中考数学常见题型几何动点问题
更新时间:2024-06-05 04:22:01 阅读量: 综合文库 文档下载
中考数学压轴题型研究(一)——动点几何问题
例1:在△ABC中,∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC的面积;
(2)现有动点P从A点出发,沿射线AB向点B方向运动,动点Q从C点出发,沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM/秒,点Q的速度是2CM/秒,它们同时出发,几秒钟后,△PBQ的面积是△ABC的面积的一半?
B (3)在第(2)问题前提下,P,Q两点之间的距离是多少?
C
A 例2: ()已知正方形ABCD的边长是1,E为CD边的中点, P为正方形ABCD边上的一个动点,动点P从A点出发,沿A →B → C →E运动,到达点E.若点P经过的路程为自变量x,△APE的面积为函数y, (1)写出y与x的关系式
(2)求当y=
1时,x的值等于多少? 3
例3:如图1 ,在直角梯形ABCD中,∠B=90°,DC∥AB,动点P从B点出发,沿梯形的边由B→C → D → A 运动,设点P运动的路程为x ,△ABP的面积为y , 如果关于x 的函数y的图象如图2所示 ,那么△ABC 的面积为( )
A.32 B.18 C.16 D.10 y B 3例4:直线y??x?6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同时从O4点出发,同时到达A点,运动停止.点Q沿线段OA 运动,速度为每秒1个单位长度,点P沿路线O→B→A运动.(1)直接写出A、B两点的坐标;
(2)设点Q的运动时间为t秒,△OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式;
(3)当S?坐标.
P O Q A x 48时,求出点P的坐标,并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的5例5:已知:等边三角形ABC的边长为4厘米,长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时,点M与点A重合,点N到达点B时运动终止),过点M、N分别作AB边的垂线,与△ABC的其它边交于P、Q两点,线段MN运动的时间为t秒.
(1)线段MN在运动的过程中,t为何值时,四边形MNQP恰为矩形?并求出该矩形的面积; (2)线段MN在运动的过程中,四边形MNQP的面积为S,运动的时间为t.求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
1 / 8
C Q P A M
N
B
,AD?6厘米,DC?4厘米,BC的坡度例6:如图(3),在梯形ABCD中,DC∥AB,?A?90°i?3∶4,动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动,动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿
B?C?D方向向点D运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,D另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为t秒. (1)求边BC的长;
(2)当t为何值时,PC与BQ相互平分;
A(3)连结PQ,设△PBQ的面积为y,探求y与t的函数关系式,求t为何值时,
PECQB
图(3)
y有最大值?最大值是多少?
二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质(或所求图形面积)直接转化为函数或方程。
例7:如图,已知△ABC中,AB?AC?10厘米,BC?8厘米,点D为AB的A 中点.
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
B P C D Q ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
例8:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD?3,DC?5,AB?42,∠B?45?.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒. (1)求BC的长.
(2)当MN∥AB时,求t的值.
(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.
2 / 8
例9:(如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90o,AB=12cm,AD=8cm,BC=22cm,AB为⊙O的直径,动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动,P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端 点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t(s). (1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形? (2)当t为何值时,PQ与⊙O相切?
A P D D A P
O O
C B C Q Q B
例10. 如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ=xcm(x?0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm.
(1)当x为何值时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形; (2)当x 为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形;
(3)以P,Q,M,N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求x的值;如果不能,请说明理由. P N A D 练习1
1.正方形ABCD的边长为2cm,在对称中心O处有一钉子.动点P,Q同时从点A出发,点P沿A?B?C方向以每秒2cm的速度运动,到点C停止,点Q沿A?D方向以每秒1cm的速度运动,到点D停止.P,Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结,设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm.
B
(1)当0≤x≤1时,求y与x之间的函数关系式; (2)当橡皮筋刚好触及钉子时,求x值;
(3)当1≤x≤2时,求y与x之间的函数关系式,并写出橡皮筋从触及钉子停止时∠POQ的变化范围;
O
(4)当0≤x≤2时,请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象.
A
Q D
A B P
O Q
D P
C
到运动
C
2B Q
M
(第25题)
C
12[解] (1)当0≤x≤1时,AP?2x,AQ?x,y?AQ?AP?x,
2即y?x.
3 / 8
23 2
y
1
O 1
2 x
1S正方形ABCD时,橡皮筋刚好触及钉子, 2114BP?2x?2,AQ?x,?2x?2?x??2??22,?x?.
2234(3)当1≤x≤时,AB?2,
3(2)当S四边形ABPQ?y
PB?2x?2,AQ?x,
3 2 1
?y?AQ?BPx?2x?2?AB??2?3x?2, 22即y?3x?2.
作OE⊥AB,E为垂足.
