. (-1,1) C. (-1,0) D.(1,0) 【答案】C 50.(2010广西百色)二次函数c bx x y ++-=2的图象如图所示,下列几个结论: ①对称轴为2=x ; ②当y ≤0时,x <0或x >4;③函数解析式为)4(--=x x y ; ) D. ①③ x 2 -bx+2的大致图像如图所示, C .第三象限 D .第四象限 【答案】A 52.(2010 福建莆田)某同学利用描点法画二次函数2y a bx c =++(0a ≠的图象时,列 出的部分数据如下表: 温州龙文教育飞霞校区 您身边的个性化辅导专家 电话: 0577-******** 网址:0cb1af976bec0975f465e2f0 析式: 【答案】 【答案】C 53.(2010江苏泰州)下列函数中,y 随x 增大而增大的是( ) A.x y 3- = B. 5+-=x y C. x y 21-= D. )0(212 <=x x y 【答案】A 二、填空题 1.(2010 湖南株洲)已知二次函数()()2 21y x a a =-+-(a 为常数),当a 取不同的值 时,其图象构成一个“抛物线系”.下图分别是当1a =-,0a =,1a =,2a =时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上,这条直线的解析式是y = . 【答案】1 12x - 2.(2010湖南郴州)将抛物线y =x 2 +1向下平移2个单位,?则此时抛物线的解析式是 _____________. 【答案】 y =x 2 -1 3.(2010江苏扬州)y =2x 2-bx +3的对称轴是直线x =1,则b 的值为__________. 【答案】4 4.(2010山东泰安)将y=2x 2-12x-12变为y=a (x-m )2+n 的形式,则m·n= . 【答案】-90 5.(2010湖北襄樊)将抛物线2 1 2y x =-向上平移2个单位,再向右平移1个单位后,得到的抛物线的解析式为____________. .【答案】21 (1)22x --+或21 3 22x x -++ 温州龙文教育飞霞校区 您身边的个性化辅导专家 电话: 0577-******** 网址:0cb1af976bec0975f465e2f0 【答案】4 8.(2010安徽蚌埠)已知抛物线bx x y +=2 21 经过点A(4,0)。设点C (1,-3),请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得CD AD -的值最大,则D 点的坐标为_______。 【答案】﹝2,-6﹞ 9.(2010江苏盐城)写出图象经过点(1,-1)的一个函数关系式 ▲ . 【答案】y =-x 或y =-1x 或y =x 2-2x ,答案不唯一 10.(2010山东日照)如图,是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分,其对称轴为直线x =1,若其与x 轴一交点为A (3,0),则由图象可知,不等式ax 2+bx+c <0的解集是 . 【答案】-1<x <3 11.(2010浙江宁波) 如图,已知⊙P 的半径为2,圆心P 在抛物线2112 y x =-上运动,当⊙P 与x 轴相切时,圆心P 的坐标为 ▲ . 温州龙文教育飞霞校区 您身边的个性化辅导专家 电话: 0577-******** 网址:0cb1af976bec0975f465e2f0 12.(2010 四川泸州)在平面直角坐标系中,将二次函数y =(x -2)2+2 的图像向左平移2个单位,所得图像对应的解析式为 . 【答案】y =x 2+2 13.(2010 云南玉溪)如图7是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在平面直 角坐标系中的图象,根据图形判断 ① c >0; ② a +b +c <0; ③ 2a -b <0; ④ b 2 +8a >4a c 中正确的是(填写序号) . 【答案】② 、④ 14.(2010 天津)已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y 的部分对应值 如下表: 则该二次函数的解析式为 . 【答案】22y x x =+- 15.(2010青海西宁)将抛物线2 )1(2-=x y 先向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为 . 【答案】2 x 2y = x y O 图7 温州龙文教育飞霞校区 您身边的个性化辅导专家 电话: 0577-******** 网址:0cb1af976bec0975f465e2f0 16.(2010吉林长春)如图,抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于点G 、F ,交y 轴于点D ,在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ,它们关于y 轴对称,点G 、B 在y 轴左侧。BA ⊥OG 于点A ,BC ⊥OD 于点C 。