福建省龙岩市2019年高中毕业班5月教学质量检查数学（理）试题

龙岩市2019年高中毕业班教学质量检查 数学（理科）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）

全卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合M??1,2?，N??2,3?，P??x|x?a?b,a?M,b?N?，P中元素个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知复数z满足(4?3i)z?25(i是虚数单位)，则z的虚部为 A．?3

B．3

3C．?

53D．

5开始i?2,S?0i?i?2x2y23．若双曲线2?2?1(a,b?0)的渐近线方程为y??2x，则其离心率为

ab55A．5 B． C．2 D． 254．已知向量a?(1,1),b?(2,x),若a?b与a?b平行，则实数x的值是

A．－2

5．如图给出的是计算

B．0

C．2

D．1

S?S?1i是否输出S结束（第5题图） 其中判断框内应填入的是

A．i?2014? B．i?2016? C．i?2018? D．i?2020?

6．某班有34位同学，座位号记为01,02,…34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是

111???246?11?的值的程序框图， 2014201649 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 A．23 B．09 C．02 D．16

7．等比数列?an?的各项均为正数，且a2?a9?9，则log3a1?log3a2??log3a10＝ A．12 B．10 C．8 D．2＋log35 8．已知l,m是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，下列命题为真命题的序号是

①若l??,m??,l//?,m//?，则?//?；

·1·

②若l??,l//?,???m，则l//m； ③若l//?,?//?,则l//?；

④若l??,l//m,?//?，则m??． A．①④ B．①③

C．②④

222D．②③

9．在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a?b?c?ab?0．若?ABC的面积为则ab的最小值为 A．24

B．12

C．6

D．4

3c，210．若对任意的正实数t，函数f(x)?(x?t)3?(x?lnt)3?3ax在R上都是增函数，则实数a的取

值范围是 A．(??,]

12B． (??,2] 2C． (??,2]

D． (??,2]

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上.

x18)展开式中的常数项为 ．

23x2212．已知圆C:x?y?6y?8?0，若直线y?kx与圆C相切，且切点在第二象限，则实数

k? ．

?y?2x,?13．若不等式组?y?0,表示的平面区域为M，不等式y?x表示的平面区域为N．现随机

?3x?y?6?0.?向区域M内撒下一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为 ．

?14．已知函数f(x)?2sin(2x?)，有下列四个结论：

43??,]上是增函数： ①函数f(x)在区间[?883?,0)是函数f(x)图象的一个对称中心； ②点(8?③函数f(x)的图象可以由函数y?2sin2x的图象向左平移得到；

4?④若x?[0,]，则函数f(x)的值域为[0,2].

211．二项式(?则所有正确结论的序号是 ．

12nn?1?2?Cn2??n?Cn2?n(1?2)n?1，可以采用以下方法： 15．计算Cn01222?Cn2x?Cn2x?构造恒等式Cn1222?2?Cn2x?两边对x求导，得Cnnnn?Cn2x?(1?2x)n，

nnn?1?n?Cn2x?2n(1?2x)n?1，

12?2?Cn2?在上式中令x?1，得Cnnn?1?n?Cn2?n(1?2)n?1?n?3n?1，

12233nn2?22Cn2?32Cn2??n2Cn2? ． 类比上述计算方法，计算Cn三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或

演算步骤．

·2·

16．（本小题满分13分）

甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为

4，乙、丙应聘成功的概率均为9t(0?t?3)，且三人是否应聘成功是相互独立的． 316（Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是，求t的值；

81（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设?表示甲、乙两人中被聘用的人数，求?的数学期望．

17．（本小题满分13分）

(sinx?cosx)2?1已知函数f(x)?，方程f(x)?3在(0,??)上的解按从小到大的顺序排成22cosx?sinx数列?an?(n?N*)．

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?3an，数列?bn?的前n项和为Sn，求Sn的表达式． 2(4n?1)(3n?2) 18．（本小题满分13分）

如图1，直角梯形ABCD中，AB//CD,?ABC?90?,CD?2AB?4，BC?2．AE//BC 交CD于点E，点G,H分别在线段DA,DE上，且GH//AE. 将图1中的?AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2所示），连结BD、CD，AC、BE.

