图像处理与分析-王伟强-作业题及答案汇总-2016年版

【作业1】

1、完成课本习题3.2(a)(b), 课本中文版《处理》第二版的113页。可以通过matlab帮助你分析理解。 a:

s=T r =

11+

mE (r)b:E控制函数的斜坡，也就是函数的倾斜程度，E越大，函数倾斜程度越大，如下图1，图2所示：

图1：E=5

图2：E=20

1

2、一幅8灰度级图像具有如下所示的直方图，求直方图均衡后的灰度级和对应概率，并画出均衡后的直方图的示意图。（计算中采用向上取整方法，图中的8个不同灰度级对应的归一化直方图为[0.17 0.25 0.21 0.16 0.07 0.08 0.04 0.02]）

【解答】直方图均衡采用公式

??

????= ?? ???? ?? ?1

??=0

式中，G为灰度级数，取8，pr(w)为灰度级w的概率，Sr为变换后的灰度，计算过程如下表所示： 灰度级r 0 1 2 3 4 5 6 7 Ps(0) = 0

Ps(1) = Pr(0) = 0.17 Ps(2) = 0

Ps(3) = Pr(1) = 0.25 Ps(4) = 0

Ps(5) = Pr(2) = 0.21 Ps(6) = Pr(3) + Pr(4) = 0.23 Ps(7) = Pr(5) = Pr(6) = Pr(7) = 0.14 编写matlab程序并绘制直方图：

2 各级概率Pr(r) 0.17 0.25 0.21 0.16 0.07 0.08 0.04 0.02 累积概率 ???? ?? 累积概率×8－1 ??=0??0.17 0.42 0.63 0.79 0.86 0.94 0.98 1 0.36 2.36 4.04 5.32 5.88 6.52 6.84 7 向上取整sr 1 3 5 6 6 7 7 7 则新灰度级的概率分别是：

s=0:1:7;

p=[0 0.17 0 0.25 0 0.21 0.23 0.14]; bar(s,p); axis([-1 8 0 0.3]);

可以看出，此图较题目原图更加“均匀”。

【作业2】

1、完成课本数字图像处理第二版114页，习题3.10。

【解答】

由图可知

???? ?? =?2??+2, 0≤??≤1 ???? ?? =2??, 0≤??≤1

将两图做直方图均衡变换

3

??1=??1 ?? = ???? ?? ????= ?2??+2 ????=???2+2??

0

0

????

??2=??2 ?? = ???? ?? ????= 2?? ????=??2

0

0

????

令上面两式相等，则

??2=???2+2??

因为灰度级非负，所以

??= ???2+2??

2、请计算如下两个向量与矩阵的卷积计算结果。 （1）[ 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ] * [ 2 0 -2 ] ?10（2） ?20

?10【解答】

（1）设向量a=[ 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ]，下标从-4到4，即a(-4)=1，a(-3)=2??a(4)=1；设向量b=[ 2 0 -2 ]，下标从-1到1，即b(-1)=2，b(0)=0，b(1)=-2；设向量c=a*b，下标从-5到5。根据卷积公式可知

∞

4

1

1 1

2 ? 01 2

330431231200201443 5 4 2

?? ?? = ?? ?? ?? ????? = ?? ?? ?? ?????

??=?∞

??=?4

其中，?5≤??≤5，则 c(-5)=a(-4)b(-1)=1*2=2

c(-4)=a(-4)b(0)+a(-3)b(-1)=1*0+2*2=4

c(-3)=a(-4)b(1)+a(-3)b(0)+a(-2)b(-1)=1*(-2)+2*0+3*2=4 c(-2)=a(-3)b(1)+a(-2)b(0)+a(-1)b(-1)=2*(-2)+3*0+4*2=4 c(-1)=a(-2)b(1)+a(-1)b(0)+a(0)b(-1)=3*(-2)+4*0+5*2=4 c(0)=a(-1)b(1)+a(0)b(0)+a(1)b(-1)=4*(-2)+5*0+4*2=0 c(1)=a(0)b(1)+a(1)b(0)+a(2)b(-1)=5*(-2)+4*0+3*2=-4 c(2)=a(1)b(1)+a(2)b(0)+a(3)b(-1)=4*(-2)+3*0+2*2=-4 c(3)=a(2)b(1)+a(3)b(0)+a(4)b(-1)=3*(-2)+2*0+1*2=-4 c(4)=a(3)b(1)+a(4)b(0)=2*(-2)+1*0=-4 c(5)=a(4)b(1)=1*(-2)=-2

