《集合中的容易出错的几种情况总结》

集合中的容易出错的几种情况

集合是现代数学的基础，它与高中数学的许多内容有着广泛的联系，作为一种思想、语言和工具，集合的知识已经渗透到自然科学的众多领域。它是高中阶段数学的第一个内容，集合概念抽象，符号术语多，对于初学集合的同学来说，常常因为概念不清晰，理解不透彻，解题思路不严谨，容易造成错误。针对学习中的薄弱环节，本文列出易忽视之处，希望能帮助同学们加深理解，提高学习效果。

1. 忽视代表元素的属性

例1. 集合M y y x x R ==∈{|}2，，N y y x x R ==-∈{|||}2，，则M N ?=（ ）

A. {()}-11，

B. {()()}-1111，，，

C. {|}y y 02≤≤

D. {|}y y ≥0

错解：由y x y x ==-???2

2|| 解得x y =-=??

?11或x y ==???

11 选B 分析：注意到两个集合中的元素y 都是各自函数的函数值，因此，M N ?应是y x =2和y x =-2||这两个函数的值域的交集，而不是它们的交点。由于M y y =≥{|}0，N y y =≤{|}2，所以M N y y ?=≤≤{|}02，选C 。

2. 忽视元素的互异性

例2. 已知集合A x xy xy ={lg()}，，，B x y ={||}0，，，若A ＝B ，求实数x ，y 的值。

错解：因为lg()xy 有意义，所以xy>0，从而x ≠0，故xy ＝1

又由A ＝B 得x x xy y ==???||或x y xy x ==???

|| 所以x y ==1或x y ==-1

分析：由于同一集合中的元素不同（互异性），而以上解法中，当x y ==1时，

x xy =，||x y =分别使集合A ，B 中出现了相同元素，故应舍去，所以只能取x y ==-1。

3. 忽视空集

例3. 若集合M x x x =--={|}25302，N x mx x R ==∈{|}1，，且N M ?≠，求实数m 的值。

错解：因为M =-{}123，，所以

112m =-或13m

= 即m =-2或m =13

分析：上面的解法中漏掉了N =?即m =0的情形，因为空集是任何非空集合的真子集，所以m =-2或m =13或m ＝0。

4. 忽视补集的相对性

例4. 已知全集U R =+，集合A x x =<≤{|}16，则C A U =_________；若全集为I R =，则C A I =__________。 分析：补集是相对于全集而言的，当全集发生变化时，补集也随之变化。显然，在全集U R =+的条件下，C A x x x U =<≤>{|}016或

在全集为I ＝R 的条件之下，C A x x x I =≤>{|}16或

5. 忽视语言转换的等价性

例 5. 设全集I x y x R y R =∈∈{()|}，，，集合M x y y x =--={()|}，321，N x y y x =≠+{()|}，1，则C M N I ()?=（ ）

A. ?

B. {()}23，

C. （2，3）

D. {()|}x y y x ，=+1 分析：容易错选A ，原因是将集合M 看作直线y x =+1上的点的集合，实际上应除去点（2，3）。集合N 是坐标平面内不在直线y ＝x+1上的点的集合，所以M N ?是坐标平面上除去（2，3）以外的点构成的集合，它的补集C M N I (){()}?=23，，应选B 。

6. 忽视特殊化法的片面性

例6. 设集合A ，B 是两个非空集合，我们规定A B x x A x B -=∈?{|}且，根据上述规定，则M M N --=()（ ）

A. M

B. N

C. M N ?

D. M N ? 错解：特殊化法。取M ={}12345，，，，，N ={}13， 则M N -={}245，，

M M N N --==(){}13，

故选A

分析：这种特殊化法对原题作了B A ?＝的前提假定，缩小了原题中B 集合的

取值范围，如M ={}12345，，，，，N ={}136，， 则M N -={}245，，

M M N N --=≠(){}13，

而是M M N M N --=?()

实际上，对规定A B x x A x B -=∈?{|}且有两种理解： x A B x A x B ∈-?∈?()且，或x A B x A x B ?-??∈()或 所以x M M N x M x M N ∈--?∈?-[()]()且 而x M N x M x N ?-??∈()或

故x M M N ∈--[()]?∈∈x M x N 且

所以M M N M N --=?()

选D

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