四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10,则△ABG 与△BCD 的面积之和为 。 【答案】4 17.(2010新疆维吾尔自治区新疆建设兵团)抛物线y=-x 2+bx+c 的部分图象如图所示,若y >0,则x 的取值范围是_______。 【答案】.-3<x <1 18.(2010辽宁本溪)如图所示,已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过原点和点(-2,0),则2a -3b 0.(>、<或=) 【答案】> 19.(2010黑龙江绥化)抛物线242m y x x =-+与x 轴的一个交点的坐标为(l,0), 则此抛 物线与x 轴的另一个交点的坐标是 . 【答案】(3,0) 20.(2010湖南娄底)二次函数y=(x -1)2-2的图像的对称轴是直线_____________. 【答案】x =1 【答案】)2,6(或)2,6(-(对一个得2分) 21.(2010 浙江义乌)(1)将抛物线y 1=2x 2向右平移2个单位,得到抛物线y 2的图象,则 温州龙文教育飞霞校区 您身边的个性化辅导专家 电话: 0577-******** 网址:0cb1af976bec0975f465e2f0 y 2= ▲ ; (2)如图,P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点,直线x =t 平行于y 轴,分别与直线y =x 、抛物线y 2交于点A 、B .若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t 的值,则t = ▲ . 【答案】(1)2(x -2)2 或2288x x -+ (2)3、1 2 222.(2010浙江金华)若二次函数k x x y ++-=22的部分图象如图所示,则关于x 的一元二次方程022=++-k x x 的一个解31=x ,另一个解=2x ▲ ; 【答案】-1 三、解答题 1.(2010江苏泰州)如图,二次函数c x y +-=221的图象经过点D ?? ? ??-29,3,与x 轴交于A 、B 两点. ⑴求c 的值; ⑵如图①,设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点,直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分,试证明线段BD 被直线AC 平分,并求此时直线AC 的函数解析式; ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点,试猜想:是否存在这样的点 x (第15题图) 温州龙文教育飞霞校区 您身边的个性化辅导专家 电话: 0577-******** 网址:0cb1af976bec0975f465e2f0 P 、Q ,使△AQP ≌△ABP ?如果存在,请举例验证你的猜想;如果不存在,请说明理由.(图②供选用) 【答案】⑴ ∵抛物线经过点D (29,3- ) ∴29 )3(21 2=+-?-c ∴c=6. ⑵过点D 、B 点分别作AC 的垂线,垂足分别为E 、F ,设AC 与BD 交点为M , ∵AC 将四边形ABCD 的面积二等分,即:S △ABC =S △ADC ∴DE =BF 又∵∠DME =∠BMF , ∠DEM =∠BFE ∴△DEM ≌△BFM ∴DM =BM 即AC 平分BD ∵c =6. ∵抛物线为621 2 +-=x y ∴A (0,32-)、B (0,32) ∵M 是BD 的中点 ∴M ( 49,23) 设AC 的解析式为y =kx +b ,经过A 、M 点 ∴?????=+=+-4923032b k b k 解得???????==59 1033b k 温州龙文教育飞霞校区 您身边的个性化辅导专家 电话: 0577-******** 网址:0cb1af976bec0975f465e2f0 ∴直线AC 的解析式为59 103 3+=x y . ⑶存在.设抛物线顶点为N (0,6),在Rt △AQN 中,易得AN =,于是以A 点为圆心,AB =为半径作圆与抛物线在x 上方一定有交点Q ,连接AQ ,再作∠QAB 平分线AP 交抛物线于P ,连接BP 、PQ ,此时由“边角边”易得△AQP ≌△ABP . 2.(2010福建福州)如图,在△ABC 中,∠C =45°,BC =10,高AD =8,矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H . (1)求证:AH AD =EF BC ; (2)设EF =x ,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值; (3)当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动),设运动时间为t 秒,矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式. 【答案】解:(1)∵ 四边形EFPQ 是矩形,∴ EF ∥QP . ∴ △AEF ∽△ABC . 