所以卷积结果为：[ 2 4 444 0 -4 -4 -4 -4 -2 ]

4

（2）设矩阵

?101??= ?202

?101

下标从(-1,-1)到(1,1)，即b(-1,-1)=-1，b(-1,0)=0??b(1,1)=1； 设矩阵

1 1 ??= 0

2 3

30431

23120

02014

43 5 4 2

下标从(-2,-2)到(2,2)，即a(-2,-2)=3，a(-2,-1)=2??a(2,2)=4； 设矩阵c=a*b=b*a，下标从(-3,-3)到(3,3)。根据卷积公式可知

∞

∞

2

2

?? ??,?? = ?? ??,?? ?? ?????,????? = ?? ??,?? ?? ?????,?????

??=?∞??=?∞

??=?2??=?2

其中，?3≤??≤3，?3≤??≤3，则 c(-3,-3)=a(-2,-2)b(-1,-1)=3*(-1)=-3 ??

c(0,0)=a(-1,-1)b(1,1)+a(-1,0)b(1,0)+a(-1,1)b(1,-1) +a(0,-1)b(0,1)+a(0,0)b(0,0)+a(0,1)b(0,-1) +a(1,-1)b(-1,1)+a(1,0)b(-1,0)+a(1,1)b(-1,-1) =3*1+4*2+0*1+2*0+1*0+3*0+1*(-1)+0*(-2)+2*(-1) =8 ??

c(3,3)=a(2,2)b(1,1)=4*1=4 所以卷积结果为：

-1 -3 -1 3 -2 0 4 -3 -6 -4 4 -4 2 11 -3 -7 -6 3 -6 4 15 -3 -11 -4 8 -10 3 17 -7 -11 2 5 -10 6 15 -8 -5 6 -4 -6 9 8 -3 -1 3 -3 -2 4 2

【作业3】

1、高斯型低通滤波器在频域中的传递函数是

H u,v =Ae? u

5

2+v2 2σ2

根据二维傅里叶性质，证明空间域的相应滤波器形式为

响较小，所以滤波后噪声点处(x,y)取值和周围其他值更接近，有利于消除“胡椒”噪声。

（b）当Q<0时，?? ??,?? ??对?? ??,?? 有削弱作用，由于“盐”噪声值较大，取倒数后较小，对加权平均结果的影响较小，所以滤波后噪声点处(x,y)取值和周围其他值更接近，有利于消除“盐”噪声。

【作业5】

1、请证明带通与带阻的频域关系公式，即课本中的关系公式

Hbp ??,?? =1?Hbr ??,??

【解答】证法一 设D0是带宽的径向中心，W是带宽，D是D(u,v)距滤波器中心的距离。 理想带通滤波器的频域公式为：

????

?????? ??,?? = 1,??0?2≤??≤??0+2 0,????????????

理想带阻滤波器的频域公式为：

????

?????? ??,?? = 0,??0?2≤??≤??0+2

1,????????????

由此可知

?????? ??,?? =1??????? ??,??

图形化表示即为：

图中黑色代表0，白色代表1，左图是带阻滤波器，右图是带通滤波器。可以发现两图是“互补”的，若将对应点数值相加，则全为1。

证法二 一张图像f (x, y)可拆分为带阻部分fr (x, y)和带通部分fp (x, y)，即

?? ??,?? =???? ??,?? +???? ??,??

也可看做由带阻滤波器和带通滤波器分别卷积后叠加所得：

?? ??,?? =?? ??,?? ??????? ??,?? +?? ??,?? ??????? ??,??

11

等式两边取傅里叶变换得

?? ??,?? =?? ??,?? ?????? ??,?? +?? ??,?? ?????? ??,?? ?? ??,?? =?? ??,?? ?????? ??,?? +?????? ??,??

?????? ??,?? +?????? ??,?? =1 ?????? ??,?? =1??????? ??,??

2、复习理解课本中最佳陷波滤波器进行图像恢复的过程，请推导出w(x,y)最优解的计算过程，即从

2?s(x,y)公式=0到 ?w(x,y)w(x,y)=h(x,y)g(x,y)-g(x,y)h(x,y)h(x,y)-h(x,y)22的推导过程。

【解答】

因为

12 ????,?? = ?? ??+??,??+?? ??? ??,?? ?? ??+??,??+??

