中考数学常见题型几何动点问题

中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题

例1：在△ABC中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC的面积；

(2)现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM/秒，点Q的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半？

B (3)在第（2）问题前提下，P,Q两点之间的距离是多少？

C

A 例2: ()已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点， P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿A →B → C →E运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y， （1）写出y与x的关系式

(2)求当y＝

1时，x的值等于多少？ 3

例3：如图1 ，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，沿梯形的边由B→C → D → A 运动，设点P运动的路程为x ,△ABP的面积为y , 如果关于x 的函数y的图象如图2所示 ，那么△ABC 的面积为（ ）

A．32 B．18 C．16 D．10 y B 3例4：直线y??x?6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O4点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；

（3）当S?坐标．

P O Q A x 48时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的5例5：已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．

（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

1 / 8

C Q P A M

N

B

，AD?6厘米，DC?4厘米，BC的坡度例6：如图（3），在梯形ABCD中，DC∥AB，?A?90°i?3∶4，动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿

B?C?D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，D另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒． （1）求边BC的长；

（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；

A（3）连结PQ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，

PECQB

图（3）

y有最大值？最大值是多少？

二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。

例7：如图，已知△ABC中，AB?AC?10厘米，BC?8厘米，点D为AB的A 中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

B P C D Q ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

例8：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，AB?42，∠B?45?．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒． （1）求BC的长．

（2）当MN∥AB时，求t的值．

（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

2 / 8

例9：（如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90o，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端 点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)． (1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ (2)当t为何值时，PQ与⊙O相切？

A P D D A P

O O

C B C Q Q B

例10. 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm(x?0)，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．

（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． P N A D 练习1

1．正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子．动点P，Q同时从点A出发，点P沿A?B?C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A?D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止．P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm．

B

（1）当0≤x≤1时，求y与x之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；

（3）当1≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子停止时∠POQ的变化范围；

O

（4）当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象．

A

Q D

A B P

O Q

D P

C

到运动

C

2B Q

M

（第25题）

C

12[解] （1）当0≤x≤1时，AP?2x，AQ?x，y?AQ?AP?x，

2即y?x．

3 / 8

23 2

y

1

O 1

2 x

1S正方形ABCD时，橡皮筋刚好触及钉子， 2114BP?2x?2，AQ?x，?2x?2?x??2??22，?x?．

2234（3）当1≤x≤时，AB?2，

3（2）当S四边形ABPQ?y

PB?2x?2，AQ?x，

3 2 1

?y?AQ?BPx?2x?2?AB??2?3x?2， 22即y?3x?2．

作OE⊥AB，E为垂足．

4当≤x≤2时，BP?2x?2，AQ?x，OE?1， 31?2x?21?x33?1??1?x，即y?x． y?S梯形BEOP?S梯形OEAQ?2222 90?≤∠POQ≤180?或180?≤∠POQ≤270? （4）如图所示：

O

1 43

2 x

2.如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于A(3,0),B(0,3)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥x轴于点D. (1)求直线AB的解析式; (2)若S梯形OBCD＝

43,求点C的坐标; 3(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的 三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

[解] （1）直线AB解析式为：y=?（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x，?3x+3． 333x+3），那么OD＝x，CD＝?x+3． 3332x?3． 6∴S梯形OBCD＝

?OB?CD??CD＝?2由题意：?3243x?3 ＝，解得x1?2,x2?4（舍去） 633） 3133433OA?OB?,S梯形OBCD＝，∴S?ACD?． 2236 4 / 8

∴ Ｃ（２，

方法二：∵ S?AOB?

由OA=3OB，得∠BAO＝30°，AD=3CD．

∴ S?ACD＝

1333CD×AD＝．可得CD＝． CD2＝2263∴ AD=１，OD＝２．∴C（２，

（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图

3）． 3 ①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，

∴P1（3，

3）． 33OB=1． 3 ②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=

∴P2（1，3）．

当∠OPB＝Rt∠时

③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30° 过点P作PM⊥OA于点M．

方法一： 在Rt△PBO中，BP＝

133OB＝，OP＝3BP＝． 222∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°， ∴ OM＝

1333333OP＝；PM＝3OM＝．∴P3（，）． 24444方法二：设Ｐ（x ，?33x+3），得OM＝x ，PM＝?x+3 33由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．

∵tan∠POM==

PM=OM?3x?3OA3 ，tan∠ABOC==3．

xOB∴?33333x+3＝3x，解得x＝．此时，P3（，）．

4434④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°． ∴ PM＝

33OM＝． 3433，）（由对称性也可得到点P4的坐标）． 44 5 / 8

∴ P4（

当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求. 综合得，符合条件的点有四个，分别是：

P1（3，

333333），P2（1，3），P3（，），P4（，）．

44344

3．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D． (1)求点B的坐标；

(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标； (3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且

[解] (1)作BQ⊥x轴于Q.

∵ 四边形ABCD是等腰梯形, ∴∠BAQ＝∠COA＝60° 在RtΔBQA中,BA=4,

∴BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°=23 AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2, ∴OQ=OA-AQ=7-2=5 ∵点B在第一象限内, ∴点B的的坐标为(5, 23)

(2)若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°,

BD5=，求这时点P的坐标。 AB8此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形 若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上, ∴点P的坐标为(4,0)

若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4 ∴点P的坐标为(-4,0) ∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0) (3)若∠CPD=∠OAB ∵∠CPA=∠OCP+∠COP 而∠OAB=∠COP=60°, ∴∠OCP=∠DPA 此时ΔOCP∽ΔADP ∴

OP?OC ADAP 6 / 8

∵BD?5

8∴BD?5AB?5,

82AD=AB-BD=4-5=3

22AP=OA-OP=7-OP ∴

ABOP?4 37?OP2得OP=1或6

∴点P坐标为(1,0)或(6,0).

4． 已知：如图①，在RtΔABC中，∠C=900，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速

度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0

若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，∴

P B

AQAP?，∴ABAC2t5?t10?，∴t?． 457（2）过点P作PH⊥AC于H． ∵△APH ∽△ABC， ∴

A Q 图①

H C PHAP1133PH5?t3??，∴，∴PH?3?t，∴y??AQ?PH??2t?(3?t)??t2?3t．

52255BCAB53（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．∴(5?t)?2t?t?3?(4?2t)， 解得：t?1．

若PQ把△ABC面积平分，则S?APQ?S?ABC， 即－t2＋3t=3．

∵ t=1代入上面方程不成立，

∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分． （4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，

若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC． ∵PM⊥AC于M，∴QM=CM． ∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．

B

P N

1235 7 / 8

A Q M C ∴

PNBPPNt??， ， ∴ACAB454t4t， ∴QM?CM?，

55∴PN?∴

4410t?t?2t?4，解得：t?． 55910

∴当t?时，四边形PQP ′ C 是菱形．

9

此时PM?3?t?35748， CM?t?， 35922在Rt△PMC中，PC?PM?CM?4964??981505， 9∴菱形PQP ′ C边长为

505． 9

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