2014广东数学理科高考题

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学理

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合M?{?1,0,1},N?{0,1,2},则M?N? A．{?1,0,1} B. {?1,0,1,2} C. {?1,0,2} D. {0,1} 2.已知复数Z满足(3?4i)z?25,则Z=

A．3?4i B. 3?4i C. ?3?4i D. ?3?4i

?y?x?3.若变量x,y满足约束条件?x?y?1且z?2x?y的最大值和最小值分别为M和m，则

?y??1?M-m=

A．8 B.7 C.6 D.5

x2y2x2y2??1的 ??1与曲线4.若实数k满足0?k?9,则曲线

25?k9259?kA．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等 5.已知向量a??1,0,?1?,则下列向量中与a成60?夹角的是

A．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）

6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为

A、200,20 B、100,20 C、200,10 D、100,10

7、若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4，满足l1?l2,l2,?l3,l3?l4，则下列结论一定正确的是

A．l1?l4 B．l1//l4 C．l1,l4既不垂直也不平行 D．l1,l4的位置关系不确定 8.设集合A=??x,x,x,x,x?x??1,0,1,i?1,2,3,4,5?，那么集合

12345iA中满足条件

“1?x1?x2?x3?x4?x5?3”的元素个数为

A．60 B90 C.120 D.130

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）

9．不等式x?1?x?2?5的解集为 。

10．曲线y?e?5x?2在点(0,3)处的切线方程为 。

11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。

12．在?ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，已知bcosC?ccosB?2b， 则

a? 。 b13．若等比数列?an?的各项均为正数，且a10a11?a9a12?2e5，

则lna1?lna2????lna2n? 。 （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）

14、（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为?sin2??cos?和

?sin?＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，

则曲线C1和C2的交点的直角坐标为＿＿ 15、（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则

?CDF的面积＝＿＿＿

?AEF的面积

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16、（12分）已知函数f(x)?Asin(x? （1）求A的值； （2）若f(?)?f(??)?

?4),x?R，且f(53?)?， 1223?3，??(0,)，求f(???)。 22417、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得

数据如下：

根据上述数据得到样本的频率分布表如下：

（1）确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值；

（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率。 18、（13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30，AF⊥式PC于点F，FE∥CD，交PD于点E。 （1）证明：CF⊥平面ADF；

（2）求二面角D－AF－E的余弦值。

19. （14分）设数列?an?的前n和为Sn,满足Sn2?2nan?1?3n2?4n,n?N*，且S3?15。

(1)求a1,a2,a3的值; (2)求数列?an?的通项公式;

x2y2520. （14分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的一个焦点为(5,0)，离心率为，

ab3（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。

21.（本题14分）设函数f(x)?1(x?2x?k)?2(x?2x?k)?3222，其中k??2，

（1）求函数f(x)的定义域D；（用区间表示） （2）讨论f(x)在区间D上的单调性；

（3）若k??6，求D上满足条件f(x)?f(1)的x的集合。

１－８：BACD BADD;

８.解：A中元素为有序数组?x1,x2,x3,x4,x5?，题中要求有序数组的5个数中仅1个数为?1、

123仅2个数为?1或仅3个数为?1，所以共有C5?2?C5?2?2?C5?2?2?2?130个不同

数组；

(2,??); 10.y??5x?3; 11.1; 12.2; 13.50; 14.(1,1); 15.9;

633C6?C311.解：6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个，P??1； 36C1016.解：（1）f(5?)?Asin(5???)?3，

121242?A?3?3，A?3；f(??)f(?)

22（2）f(?)?f(??)?3sin(???)?3sin(????)?3，

442?3[2(sin??cos?)?2(?sin??cos?)]?3，

222??6cos??3，cos??6，又??(0,)，

422?sin??1?cos2??10，

49.(??,?3)

3f(???)?3sin(???)?3sin??30．

4417. 解：（1）n1?7,n2?2，f1?0.28,f2?0.08；

（2）样本频率分布直方图为

频率 组距 0.064 0.056 0.04 0.024 0.016 0 25 30 35 40 45 50 日加工零件数

（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率0.2， 设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为?，则?~B(4,0.2)，

