高等数学上册(理工类·第四版)考试必会基础习题

第一章函数、极限与连续内容概要

第3章中值定理与导数的应用

内容概要

函数，极限与连续&中值定理

习题1~8

★ ★ 5.利用等价无穷小性质求下列极限：

（2）()2

3

0cos 1tan sin lim x x x x -→； （3）()20tan sin 31ln lim x

x x x +→； （4）x

x x x x arctan 1sin 1lim 0-+→； 知识点：等价无穷小代换求极限；

思路：要活用等价无穷小公式，如当0→x ，有03→x ，故3sin x ～3

x ，以及有关定理。 （2）()()

221lim cos 1tan sin lim 223023

0=?=-→→x x x x x x x x （3）当0→x 时，0sin 3→x

x ，故()x x sin 31ln +～x x sin 3， ()3sin 3lim tan sin 31ln lim 2020==+→→x

x x x x x x x ； （4）2

1sin 21lim arctan 1sin 1lim 00=?=-+→→x x x x x x x x x x ； 习题3~2

★ ★ 1.用洛必达法则求下列极限：

（7） x x-x

x x sin tan lim 0-→；

知识点：洛必达法则。

思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：00型与∞

∞型未定式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于∞-∞型与∞?0型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于00型、∞1型与0

∞型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。 （7） 2230000tan sec 12tan sec 2lim lim lim lim 2sin 1cos sin cos x x x x x x x x x x x x x

x →→→→--====--； 习题1~6

★ ★ 1．计算下列极限：

（12） ()x x x x -++∞→21lim ；

（14）??

? ??---→311311lim x x x ； 知识点：极限求法

思路：参照本节例题给出的几种极限的求法

（12） ()x x x x -++∞→21lim ()()=++++-+=+∞→x x x x x x x x 222111lim 2

11lim 2=+++∞→x x x x ； （14）??? ??---→311311lim x x x 321131lim x x x x --++=→()()()()

2112lim 111x x x x x x →-+=-=--++； 习题1-7

★ ★ 2．计算下列极限：

（7）()x x x xe 101lim +→ ；

知识点：重要极限： ()1

0lim 1e →+= （或1lim 1e →∞??+= ???

） 思路： 将函数表达式化成()10lim 1e →+=（或1lim 1e →∞??+= ???

），并利用指数函数运算性质 （()n

m mn n m n m e e e e e =?=+,）得出结果 （7） ()()e e xe xe x x e xe x x x x x ==+=+?→→110101lim 1lim

习题3-2 ★ ★ 1.用洛必达法则求下列极限：

（14）

x x x sin 0lim +→；

（19）x x x x 12)1(lim +++∞→；

知识点：洛必达法则。

思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：

0型与

∞

∞

型未定式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于∞-∞型与∞?0型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于0

0型、∞1型与0

∞型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。

（14）

0000ln 1

tan sin lim sin ln lim

lim

lim

sin 0csc cot csc 0

lim 1x x x x x

x x

x x

x

x

x x x

x

x x e

e

e

e

e +

+

+

+

→→→→+

--→======；

（19）

1)

1(lim 2

2

2

211lim

111lim

)1ln(lim

1

2====+++++++

+++∞

→+∞

→+∞

→+∞→x x x x x x x x x

x x x x e

e

e

x x ；

习题1-9

★ ★ 3．判断下列函数的指定点所属的间断点类型，如果是可去间断点，则请补充或改变函数的定义使它

连续。

（2）;2,1,2

31

2

2==+--=x x x x x y

知识点：间断点类型及判定；

思路： 间断点类型取决于左右极限是否存在，故要分别求间断点的左右极限；

（2）1=x 时，()()()()22

1lim 1211lim 231

lim 112

21-=-+=---+=+--→→→x x x x x x x x x x x x ，左右极限相等， ∴是第一类中的可去间断点，补充定义

()21-=y 可使函数在该点处连续；

2=x 时，∞=-+==+--→→2

1

lim 231lim 22

22x x x x x x x ，∴是第二类无穷间断点； ★ ★ 6．设

()()

??

???<=<+++=x x x x x b x a x f 000,ln ,1,22，已知()x f 在0=x 处连续，试确定a 及b 的值。

知识点：左右连续；

思路：在0=x 处连续，有()()()00000f f f =-=+，并据此列式求解； 解：()x f 在0=x 处连续当且仅当()x f 在0=x 处既左连续又右连续； 由

()

()???==?==?==+=++-+→→e b a a b f x a x x b x x 11ln 10lim ln lim 2020；

第二章 导数与微分

内容概要

习题2-2 ★ 1. 计算下列函数的导数： 知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则 思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数 (11)2log ln 2y x x =+ 解:22221(log )(ln 2)log (log )0log ln 2y x x x x x x x '''''=+=++=+ ★ 6.求下列函数的导数: 知识点：导数的四则运算法则和复合函数的求导法则 思路：利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求导数

(7)

2(arcsin )2x

y =;

(10)

tan 210x x y =;

解

:2arcsin 2arcsin

(arcsin )2arcsin ()2222

x

x x x x y '''=?==

tan 2tan 2210ln10(tan 2)10ln10[tan 2sec 2(2)]x x x x y x x x x x x '''=??=+?

tan 2210

ln10(tan 22sec 2)x x

x x x =+

★★ 7.设

()f x 为可导函数,求

dy dx

: 知识点：复合函数的导数

思路：利用链式法则求复合函数的导数 (3)1(arcsin )y f x

=.

