黑匣子 数学建模题

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料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

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的行为，我将受到严肃处理。

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评阅编号：

寻找黑匣子

摘要

黑匣子具有记录各种飞行参数的功能，常用于飞机事故分析使用。所以在数以万计的飞机灾难事故现象中，通过逻辑分析黑匣子的数据，探究事故发生的原因，以避免更多的灾难。所以在事故中寻找黑匣子是很重要的。本题根据已知的飞机在高空时的速度、地理位置、所处的环境等条件，围绕所给的突发事件，提出方案，建立高准度、低复杂的数学模型，为寻找黑匣子提供理论依据。

对于问题一，我们分析飞机降落过程中所受到的力的作用。将运动轨迹分解成水平轨迹和竖直轨迹。考虑到有空气气流的影响，即水平轨迹上有摩擦阻力和压差阻力的阻碍作用，竖直轨迹上的重力和空气阻力的作用。建立起微分方程模型，把竖直轨迹和水平轨迹联系在一起。利用mathematic软件的求解功能，分别得到飞机坠落轨迹和黑匣子的落水点。

对于问题二，由于不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，即海水是静止的。飞机在沉降过程中，竖直方向上只受到重力和浮力的作用，水平方向上不受到任何力的作用。根据牛顿第二定律，建立起微分方程模型,建立起水平和竖直位移之间的关系，得出当黑匣子沉到海底时水平方向上的通过的位移。最后据图1的黑匣子在水下沉降过程中的海底剖面图中的区域范围，选出正确的区域。

对于问题三，考虑洋流流动对黑匣子在水中沉降的影响，由于洋流流速和方向受温度地形等多因素的影响。我们假设洋流的流速与方向恒定，根据牛顿定律，建立微分方程模型，得到黑匣子在水中沉降轨迹，通过软件mathematic可以绘制出轨迹曲线。分别带入竖直方向上的位移1000m、2000m、3000m到方程中，得到落水方位。

关键词：黑匣子 空气气流 洋流流速 mathematic 微分方程模型

一．问题重述

飞机是远距离航行的交通方式之一，其主要特点是速度快，安全性高。据统计，飞机是汽车、火车、轮船等几种交通方式中事故率最低的交通方式，但是飞机一旦发生事故，乘客的生还几率非常小。黑匣子是飞机专用的电子记录设备之一，它能记录各种飞行参数，供事故分析使用。黑匣子记录的参数包括：飞机停止工作或失事坠毁前半小时的语音对话和两小时的飞行高度、速度、航向、爬升率、下降率、加速情况、耗油量、起落架放收、格林尼治时间、飞机系统工作状况和发动机工作参数等。

假设有一架飞机在高空中飞行时突然发生事故，此时飞行高度为10000米，飞行速度是800公里/小时，航向东北方向45°，飞机在地面的投影位置为南纬22.0度，东经88.0度。

请建立模型求解以下问题：

1. 假定飞机在发生事故时突然失去动力，考虑飞机在降落过程中受到空气

气流的影响，建立数学模型，描述飞机坠落轨迹并推测黑匣子的落水点。 2. 假设黑匣子落水之后，不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，建立

模型描述黑匣子在水中沉降过程轨迹。如图1所示，假设黑匣子落水点所对应的海底位置为1，落水时沿着图1中指定的虚线方向沉海，给出黑匣子沉在海底的位置，并指出在图形中的哪个区域范围。

图1 黑匣子在水下沉降过程中的海底剖面图

3. 考虑洋流流动对黑匣子在水中沉降的影响，建立模型描述在有洋流流动

的情况下黑匣子沉降轨迹方程，并求解出黑匣子沉入水下1000m，2000m和3000m时离落水点的方位。

二．模型假设

1.空气不受温度、压强等因素的影响，为理想气体。

2.在空中降落过程中和水中沉降过程中，飞机不受到爆炸、摩擦等因素破坏其表面和损坏黑匣子的影响。

3.在空中降落过程中和水中沉降过程中，重力加速度g不随海拔高度和海下深度的变化而变化，取9.8N/kg。

4.将海水看作是不可压缩的流体，即海水密度不随深度、水温等因素的影响。

三．符号说明

m:每个小球的质量 n:小球运动的平均速度 n:单位体积内小球的个数

v1:飞机在空中降落过程中竖直方向上的分速度 s:飞机竖直投影面积

t:在空降过程中到起落点的时间

h1：飞机空降过程中离起落点的竖直高度 h2：飞机空降过程中离起落点的水平距离 z：飞机沉降过程中离入水点的竖直高度 Cf：流体粘性的阻力系数 L：物体沿流体运动方向的长度 B:横宽