又∵ AD ⊥BC , ∴ AH ⊥EF . ∴ AH AD =EF BC (2)由(1)得AH 8=x 10. AH =45 x . ∴ EQ =HD =AD -AH =8-45 x , ∴ S 矩形EFPQ =EF 2EQ =x (8-45x ) =-45x 2+8 x =-45 (x -5)2+20. ∵ -45 <0, ∴ 当x =5时,S 矩形EFPQ 有最大值,最大值为20. (3)如图1,由(2)得EF =5,EQ =4. (第21题 ) 温州龙文教育飞霞校区 您身边的个性化辅导专家 电话: 0577-******** 网址:0cb1af976bec0975f465e2f0 ∴ ∠C =45°, ∴ △FPC 是等腰直角三角形. ∴ PC =FP =EQ =4,QC =QP +PC =9. 分三种情况讨论: ① 如图2.当0≤t <4时, 设EF 、PF 分别交AC 于点M 、N ,则△MFN 是等腰直角三角形.∴ FN =MF =t . ∴S =S 矩形EFPQ -S Rt △MF N =20-12t 2=-12 t 2+20; ②如图3,当4≤t <5时,则ME =5-t ,QC =9-t . ∴ S =S 梯形EMCQ =12 [(5-t )+(9-t )]34=-4t +28; ③如图4,当5≤t ≤9时,设EQ 交AC 于点K ,则KQ =QC =9-t . ∴ S =S △K QC =12 (9-t )2=12 ( t -9)2. 第21题图2 第21题图3 第21题图4 综上所述:S 与t 的函数关系式为: S =2 21204)24285)1(9)9)2t t t t t t ?-+?--??- (0, (4, (5. ≤≤≤ 3.(2010福建福州)如图1,在平面直角坐标系中,点B 在直线y =2x 上,过点B 作x 轴 的垂线,垂足为A ,OA =5.若抛物线y =16 x 2+bx +c 过O 、A 两点. (1)求该抛物线的解析式; (2)若A 点关于直线y =2x 的对称点为C ,判断点C 是否在该抛物线上,并说明理由; (3)如图2,在(2)的条件下,⊙O 1是以BC 为直径的圆.过原点O 作⊙O 1的切线OP ,P 为切点(点P 与点C 不重合).抛物线上是否存在点Q ,使得以PQ 为直径的圆与⊙第21题图 1 温州龙文教育飞霞校区 您身边的个性化辅导专家 电话: 0577-******** 网址:0cb1af976bec0975f465e2f0 O 1相切?若存在,求出点Q 的横坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】解:(1)把O (0,0)、A (5,0)分别代入y =16 x 2+bx +c , 得02550.6c b c =???++=??,解得5,60.b c ?=-???=? ∴ 该抛物线的解析式为y =16x 2-56 x . (2)点C 在该抛物线上. 理由:过点C 作CD ⊥x 轴于点D ,连结OC ,设AC 交OB 于点E . ∵ 点B 在直线y =2x 上, ∴ B (5,10) ∵ 点A 、C 关于直线y =2x 对称, ∴ OB ⊥AC ,CE =AE ,BC ⊥OC ,OC =OA =5,BC =BA =10. 又∵ A B ⊥x 轴,由勾股定理得OB =55. ∵ S Rt △OAB =12AE 2OB =12 OA ·AB , ∴ AE =25, ∴ AC =45. ∵ ∠OBA 十∠CAB =90°,∠CAD +∠CAB =90°, ∴ ∠CAD =∠OBA . 又∵ ∠CDA =∠OAB =90°, ∴ △CDA ∽△OAB . ∴ CD OA =AD AB =AC OB ∴ CD =4,AD =8 ∴ C (-3,4) 当x =-3时,y =1639-56 3(-3)=4. ∴ 点C 在抛物线y =16x 2-56 x 上. (3)抛物线上存在点Q ,使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切. 过点P 作P F ⊥x 轴于点F ,连结O 1P ,过点O 1作O 1H ⊥x 轴于点H . ∴ CD ∥O 1H ∥BA . ∵ C (-3,4),B (5,10), ∴ O 1是BC 的中点. ∴ 由平行线分线段成比例定理得AH =DH =12 AD =4, ∴ OH =OA -AH =1.同理可得O 1H =7. ∴ 点O 1的坐标为(1,7). ∵ BC ⊥OC , ∴ OC 为⊙O 1的切线. 又∵OP 为⊙O 1的切线, ∴ OC =OP =O 1C =O 1P =5. ∴ 四边形OPO 1C 为正方形. ∴ ∠COP =900. ∴ ∠POF =∠OCD . 又∵∠PFD =∠ODC =90°, ∴ △POF ≌△OCD . ∴ OF =CD ,PF =OD . ∴ P (4,3). 设直线O 1P 的解析式为y =kx+B (k ≠0). 把O 1(1,7)、P (4,3)分别代人y =kx+B , 第22题图
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