高中理科数学解题方法篇方程与函数

高中理科数学解题方法篇方程与函数

方程

错解剖析得真知（二十）平面解析几何初步§7.1直线和圆的方程

一、知识导学

1．两点间的距离公式:不论A(

1，

1

)，B(

2

，

2

)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=，特别地，与坐标轴平行

的线段的长|AB|=|

2－

1

|或|AB|=|

2

-

1

|.

2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三

点A(

1，

1

)，B(

2

，

2

)，P(，)之间数量关系

的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A为起点，B为终点，P

为分点，则定比分点公式是.当P点为

AB的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是

.

3．直线的倾斜角和斜率的关系

（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.

（2）斜率存在的直线，其斜率与倾斜角α之间的关系是=tanα.

4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.

名

称

方程说明适用条件

斜截式

为直线的斜

率

b为直线的纵

截距

倾斜角为

90°的直线

不能用此式

点斜式() 为

直线上的已

知点，为直

线的斜率

倾斜角为

90°的直线

不能用此式

两

点式=

()，()

是直线上两

个已知点

与两坐标轴

平行的直线

不能用此式

截

距式+=1

为直线的横

截距

b为直线的纵

截距

过（0，0）

及与两坐标

轴平行的直

线不能用此

式

一般式

，，分

别为斜率、横

截距和纵截

距

A、B不全为

零

5．两条直线的夹角。当两直线的斜率,都

存在且·≠ -1时，tanθ=，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.

6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.

（1）斜率存在且不重合的两条直线

1∶

，2∶

，有以下结论：

①

1∥

2

=，且ｂ

1

＝ｂ

2

②

1⊥

2

·= -1

（2）对于直线

1∶，

2∶

，

当

1，

2

，

1

，

2

都不为零时，有以下结论：

①

1∥

2

=≠

②

1⊥

212

+

12

= 0

③

1与

2

相交≠

④

1与

2

重合==

7．点到直线的距离公式.

（1）已知一点P（）及一条直线：

，则点P到直线的距离d=；

（2）两平行直线

1:，

2

:

之间的距离d=.

8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系

（1）圆的标准方程：，其中（，b）是圆心坐标，是圆的半径；

（2）圆的一般方程：（

＞0），圆心坐标为（-，-），半径为=.

二、疑难知识导析

1．直线与圆的位置关系的判定方法.

（1）方法一直线：；圆：

.

一元二次方程

（2）方法二直线:；圆：

，圆心（，b）到直线的距离为

d=

2．两圆的位置关系的判定方法.

设两圆圆心分别为O

1、O

2

，半径分别为

1

，

2

，|O

1

O

2

|

为圆心距，则两圆位置关系如下：

|O

1O

2

|>

1

+

2

两圆外离；

|O

1O

2

|=

1

+

2

两圆外切；

|

1-

2

|<|O

1

O

2

|<

1

+

2

两圆相交；

| O

1O

2

|=|

1

-

2

|两圆内切；

0<| O

1O

2

|<|

1

-

2

|两圆内含.

三、经典例题导讲

［例1］直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.

错解：设直线方程为:,又过P(2,3),∴,求得a=5

∴直线方程为x+y-5=0.

错因：直线方程的截距式: 的条件是:≠0且b≠0,本题忽略了这一情形.

正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直

线过(0,0)时,此时斜率为:,

∴直线方程为y=x

综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=

x .

［例2］已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程.

错解：设动点P坐标为(x,y).由已知3

化简3=x2-2x+1+y2-6y+9 .

当x≥0时得x2-5x+y2-6y+10=0 . ①

当x＜0时得x2+ x+y2-6y+10=0 . ②

错因：上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得

(x-)2+(y-3)2

= ①和(x+)2+(y-3)2 = - ②

两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.

正解：接前面的过程,∵方程①化为(x-)2+(y-3)2 = ,方程②化为(x+)2+(y-3)2 = - ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为: (x-)2+(y-3)2 = (x≥0)

［例3］m是什么数时，关于x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的图象表示一个圆？

错解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，

得2m2+m-1=m2-m+2，即

m2+2m-3=0，解得m

1=1，m

2

=-3，

∴当m=1或m=-3时，x2和y2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆错因：A=C，是Ax2+Cy2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：

A=C≠0且＜0.