A：绕流体沿流动法线方向投影面积 Cp：压差阻力系数 v1：南赤道流流速 v0：飞机初始水平速度

四．模型的建立和求解

4.1.1 问题一的分析

当飞机失去动力后，飞机空降过程为一抛物线，我们将飞机空降过程分解为水平轨迹与竖直轨迹

水平轨迹上，飞机有一个初速度，由于空气气流与飞机的速度是相对的，若在水平方向的飞机无初速度，则飞机是静止的，则不会受到空气气流的影响。在题中，我们已知飞机在水平方向上有一个初速度，则飞机在水平方向会受到空气气流的影响。对水平方向上的飞机所受到空气气流来说，分压差阻力Fp,摩擦阻力Ff两种与速度方向相反的作用力，根据绕流物体受力公式，Fp=Cp·ρ·u 2·A/2,Ff=Cf·ρ·u 2·B·L/2,中，ρ为空气密度。我们知道，随着海拔高度越高，ρ就越小。根据附表A.3，ICAO标准大气压[1]，海拔高度为0㎞处的绝对压强为10·10 2pa,空气密度为1.2250㎏/ m 3,而在海拔高度为10km处的绝对压强为26499pa，密度为0.41351kg/ m 3,即压强变化很大，密度变化小，密度随压强的变化可略去不计，则空去为不可压缩流体，即密度为常数，取0-10000m密度的平均值，而其它参数Cf、U、B、L、Cp、A等可通过计算与查找资料相关数据可知[2]，求得Ff与Fp。根据牛顿定律，建立水平方向微分方程模型。

在竖直轨迹上，飞机同样受到空气气流的影响，受到重力与空气阻力的影响。空气阻力是空气分子在飞机上下表面的压力的差值。而空气阻力与运动速度、物体的形状，体积等因素有关，计算相当复杂。我们假设：

1. 空气中所含的理想化分子视为质量和大小相等的弹性小球

2. 在空气系统的压强不太强，温度不太低的情况下，弹性小球间的相互

作用力忽略不计

3. 小球与其它物体的碰撞是完全弹性碰撞，其运动遵守牛顿运动定律 4. 所有的小球都处于永不停息的无规则的运动之中

查阅资料得到飞机质量M，计算出重力，根据牛顿定律，建立竖直方向微分方程模型，将竖直方向与水平方向的微分方程模型相联系，得到飞机坠落轨迹。求出坠落时间，可得到黑匣子的落水点。

4.1.2 建立模型和求解 竖直方向：空气阻力的计算

飞机上表面的阻力计算：

沿竖直向下运动的空气分子以相对速率（u-v1）与飞机上表面发生弹性碰撞，根据动量定理，与飞机上表面碰撞后小球的冲量：

I1=m（u-v1）-（-m（u-v1））=2m（u-v1）

根据弹性碰撞定律，小球与飞机碰撞后，飞机的冲量大小：

I2=I1=2m（u-v1）， 方向指向飞机上表面

在单位时间内与飞机上表面任一面积元dS相碰撞的小球个数有

N=n（u-v1）dS/6

所以飞机任一面积元dS在单位时间内受到空气分子的冲量大小为

dI3=NI2=n（u-v1）dS/6×2m(u-v1)=nm(u-v1)dS/3 整个飞机上表面在单位时间内受到的总冲量为

I3=∮dI3=nm（u-v1）S/3 因为I=∫Fdt

所以飞机上表面的空气阻力为

F1=nm（u-v1）S/(3t) 同理可得飞机下表面的空气阻力为

F2=nm（u+v1）/(3t)