P(??1)?1?P(??0)?1?(1?0.2)4?1?0.4096?0.5904，

所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率约为0.5904．

18.（１）PD?平面ABCD，

?PD?AD，又CD?AD，PDCD?D， ?AD?平面PCD，

?AD?PC，又AF?PC，

?PC?平面ADF，即CF?平面ADF；

0（２）设AB?1，则Rt?PDC中，CD?1，又?DPC?30， z A B ?PC?2，PD?3，由（１）知CF?DF

?DF?3，AF?2AD2?DF2?7，

2?CF?AC2?AF2?1，又FE//CD，

2?DE?CF?1，?DE?3，同理EF?3CD?3，

4PDPC444如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,1)， P D E F C y E(3,0,0)，F(3,3,0)，P(3,0,0)，C(0,1,0)，

x 444?3,0,0)AE?(?m?AE?4设m?(x,y,z)是平面AEF的法向量，则?，又?，

3?m?EF?EF?(0,,0)?4??m?AE?所以??m?EF??3x?z?04，令x?4，得z?3，m?(4,0,3)， 3y?04由（１）知平面ADF的一个法向量PC?(?3,1,0)， 设二面角D?AF?E的平面角为?，可知?为锐角，

cos??|cos?m,PC?|?|m?PC|?43?257，即所求．

19|m|?|PC|19?2

19.解：S2?4a3?20，S3?S2?a3?5a3?20，又S3?15，

?a3?7，S2?4a3?20?8，又S2?S1?a2?(2a2?7)?a2?3a2?7， ?a2?5，a1?S1?2a2?7?3， 综上知a1?3，a2?5，a3?7；

（２）由（１）猜想an?2n?1，学科网下面用数学归纳法证明． ①当n?1时，结论显然成立；

②假设当n?k（k?1）时，ak?2k?1，

3?(2k?1)2则Sk?3?5?7?(2k?1)??k?k(k?2)，又Sk?2kak?1?3k?4k，

2?k(k?2)?2kak?1?3k2?4k，解得2ak?1?4k?6， ?ak?1?2(k?1)?1，即当n?k?1时，结论成立；

由①②知，?n?N*,an?2n?1．

20.解：（１）可知c?5，又c?5，?a?3，b2?a2?c2?4，

a3x2y2??1； 椭圆C的标准方程为94（２）设两切线为l1,l2，

①当l1?x轴或l1//x轴时，对应l2//x轴或l2?x轴，可知P(?3,?2)

②当l1与x轴不垂直且不平行时，x0??3，设l1的斜率为k，则k?0，l2的斜率为?1，

kx2y2?1， l1的方程为y?y0?k(x?x0)，联立?94得(9k2?4)x2?18(y0?kx0)kx?9(y0?kx0)2?36?0， 因为直线与椭圆相切，学科网所以??0，得

9(y0?kx0)2k2?(9k2?4)[(y0?kx0)2?4]?0，

??36k2?4[(y0?kx0)2?4]?0， ?(x02?9)k2?2x0y0k?y02?4?0

所以k是方程(x02?9)x2?2x0y0x?y02?4?0的一个根， 同理?1是方程(x0?9)x?2x0y0x?y0?4?0的另一个根，

222ky02?4221，得x0?y0?13，其中x0??3， ?k?(?)?2kx0?9所以点P的轨迹方程为x?y?13（x??3），

222因为P(?3,?2)满足上式，综上知：点P的轨迹方程为x?y?13．

21.解：（１）可知(x?2x?k)?2(x?2x?k)?3?0，

2222?[(x2?2x?k)?3]?[(x2?2x?k)?1]?0，

?x2?2x?k??3或x2?2x?k?1，

?(x?1)2??2?k(?2?k?0)或(x?1)2?2?k(2?k?0)，

?|x?1|??2?k或|x?1|?2?k，

??1??2?k?x??1??2?k或x??1?2?k或x??1?2?k， 所以函数f(x)的定义域D为

(??,?1?2?k)（２）

(?1??2?k,?1??2?k)(?1?2?k,??)；

f'(x)????22(x2?2x?k)(2x?2)?2(2x?2)2(x?2x?k)?2(x?2x?k)?3(x2?2x?k?1)(2x?2)2223(x?2x?k)?2(x?2x?k)?3223，

由f'(x)?0得(x2?2x?k?1)(2x?2)?0，即(x?1?k)(x?1?k)(x?1)?0，

?x??1??k或?1?x??1??k，结合定义域知x??1?2?k或?1?x??1??2?k，

所以函数f(x)的学科网单调递增区间为(??,?1?2?k)，(?1,?1??2?k)，

同理递减区间为(?1??2?k,?1)，(?1?2?k,??)；

（３）由f(x)?f(1)得(x2?2x?k)2?2(x2?2x?k)?3?(3?k)2?2(3?k)?3，

?[(x2?2x?k)2?(3?k)2]?2[(x2?2x?k)?(3?k)]?0， ?(x2?2x?2k?5)?(x2?2x?3)?0，

?(x?1??2k?4)(x?1??2k?4)?(x?3)(x?1)?0， ?x??1??2k?4或x??1??2k?4或x??3或x?1， k??6，?1?(?1,?1??2?k)，?3?(?1??2?k,?1)， ?1??2k?4??1?2?k，?1??2k?4??1?2?k， 结合函数f(x)的单调性知f(x)?f(1)的解集为

(?1??2k?4,?1?2?k)(?1?2?k,?1??2k?4)．

(?1??2?k,?3)(1,?1??2?k)

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