4当≤x≤2时,BP?2x?2,AQ?x,OE?1, 31?2x?21?x33?1??1?x,即y?x. y?S梯形BEOP?S梯形OEAQ?2222 90?≤∠POQ≤180?或180?≤∠POQ≤270? (4)如图所示:
O
1 43
2 x
2.如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于A(3,0),B(0,3)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥x轴于点D. (1)求直线AB的解析式; (2)若S梯形OBCD=
43,求点C的坐标; 3(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的 三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] (1)直线AB解析式为:y=?(2)方法一:设点C坐标为(x,?3x+3. 333x+3),那么OD=x,CD=?x+3. 3332x?3. 6∴S梯形OBCD=
?OB?CD??CD=?2由题意:?3243x?3 =,解得x1?2,x2?4(舍去) 633) 3133433OA?OB?,S梯形OBCD=,∴S?ACD?. 2236 4 / 8
∴ C(2,
方法二:∵ S?AOB?
由OA=3OB,得∠BAO=30°,AD=3CD.
∴ S?ACD=
1333CD×AD=.可得CD=. CD2=2263∴ AD=1,OD=2.∴C(2,
(3)当∠OBP=Rt∠时,如图
3). 3 ①若△BOP∽△OBA,则∠BOP=∠BAO=30°,BP=3OB=3,
∴P1(3,
3). 33OB=1. 3 ②若△BPO∽△OBA,则∠BPO=∠BAO=30°,OP=
∴P2(1,3).
当∠OPB=Rt∠时
③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图),此时△PBO∽△OBA,∠BOP=∠BAO=30° 过点P作PM⊥OA于点M.
方法一: 在Rt△PBO中,BP=
133OB=,OP=3BP=. 222∵ 在Rt△PMO中,∠OPM=30°, ∴ OM=
1333333OP=;PM=3OM=.∴P3(,). 24444方法二:设P(x ,?33x+3),得OM=x ,PM=?x+3 33由∠BOP=∠BAO,得∠POM=∠ABO.
∵tan∠POM==
PM=OM?3x?3OA3 ,tan∠ABOC==3.
xOB∴?33333x+3=3x,解得x=.此时,P3(,).
4434④若△POB∽△OBA(如图),则∠OBP=∠BAO=30°,∠POM=30°. ∴ PM=
33OM=. 3433,)(由对称性也可得到点P4的坐标). 44 5 / 8
∴ P4(
当∠OPB=Rt∠时,点P在x轴上,不符合要求. 综合得,符合条件的点有四个,分别是:
P1(3,
333333),P2(1,3),P3(,),P4(,).
44344
3.如图所示,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,BC∥OA,OA=7,AB=4,∠ COA=60°,点P为x轴上的—个动点,点P不与点0、点A重合.连结CP,过点P作PD交AB于点D. (1)求点B的坐标;
(2)当点P运动什么位置时,△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标; (3)当点P运动什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,且
[解] (1)作BQ⊥x轴于Q.
∵ 四边形ABCD是等腰梯形, ∴∠BAQ=∠COA=60° 在RtΔBQA中,BA=4,
∴BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°=23 AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2, ∴OQ=OA-AQ=7-2=5 ∵点B在第一象限内, ∴点B的的坐标为(5, 23)
(2)若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°,
BD5=,求这时点P的坐标。 AB8此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形 若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上, ∴点P的坐标为(4,0)
若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4 ∴点P的坐标为(-4,0) ∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0) (3)若∠CPD=∠OAB ∵∠CPA=∠OCP+∠COP 而∠OAB=∠COP=60°, ∴∠OCP=∠DPA 此时ΔOCP∽ΔADP ∴
OP?OC ADAP 6 / 8
∵BD?5
8∴BD?5AB?5,
82AD=AB-BD=4-5=3
22AP=OA-OP=7-OP ∴
ABOP?4 37?OP2得OP=1或6
∴点P坐标为(1,0)或(6,0).
4. 已知:如图①,在RtΔABC中,∠C=900,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速
度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0 若PQ∥BC,则△APQ ∽△ABC,∴ P B AQAP?,∴ABAC2t5?t10?,∴t?. 457(2)过点P作PH⊥AC于H. ∵△APH ∽△ABC, ∴ A Q 图① H C PHAP1133PH5?t3??,∴,∴PH?3?t,∴y??AQ?PH??2t?(3?t)??t2?3t. 52255BCAB53(3)若PQ把△ABC周长平分,则AP+AQ=BP+BC+CQ.∴(5?t)?2t?t?3?(4?2t), 解得:t?1. 若PQ把△ABC面积平分,则S?APQ?S?ABC, 即-t2+3t=3. ∵ t=1代入上面方程不成立, ∴不存在这一时刻t,使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分. (4)过点P作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N, 若四边形PQP ′ C是菱形,那么PQ=PC. ∵PM⊥AC于M,∴QM=CM. ∵PN⊥BC于N,易知△PBN∽△ABC. B P N 1235 7 / 8 A Q M C ∴ PNBPPNt??, , ∴ACAB454t4t, ∴QM?CM?, 55∴PN?∴ 4410t?t?2t?4,解得:t?. 55910 ∴当t?时,四边形PQP ′ C 是菱形. 9 此时PM?3?t?35748, CM?t?, 35922在Rt△PMC中,PC?PM?CM?4964??981505, 9∴菱形PQP ′ C边长为 505. 9 8 / 8
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