所以空降过程中的飞机所受总空气阻力为

f=F2-F1， 方向竖直向上 化简整理得到

f=2nmv1·S/（3t）

把ρ＝nm带入，根据牛顿第二定律，建立竖直方向上的微分方程模型

Mg-2ρv1·S/（3t）=M·d2h1/dt2

水平方向上：摩擦阻力和压差阻力的计算

摩擦阻力[3]：

Ff=Cf·ρu2BL／2

压差阻力[4]：

Fp=Cp·ρu2A／2

根据牛顿第二定律，建立水平方向上的微分方程模型

﹣Fp-Ff=M·d 2h2／dt 2

化简整理得到

-ρu 2（Cf·BL＋Cp·A）／2= M·d 2h2／dt 2

综合水平轨迹和竖直轨迹，得到飞机坠落轨迹模型

???u?u(Cf?BL?Cp?A)/2?Md(dh2/dt)/dt ?Mg?2?v1?S/(3t)?Md(dh1/dt)/dt?

因为查阅得到Cf=0.0022，Cp=0.45 水平方程

d 2h2／dt 2=-51.3

化简，得

h2=222.2t-25.6t 2

竖直方程，已知M=50000kg，ρ=0.82，S=233.83， 化简得到

h1=4.9t 2-9.8t

在运动的过程中，算出竖直方向上飞机经过的时间

t=46.3秒

而水平方向上飞机经历了4.3秒，水平速度减小至零，此时经过的水平距离为 h2=482.2米 入水时的速度为v=443米/秒

飞机在高空的运动轨迹为先做抛物线运动，水平速度减小至零后竖直下落，

直到进入水中

此时黑匣子的落水点离南纬22度、东经88度482.2米处，方向为东北方向45度。

4.2.1 问题二的分析

题二中不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，水流流速为零，即海水是静止的。当飞机以一个倾斜的速度进入水中时，水平方向不受力的作用，飞机做匀速直线运动。而竖直方向上飞机受到水对飞机的浮力作用、飞机自身的重力以及水对飞机的水平压力的作用。在液体中，水分子朝任何方向都有压力的作用，且压强的分布一般是不均匀的【3】。在飞机沉降过程中任意一个位置，同一深度，不考虑温度的影响，压强为定值。水平面上，左右前后的投影面积对应相等。根据流体平面面积上的压力公式：F=P∫dA，可知水平面上压力合力为零，即飞机在水平面上不受水分子压力的作用。

浮力为物体所受液面向上向下的压力之差，即受到各方向流体静压力的向上合力。浮力与水中的密度密切相关。通常情况下，海水是不可压缩流体，密度为定值。通常海水的密度取1.025×103kg/m3。查阅资料可知飞机的体积【4】，从而得到浮力，根据牛顿第二定律，建立微分方程模型，将此模型与水平方向的运动方程相结合，即得到黑匣子在水中的沉降过程轨迹。

根据已给的黑匣子在水下沉降过程中的海底剖面图得出，在不同水平区域范围内，海底离海面竖直方向上的深度不同。将各个区域的不同深度的数值带入模型中，分别算出水平方向上的位移，判断是否在此区域中，选出正确的区域范围。

4.2.2 建立模型和求解 浮力的计算：

海水为不可压缩流体，即海水密度ρ为常数【5】，一般取值1.025×103kg/m3。 因为浮力F=ρgV，V为飞机排开液体的体积，g=9.8N/kg。 已知M=50000kg

根据牛顿力学运动定律，水平方向

X=v2·t

竖直方向，

Mg-ρgV=M·d2z/dt2

整理，

vtv3?dv?(Mg??gV)?dt

0ztv用dz/dt代替

?dz??[v3?(Mg??gV)t]dt

00化简，

z=v3·t+（Mg-ρgV）t2/2

将两者相结合，可得黑匣子在沉降过程中轨迹的模型

?z?v3?t?(Mg??gV)t?t/2 ??x?v2?t

从问题一中，我们已经知道v2=0，即入水后水平方向上没有速度，所以进入水后，飞机沿竖直方向运动，没有水平位移。由于已知条件中，黑匣子落水点所对应的海底位置为区域I，所以据数据分析结果来看，黑匣子的沉在海底的位置为区域I，且在东北方向45度，离南纬22度，东经88度地区的482.2米的水下4200米左右的位置。