2??+1 2??+1 ??=?????=?????

??

? ?? ??,?? ??? ??,?? ?? ??,?? 2

所以对w(x, y)求偏导数，并令其等于0

????2 ??,?? ??1

= ?? ??+??,??+?? ??? ??,?? ??????,????????,??2??+12??+1??=?????=?????

??

+?? ??,?? ?? ??,?? ??? ??+??,??+?? 2=0

令??=?? ??,?? ??? ??+??,??+?? ，??=?? ??+??,??+?? ??? ??,?? ，??= 2??+1 2??+1 ，则上式可简写成

????2 ??,?? ??1

= ???? ??,?? +?? 2

???? ??,?? ???? ??,?? ??1?? ???? ??,?? +?? 2= =0 ?????? ??,?? ??=?????=?????

??

??=?????=?????

??

已知

?? ???? ??,?? +?? 2

=2 ???? ??,?? +?? ??=0

???? ??,?? 的解为

??

?? ??,?? =?

??所以

1?? ??+??,??+?? ??? ??,??

????,??=

???? ??+??,??+?? ??? ??,?? ??=?????=?????

??

12

?? ??+??,??+?? ??? ??,?? ?? ??+??,??+?? +?? ??,?? 1

= ?? ??+??,??+?? ??? ??,?? ?? ??+??,??+?? +?? ??,?? ????=?????=???

??

????

令??=?? ??+??,??+?? ，??=?? ??+??,??+?? ，则上式等于

1??????? ??,?? ??+???? ??,?? ??? ??,?? ?? ??,??

= ????2 ??+??,??+?? ??? 2 ??,?? ??=?????=???

??

?? ??,?? ?? ?? ,?? ??? ??,?? ?? ??,?? +?? ??,?? ?? ??,?? ??? ??,?? ?? ??,??

= 22 ?? ??,?? ??? ??,??

??,?? ?? ?? ??,?? ??? ??,?? ?? ??,??

= 22 ?? ??,?? ??? ??,??

推导成立。

3、考虑在x方向均匀加速导致的图像模糊问题。如果图像在t = 0静止，并用均匀加速x0(t) = at2/2加速，对于时间T, 找出模糊函数H(u, v)，可以假设快门开关时间忽略不计。 【解答】

由定义可知

H u,v = ?????2?? ????0 ?? +????0 ?? ????

0??

将??0 ?? =

????22

，??0 ?? =0代入得

H u,v = ??

0??

?

??2????????2

2????= ?????????????????

0

??

2

上述积分难以化简，故不再推导。

4、已知一个退化系统的退化函数H(u, v)，以及噪声的均值与方差，请描述如何利用约束最小二乘方算法计算出原图像的估计。 【解答】

频域中原图像的估计由下式给出

??? ??,??

??,?? = ?? G u,v

H u,v 2+?? P u,v 2其中P(u, v)是拉普拉斯算子的傅里叶变换。

， 和??都是??的函数。 ??,?? 是??的函数，定义“残差”向量??=???????由于??则??令?? ?? =??????= ?? 2，则它是??的单调递增函数。

再调整??使 ?? 2= ?? 2±??，??是一个精确度因子。

2

已知噪声的均值为????，方差????，和H u,v 、P u,v ，

（1）设定一个??的初始值，

13

（2）计算 ?? 2，

（3）若满足 ?? 2= ?? 2±??则执行第4步，若不满足，则调整??大小，然后返回第2步。 （4）使用最新的??，计算

??? ??,??

??,?? = ?? G u,v

H u,v 2+?? P u,v 2（5）再通过傅里叶反变换即可得到估计图像。

【作业6】

1、r, g, b是RGB彩色空间沿R,G,B轴的单位向量，定义向量

????????????u=??+??+??

????????????????????????v=??+??+??

????????????将??????，??????，??????定义为这两个向量的点乘：

??????

222

????????????

=u?u=u??u= + +

????????????222????????????

??????=v?v=v??v= + +

??????????????????????????????????????

??????=u?v=uv=++

????????????????????????推导出最大变换率方向??和点(x, y)在??方向上变化率的值F(??)。 【解答】

要求最大变换率方向，即求使 ?? cos??+?? sin?? 2取最大值的??。

?? cos??+?? sin?? 2=??2cos2??+2????sin??cos??+??2sin2?? ==

将上式对??求偏导得

??11

??????+?????? + ????????????? cos2??+??????sin2?? ????22=? ????????????? sin2??+2??????cos2??

