最优化练习题二

最优化练习题二

一、解释下列概念：

（1） 线性规划的基本可行基，基本可行解。

（2） Q共轭向量组。

（3） 无约束优化下降算法的基本思想。

（4） 在DFP算法中要求矩阵Hk满足的三个性质。

（5） 凸集，凸规划。

二、（1）设问题（P）为

?minf(x);x?Rn ??s.tgi(x)?0;i?1,2,?,m若规划（P）是凸规划，证明：（P）的任何局部极小点都是全局极小点。

22（2）判断函数f(x)?2x1x2?x1?5x2?10x1?x3为凸函数或凹函数或严格凸函数或严格凹函数 2（3）求函数f(x)?3x1x2?4ex1x2的梯度和Hesse矩阵。

三、写出一维搜索0.618法的基本思想和算法框图。

四、设A为n阶对称正定矩阵，f(x)?11TxAx?bTx?C，若p1,p2,?,pn为非零A共轭向量组，2证明：由任意初始点x出发，按迭代格式

minf(xk??pk)?f(xk??kpk)； xk?1?xk??kpk

??0至多迭代n次必达到最优点。

五、设f(x)??3?1?1TxAx?bTx?C，其中A????11??，b?0，c?14，试任意选择最速下降法、2??T牛顿法，共轭方向法或DFP算法从初始点x?(1,1)开始求f(x)的最小值点和最小值。

六、用单纯形法求解下面线性规划的最优解和最优值

七、设有线性规划

写出该线性规划的对偶规划（D），优解和最优值。

??maxx0?2x1?x2??s.tx1?x2?5?x?1?x2 ?6x1?2x2?21??x1,x2?0??min?x1?2x2?（P）?s.tx1?x2?1??x1?x2?2 ??x1?0??x2?0任取一个基，写出单纯形表，并用图解法求出对偶规划（D）的最

八、对约束优化问题

?minf(x);x?Rn ??s.tgi(x)?0;i?1,2,?,m设MkP(x)为其罚函数，0?Mk?Mk?1，k?1,2,?， x分别为问题

kminf(x)?MkP(x) nx?R的最优解。试证明下列性质

（1）P(xk)单调不增。（2）f(xk)单调不减。 并利用外点罚函数法或内点罚函数法求解非线性规划

????mins.t

1(x1?1)3?x23 x1?1?0x2?0九、设A为n阶对称正定矩阵，写出A共轭向量组的定义，证明该向量组必为线性无关向量组。设n维向量组a1,a2,?,an线性无关，如果存在n维向量x，满足xTai?0，（i?1,2,?,n），证明：n维向量x?0

十、在DFP算法中要求矩阵Hk满足哪些性质？ 并证明矩阵Hk?1TT?xk?xkHk?gk??gkHk满足拟牛顿方程。 ?Hk?T?T?xk?gk?gkHK?gkT

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