4.3.1 问题三的分析

洋流又叫海流，是指大洋表层海水常年大规模的沿一定方向进行的较为稳定的流动。洋流是有着流速和方向的海流，随季节而不断发生变化【6】。而南纬22度、东经88度地区为南赤道洋流所流经的，其平均流速为25－30厘米/秒，冬季流速最大，约为50厘米/秒【7】。

我们假设南赤道洋流不随季节、水温、地形等因素的变化而变化，方向恒为自东向西，平均流速恒为30厘米/秒。竖直方向上，仍旧受重力和浮力的影响，东北45度方向上，飞机做匀速直线运动。正西方向上，飞机做以洋流流速为速度的匀速直线运动。将三者不同方向上的运动方程相结合，建立微分方程模型，表示了有洋流流动的情况下黑匣子沉降轨迹方程。将z=1000m、2000m、3000m带入模型，分别求出对应的数值，得到入水点的方位。

4.3.2建立模型和求解

考虑洋流流动对黑匣子在水中的影响，即海水以恒为0.3米/秒的速度自东向西流动，水平方向上，水分子对飞机的压力差依旧为零，所以水平方向上不受力的作用。

在竖直方向的运动情况，与问题二的情况一样，

z=-v3·t-（Mg-ρgV）t 2/2

以入水点为坐标原点建立空间三维坐标系。令x轴为东北方向45度，y轴为西北方向45度，z轴为水下深度。

x轴线上的位移：

x =（v2-√2/2·v1）t

y轴线上的位移

y=√2/2·v1·t

联立三者的轨迹关系，建立数学模型来描述在有洋流流动的情况下黑匣子沉降轨迹方程：

?z??v3?t?(Mg??gV)t?t/2? ?y?2?v1?t/2??x?(v2?2v1/2)t通过mathematic软件的图形描绘出大致轨迹：

当z=1000米，t=0.12秒，x=0.03米，y=0.03米； 当z=2000米，t=0.16秒，x=0.034米，y=0.034米； 当z=3000米，t=0.20秒，x=0.043米，y=0.043米；

所以，黑匣子沉入水底1000米处离落水点西北方向45度0.03米远；沉入水底2000米处离落水点西北方向45度0.034米远；沉入水底3000米处离落水点西北方向45度0.043米远；

五．模型的分析优化

由于模型中的求解中，有太多的变量需要考虑。忽略了次要矛盾，抓住了主要矛盾。可是在分析变量的时候，为使计算不那么复杂，将其中的一些量理想化。如高空中的气体密度随高度、温度的影响较大，将其理想化，用平均值替代。

本模型仍然存在一些不足之处，比如在各步骤上，由于数据本身和算法实现都可能对结果产生一定的误差。对于第一二题，计算结果与实际可能的情况比较近似，然而第三题，算出的不同深度的所经历的时间和水平位移有些不尽如人意，与实际情况基本不符。

要对其优化，先对各变量的情况加以详细分类讨论，然后针对问题，该忽略 的忽略，加以分析的分析，建立起不同的模型，从而针对不同的情况。在计算的过程中，注意取舍情况。若模型的结果有问题，尝试加入修正系数或重新假设，建立新的模型，使结果接近真实值。

六．模型的推广

本文讨论了黑匣子的寻找途径，通过给定的少量的已知飞行条件、地理位置，建立数学模型描述发生事故的飞机上坠落轨迹，较合理的定位黑匣子可能出现的位置，所得的结果对于有关部门寻找失事的飞机具有一定的指导意义，具有较强的实用性。

参考文献

【1】杨晓红，浅析理想模型状态下空气阻力的计算，扬州职业大学学报，2005年3月，第9卷第1期。

【3】【4】【5】E约翰芬纳莫尔，约瑟夫B弗朗兹尼，流体力学及其工程应用，机械工业出版社，2006。

【2】百科百度，http://baike.http://m.wodefanwen.com//lnk?url=rOt07e3wgivN9ZtWL8F62。2014.5.25

【6】百度，http://blog.sina.com.cn/s/blog _675b46ad0100msw0.html。2014.5.25

【7】百科百度，http://baike.http://m.wodefanwen.com//link?url=9d7CR4P1jEWVShyTBHs。2014.5.25

【8】汪晓银，周保平，数学建模与数学实验，科学出版社，2012。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tu6h.html