令上式等于0，解方程求出??的值

? ????????????? sin2??+2??????cos2??=0 ????????????? sin2??=2??????cos2??

14

11

?????? 1+cos2?? +??????sin2??+?????? 1?cos2?? 2211

??????+?????? + ????????????? cos2??+??????sin2?? 22tan2??=??=

2??????

?????????????

2??????1

tan?1 2?????????????

此即是最大变换率方向，对应的变化率值为

11

?? ?? = ??????+?????? + ????????????? cos2??+??????sin2??

22【作业7】

1、请根据课本中Z变换的定义，证明如下结论。

（1）若?? ?? 的Z变换为?? ?? ，则 ?1 ???? ?? 的Z变换为?? ??? 。 （2）若?? ?? 的Z变换为?? ?? ，则?? ??? 的Z变换为X(1/z)。 【解答】

（1）由Z变换定义可知，?? ?? 的Z变换是：

∞

?? ?? = ?? ?? ?????

?∞

则 ?1 ???? ?? 的Z变换为：

∞

∞

∞

?1 ???? ?? ?????= ?1 ????? ?? ?????= ?? ?? ??? ???=?? ???

?∞

?∞

∞

?∞

（2）?? ??? 的Z变换为：

?? ??? ?????

?∞

令??′=???，则上式可写成：

1′

?? ??′ ????= ?? ??′

???∞

?∞

∞

∞

???′

1=??

??

2、若G1 z =?z?2K+1G0 ?z?1 成立，请证明g1 n = ?1 n+1g0 2K?1?n 。 【解答】

已知??1 ?? 的Z变换是??1 ?? ，??0 ?? 的Z变换是??0 ?? ， 根据Z变换的时间翻转性?? ??? ??? ???1 可得

??0 ??? ???0 ???1

根据Z变换的平移性?? ????? ???????? ?? 可得

??0 ? ???2??+1 ????2??+1??0 ???1

根据Z变换的Z域翻转性 ?1 ???? ?? ??? ??? 可得

?1 2???1?????0 2???1??? ? ??? ?2??+1??0 ??? ?1

15

??0,??0 = ??1,??1 =

所以展开系数

1 21 21

×

1 2+

1 21

×

1 2=1

×

2+ ?1

× ? =1 2 25 23

??0= ??0,?? = =

2222 ??

11??1= ??1??,?? = 可以保证

23

? = 2 2 22

1

11

5 2 22 2 + = 3 =?? ??0??0+??1??1=

22 1 2 1 ? 2 2 （b）由于展开函数??0和??1双正交：

??0,?? 1 =1×0+0×1=0 ??1,?? 0 =1×1+1× ?1 =0 ??0,?? 0 =1×1+0× ?1 =1 ??1,?? 1 =1×0+1×1=1

所以展开系数

3

??0= ?? 0??,?? = 1?1 =1

23

??1= ?? 1??,?? = 01 =2

2

可以保证

113

??0??0+??1??1= +2 = =??

012

3、课本323页习题7.11

1

【解答】

令??0,0 ?? =?? ?? ，则??1,0 ?? = 2?? 2?? ，??1,1 ?? = 2?? 2???1 ，三个函数的图像如下所示

21

由上图可知，??0,0 ?? 无法用??1,0 ?? 和??1,1 ?? 的线性加权和表示出来，因此本题给定的尺度函数?? ?? 不满足多分辨率分析的第2个要求。

4、课本323页习题7.16

【解答】

（a）因为本题是单尺度变换，开始尺度j0=1，所以j只能是1，相应的k=0或1，根据书上公式（7.3.5）和（7.3.6）计算M=4的一维DWT系数。

???? 1,0 =???? 1,1 =

1111

3

????=0

3

?? ?? ??1,0 ?? =

15 2× 1× 2+4× 2?3×0+0×0 = 22 ????=0

3

?? ?? ??1,1 ?? =

13 2× 1×0+4×0?3× 2+0× 2 =? 2213 2???? 1,0 = ?? ?? ??1,0 ?? =× 1× 2?4× 2?3×0+0×0 =?

22 ??13 2???? 1,1 = ?? ?? ??1,1 ?? =× 1×0+4×0?3× 2?0× 2 =?

22?? ??=0??=0

3

所以DWT系数为

5 22

,?

3 22

,?

3 22

,?