正解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，

得2m2+m-1=m2-m+2，即

m2+2m-3=0，解得m

1=1，m

2

=-3，

(1)当m=1时，方程为2x2+2y2=-3不合题意，舍去.

(2)当m=-3时，方程为14x2+14y2=1,即

x2+y2=,原方程的图形表示圆.

［例4］自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7＝0相切，求光线L所在的直线方程.

错解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，于是L′过A(-3，-3).

设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，

已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1

因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1

即

整理得12k2-25k+12＝0

解得k＝L′的方程为y+3＝(x+3)

即4x-3y+3＝0 因L和L′关于x轴对称

故L的方程为4x+3y+3＝0.

错因：漏解

正解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，于是L′过A(-3，-3).

设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，

已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1

因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1

即

整理得12k2-25k+12＝0

解得k＝或k＝

L′的方程为y+3＝(x+3);或y+3＝(x+3)。

即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0

因L和L′关于x轴对称

故L的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.［例5］求过直线和圆的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1）过原点；（2）有最小面积.

解：设所求圆的方程是：

即：

（1）因为圆过原点，所以，即

故所求圆的方程为：.

（2）将圆系方程化为标准式，有：

当其半径最小时，圆的面积最小，此时为所求.

故满足条件的圆的方程是.

点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待定系数法。（2）面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.

［例6］（06年辽宁理科）已知点A()，B()（≠0）是抛物线上的两个动点，O 是坐标原点，向量满足｜｜＝｜｜.设圆C的方程为

（1）证明线段AB是圆C的直径；

（2）当圆C的圆心到直线的距离的最小值

为时，求的值.

解：（1）证明∵｜｜＝｜｜，∴（）2＝（）2，

整理得：＝0 ∴＋＝0

设M（）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则＝0

即＋＝0

整理得：

故线段AB是圆C的直径.

（2）设圆C的圆心为C（），则

∵，

∴

又∵＋＝0 ，＝－

∴－

∵≠0，∴≠0

∴＝－4

＝

所以圆心的轨迹方程为

设圆心C到直线的距离为ｄ，则

＝

当＝时，ｄ有最小值，由题设得＝

∴＝2.

四、典型习题导练

1．直线截圆得的劣弧所对的圆心角为（）

A. B. C.

D.

2.已知直线x=a(a＞0)和圆(x-1)2+y2=4相切，那么a的值是( )

A.5

B.4

C.3

D.2

3. 如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2＝３，则的最大值为： .

4.设正方形ABCD（A、B、C、D顺时针排列）的外接圆方程为x2+y2-6x+a=0（a<9），C、D点所

在直线l的斜率为.

（1）求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率；

（2）如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程；

（3）如果ABCD的外接圆半径为2，在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程.

5.如图，已知圆C：（x+4）2+y2=4。圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。圆 D与y轴交于A、B两点，点P为(-3，0).

（1）若点D坐标为（0，3），求∠APB的正切值；

（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的正切值的最大值；

（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y 轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由.

错解剖析得真知（二十一）圆锥曲线

一、知识导学

1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹

2．椭圆的标准方程：，（）3椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率

椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式

4．椭圆的准线方程

对于，左准线；右准线

对于，下准线；上准线

5.焦点到准线的距离（焦参数）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称

6椭圆的参数方程

7．双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距

8．双曲线的标准方程及特点：

（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：

焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)；

焦点在轴上时双曲线的标准方程为：

(,)

(2)有关系式成立，且

其中与b的大小关系:可以为

9焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上

10．双曲线的几何性质：

（1）范围、对称性

由标准方程，从横的方向来看，直线x=-,x=之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心

（2）顶点

顶点：，特殊点：

实轴：长为2, 叫做半实轴长虚轴：

长为2b，b叫做虚半轴长

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异

（3）渐近线

过双曲线的渐近线（）

（4）离心率

双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围：

双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔

11．双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数e是双曲线的离心率．

12．双曲线的准线方程：

对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；

焦点到准线的距离（也叫焦参数）

对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线

抛物线

图

形

方

程

焦

点

准

线

13 抛物线定义：

平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线

二、疑难知识导析

椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几何性质都存在着相似之处，也有着一定的区别,因此，要准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系

1．等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率

2．共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为

，那么此双曲线方程就一定是：

或写成

3．共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线双

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