解

:2

1111(arcsin )(arcsin )(arcsin )()y f f x x x

x ''''=?=-

1(arcsin )f x '=-

★★ 10.已知

1()1x

f x x

=+，求()f x '.

知识点：抽象函数的导数

思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数 解:令

1t x =,则1x t

=

1

1()111t f t t t

∴==++ 1()1f x x

∴=+ 211()()1(1)f x x x ''∴==-++

习题2-3 ★★ 6.若()f x ''存在,求下列函数的二阶导数22:d y dx . 知识点: 高阶导数,复合函数的求导法则 思路: 利用链式法则求导

(1)3();y f x =

(2)ln[()]y f x =.

解:32()3y f x x ''=? 3232343

6()3()36()9()y xf x x f x x xf x x f x ''''''''∴=+?=+ 解:()()

f x y f x ''= 22()()[()][()]f x f x f x y f x '''?-''∴=

习题2-4 1.求下列方程所确定的隐函数y 的导数dy dx : 知识点: 隐函数的导数

思路: 方程两边同时对自变量x 求导,凡遇到含有因变量y 的项时,把y 当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dy dx ★ (3) 350xy e y x +-=;

解:方程两边同时对x 求导,得 2()350xy e y xy y y ''?++-=

解得2

53xy

xy ye y xe y -'=+ ★ (4)1y

y xe =+;

解:方程两边同时对x 求导,得 y y y e xe y ''=+

解得1y

y e y xe '=-

2.求下列方程所确定的隐函数y 的导数22

d y dx : 知识点: 隐函数的导数,高阶导数

思路: 方程两边同时对自变量x 求导,凡遇到含有因变量y 的项时,把y 当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出

dy dx ,再对一阶导数利用导数四则运算法则和复合函数求导法则求导

★★ (3)tan()y x y =+.

解: 方程两边同时对x 求导,得 2sec ()(1)y x y y ''=++

解得222sec ()11sec ()1sec ()1

x y y x y x y -+'==--+-+-221cot ()csc ()x y x y =--+=-+ 2222csc ()cot()(1)2csc ()cot()[1csc ()]y x y x y y x y x y x y '''∴=+++=++-+ 23

2csc ()cot ()x y x y =-++

3.用对数求导法则求下列函数的导数: 知识点: 对数求导法

思路: 在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x 求导,最后解出所求导数★

(1)2tan (1)x y x =+;

解:等式两边同时取对数,得 2ln tan ln(1)y x x =+

等式两边同时对x 求导,得22212sec ln(1)tan 1x y x x x y x '=++?+ 2tan 2222tan (1)[sec ln(1)]1x x x y x

x x x

'∴=++++ ★★ (2)

y = 解: 等式两边同时取对数,得

111ln ln(3)ln(32)ln(2)532

y x x x =-+--+ 等式两边同时对x 求导,得

11(3)1(32)1(2)5333222

x x x y y x x x '''--+'=?+?-?--+

111[]5(3)322(2)y x x x '∴=+---+ 8.求下列参数方程所确定的函数的导数

dy dx : 思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求一阶导数,再将t 看作中间变量利用复合函数求导法则求二阶导数,

★★ (2) 2

31x t y t t

?=-?=-?; 解: 22

131322t t y dy t t dx x t t '--===-'-

22222223

131362131()()22424d y d t d t dt t t dx dx t dt t dx t t t ----+∴=-=-=-?=-- ★ 4.设函数()y y x =由方程1y y xe -=确定,求(0)y ',并求曲线上其横坐标0x =处点的切线方程与法线方程.

思路: 方程两边同时对自变量x 求导,凡遇到含有因变量y 的项时,把y 当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dy dx

解: 方程两边同时对x 求导,得 0y y y e xe y ''--= 解得 1y

y e y xe '=-

当0x =时,1y = ∴在0x =处切线的斜率(0)k y e '==

0x ∴=处的切线方程为

1y ex -=,即1y ex =+ 法线方程为11y x e -=-,即11y x e

=-+ ★★ 6.求曲线2ln(1)arctan x t y t ?=+?=?

在1t =对应点处的切线方程和法线方程. 知识点: 参数方程表示的函数的导数

思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求导

解:22

111221dy t t dx t

t +==+ 11|2t dy dx =∴= 当1t =时,ln 2,4x y π

==

∴ 在1t =对应点处的切线方程为1(ln 2)42y x π-

=-, 即11ln 2224y x π=-+ 法线方程为

2(ln 2)4y x π-=--, 即22ln 24y x π=-++

习题2-1

★★ 9.设sin ,0(),

0x x f x x x

思路：分段函数在每一段内可以直接求导，但是在分段点处要利用导数的定义求导 解：当0x <时，()(sin )cos f x x x ''==

当0x

>时，()1f x x ''== 当0x =时，00()(0)(0)lim lim 10

x x f x f x f x x +

++→→-'===- _00()(0)sin (0)lim lim 10x x f x f x f x x

--→→-'===- (0)1cos ,0()1,

0f x x f x x '∴=

0x x y x x ?≠?=??=?在0x =处的连续性与可导性. 知识点：函数在某点连续与可导的定义

思路：利用函数在某点连续与可导的定义判断

解: 2001lim ()lim sin 0(0)x x f x x f x

→→===

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