3 22

，函数?? ?? 的展开形式为

?? ?? =

2 5??1,0 ?? ?3??1,1 ?? ?3??1,0 ?? ?3??1,1 ?? 422

（b）根据上式结果

?? 1 =

5、请围绕本周课堂讲授的内容编写至少一道习题，并给出自己的分析解答。题目形式可以是填空题、选择题、判断对错题、计算题、证明题。发挥你的创造力吧。 【题目】

计算图像??=

【解答】

根据公式T=HFHT，取变换矩阵H为

11

??2= 2 1

??

??2=

2 5× 2?3×0?3× ? 2 ?3×0 =4 43?1

的哈尔变换。 62

1 ?11 ?1

11 21

??=

??

??2????2

1113?111= 21?1621?1

19110811154= = =

?302?3?31?12?60

【作业9】

1、课本323页习题7.21

【解答】

（a）根据书上公式7.3.5和7.3.6

???? ??0,?? =???? ??,?? =

1 ??1 ?? ?? ?? ????0,?? ??

??

?? ?? ????,?? ??

??

可得当尺度J=3，j0=0，M=8，f(n)=1(n=0,1,......7)时

23

???? 0,0 =

???? 0,0 =???? 1,0 =???? 1,1 =

1 81 81 81 8 ?? ?? ??0,0 ?? =

??

12 2 1×1 ×8=2 2 ?? ?? ??0,0 ?? =

??

12 2 1×1 ×4+ 1× ?1 ×4 =0

?? ?? ??1,0 ?? =

??

12 212 2 1× 2×2+1× ? 2 ×2+1×0×4 =0 1×0×4+1× 2×2+1× ? 2 ×2 =0

12 2 2?2+0×6 =0

?? ?? ??1,1 ?? =

??

???? 2,0 =???? 2,1 =???? 2,2 =

1 81 81 8 ?? ?? ??2,0 ?? =

??

?? ?? ??2,1 ?? =

??

12 212 2 0×2+2?2+0×4 =0 0×4+2?2+0×2 =0 1

0×6+2?2 =0

?? ?? ??2,2 ?? =

??

???? 2,3 =

所以变换系数为：

1 8 ?? ?? ??2,3 ?? =

??

2 2 ???? 0,0 ,???? 0,0 ,???? 1,0 ,???? 1,1 ,???? 2,0 ,???? 2,1 ,???? 2,2 ,???? 2,3

= 2 2,0,0,0,0,0,0,0

（b）当输入变为f(n)={1,1,1,1,-1,-1,-1,-1},(n=0,1,......7)时，上面8个公式可以算得：

???? 0,0 =???? 0,0 =???? 1,0 =???? 1,1 =

1 81 81 81 8 ?? ?? ??0,0 ?? =

??

12 2 1×1 ×4+ 1× ?1 ×4 =0

?? ?? ??0,0 ?? =

??

12 2 1×1 ×4+ ?1× ?1 ×4 =2 2 ?? ?? ??1,0 ?? =

??

12 212 2 1× 2×2+1× ? 2 ×2?1×0×4 =0 1×0×4?1× 2×2?1× ? 2 ×2 =0

12 2 2?2+0×6 =0

?? ?? ??1,1 ?? =

??

???? 2,0 =???? 2,1 =???? 2,2 =

1 81 81 8 ?? ?? ??2,0 ?? =

??

?? ?? ??2,1 ?? =

??

12 212 2 0×2+2?2+0×4 =0 0×4?2+2+0×2 =0

?? ?? ??2,2 ?? =

??

24

???? 2,3 =

所以变换系数为：

1 8 ?? ?? ??2,3 ?? =

??

12 2 0×6?2+2 =0

???? 0,0 ,???? 0,0 ,???? 1,0 ,???? 1,1 ,???? 2,0 ,???? 2,1 ,???? 2,2 ,???? 2,3

= 0,2 2,0,0,0,0,0,0

（c）因为

???? 2,2 =

1 8 ?? ?? ??2,2 ?? =

??

12 2 0×4+2?? 4 + ?2 ?? 5 +0×2 =??

所以设输入序列f(n)={0,0,0,0,x,-x,0,0},(n=0,1,......7)，则

12 2 0×4+2??+ ?2 ??? +0×2 = 2??=??

2??=??

2所以输入序列

?? ?? = 0,0,0,0,

2、课本325页习题7.26

2 2??,???,0,0 22

【解答】

（a）

25

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tu2g.html