（Ⅰ）求证：平面DAC?平面DEB；

（Ⅱ）当三棱锥B?GHE的体积最大时，求直线BG与平面BCD所成角的正弦值．

D

H E D C

H

E G C G

A B A B 19．（本小题满分13分） 图1 图2

18题图） 的长为4． MN已知动圆Q过定点A(2,0)且与y（第轴截得的弦

（Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹C的方程；

（Ⅱ）已知点P(?2,1)，动直线l和坐标轴不垂直，且与轨迹C相交于A,B两点，试问：在x轴上是否存在一定点G，使直线l过点G，且使得直线PA,PG，PB的斜率依次成等差数列？若存

在，请求出定点G的坐标；否则，请说明理由． 20．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?e(sinx?cosx)?a，g(x)?(a?a?10)e（a?R且a为常数）． （Ⅰ）若曲线y?f(x)在(0,f(0))处的切线过点(1,2)，求实数a的值；

?x2x（Ⅱ）若存在实数x1，x2?[0,?]，使得g(x2)?f(x1)?13?e2成立，求实数a的取值范围；

·3·

b(1?e2)g(x)1（Ⅲ）判断函数?(x)?2??1?lnx(b?1)在(0,??)上的零点个数，并说明

(a?a?10)e2xx理由． 21．（本小题满分14分）

本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90?的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：

??x'?2xy'?3y对应的矩阵为N． ?（Ⅰ）写出矩阵M、N；

（Ⅱ）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y?x的直线，求直线l的方程．（2）已知曲线C的方程为x24?y25?1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐 系，直线l的极坐标方程为?cos(???4)?22．

（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知M是曲线C上任意一点，求点M到直线l距离的最小值． （3）已知函数f(x)?|x?2|?3．

（Ⅰ）若f(x)?0，求x的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求g(x)?3x?4?4|x?6|的最大值．

·4·

标

龙岩市2019年高中毕业班教学质量检查

数学（理科）参考答案及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生

的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定

后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．

1-5 BAACB 6-10 DBCDA

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．

11．7 12．?22 13．

3 14．①② 15．2n(2n?1)3n?2 4三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分13分）

4tt16???, …………………………………………3分 93381 所以t?2. ……………………………………………………6分

2（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为, …………………………7分

3?的可能取值为0,1,2 ………………………………………8分

解：（Ⅰ）依题意

428??， 9327415214P(??1)?????，

939327515P(??0)???， ……………………………………………………12分

932781453010?1??0???. ……………………………13分 所以E??2?272727279P(??2)?

17.（本小题满分13分）

(sinx?cosx)2?12sinxcosxsin2x???tan2x, …………2分 解：（Ⅰ）f(x)?22cosx?sinxcos2xcos2x?k???(k?Z) ………4分 由f(x)?3及x?0得2x?k??,∴x?326·5·

方程f(x)?3在(0,??)的解从小到大依次排列构成首项为公差为

?， 6???(3n?2)?的等差数列∴an??(n?1)?. ………………6分

62623(3n?2)????（Ⅱ）bn? …………………8分 2(4n?1)(3n?2)62(2n?1)(2n?1)111?(?)?， ……………………………………………10分 42n?12n?1??11111??1n?. Sn??(1?)?(?)??(?)??(1?)?4?3352n?12n?1?42n?14n?2………………………13分

18.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）∵AB//CD，?ABC?90?，CD?2AB?4

又AE//BC交CD于点E.

∴四边形ABCE是边长为2的正方形 ………………………1分 ∴AC?BE，DE?AE. 又∵平面ADE?平面ABCE

平面ABCE?AE

∴DE?平面ABCE ………………………3分 ∵AC?平面ABCE，∴AC?DE ……………………4分 又DE?BE?E

∴AC?平面DBE ………………………5分 ∵AC?平面DAC

∴平面DAC?平面DEB ………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知DE?平面ABCE，AE?EC

以E为原点，EA,EC,ED的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标

系. ………………………7分

则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,2)

设EH?x，则GH?DH?2?x（0?x?2）

∵AB//CE，∴AB?面DAE …………………8分

平面ADE111S?GHE?AB?[x(2?x)]?2 33211?(?x2?2x)?[?(x?1)2?1] ………………………9分 33∵0?x?2，∴x?1时，三棱锥B?GHE体积最大，此时，H为ED中点.

∴VB?GHE?∵GH//AE，∴G也是AD的中点，∴G(1,0,1)，BG?(?1,?2,1).…10分 设n?(x,y,z)是面BCD的法向量.

??n?BC?(x,y,z)?(?2,0,0)??2x?0则? ??n?DC?(x,y,z)?(0,2,?2)?2y?2z?0令y?1，得n?(0,1,1) ………………………11分

·6·

设BG与面BCD所成角为? 则sin??|BG?n||0?2?1|3 ??6|BG||n|623. ………………………13分 6(x?2)2?y2， …………2分

∴BG与平面BCD所成角的正弦值为19.（本小题满分13分）

22解：（Ⅰ）设Q(x,y)，根据题意得|x|?2?整理得y2?4x，所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是y2?4x. ………4分

（Ⅱ）设存在符合题意的定点G.

设直线的方程为x?ny?m(n?0且n?R)，则G(m,0). …………5分

将x?m?ny代入y2?4x，整理得y2?4ny?4m?0. 由题意得??16n?16m?0，即n?m?0.

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1?y2?4n，y1?y2??4m，

22y1?1y?14(y1?1)4(y2?1)?1?，， k?PBx1?2y12y12?8y22?8?2411kPG???，

?2?mm?2由题意得kPA?kPB?2kPG，即kPA?kPB?2kPG?0,

2(y1?1)2(y2?1)1所以???0， ……………………7分

y12?8y22?8m?2kPA?即2(m?2)y1y2(y1?y2)?16(m?2)(y1?y2)?2[(y1?y2)2?2y1y2](2?m)?(y1y2)2?32m?0

……………9分

把y1?y2?4n，y1?y2??4m代入上式，

整理得(m?2)n?(m?2)(2?m)， ………11分

?(m?2)(2?m)?0，解得m?2

?m?2?0所以存在符合题意的定点G，且点G的坐标为(2,0). …………………13分

又因为n?R，所以?20.（本小题满分14分）

xx解：（Ⅰ）f?(x)?e(sinx?cosx)?e(cosx?sinx)=2ecosx，

x又曲线y?f(x)在(0,f(0))处的切线过点(1,2),得f?(0)?f(0)?2， …3分

0?1即2?1?a，解得a??1 …………………………………………4分

?（Ⅱ）存在实数x1，x2?[0,?]，使得g(x2)?f(x1)?13?e2成立，

?即g(x)min?f(x)max?13?e2 ………………………………5分 由（Ⅰ）知f?(x)?2ecosx?0在x?[0,?]上的解为x?

x?2

，

·7·

（0,函数f(x)在

?) 上递增，在(,?）上递减

22??f(x)max?f()?e2?a …………………………………7分 22又a?a?10?0恒成立，g(x)?(a2?a?10)ex在[0,?]上递增，

?g(x)min?g(0)?a2?a?10， ……………………………8分

?22?2故a?a?10?e?a?13?e2，得a?2a?3?0，

所以实数a的取值范围是(?1,3) ………………………………9分

b(1?e2)g(x)1（Ⅲ）由?(x)?2??1?lnx?0 (x?0)得 2(a?a?10)xexb(1?e2)ex1b(1?e2)ex??1?lnx?0，化为?1?x?xlnx， ……10分

xe2xe2令h(x)?1?x?xlnx，则h?(x)??2?lnx

?2由h?(x)??2?lnx?0，得x?e，

11故h(x)在(0,2)上递增，在(2,??)上递减，

ee11h(x)max?h(2)?1?2. …………………………………………12分

eeb(1?e2)ex1x?b(1?)e， 再令t(x)?e2e21x因为b?1，所以函数t(x)?b(1?2)e在(0,??)上递增，

e111t(x)?t(0)?b(1?2)e0?b(1?2)?1?2. …………………………13分

eee知t(x)?h(x)max，由此判断函数?(x)在(0,??)上没有零点，

故?(x)零点个数为0. ………………14分

21.（本小题满分14分） 解：（1）（Ⅰ）M???0?1??， ……………………………2分

?10??20?N???. ……………………………3分

03???0?2?（Ⅱ）NM???, ……………………………………4分

?30??0?2??x??x'???2y?x'由?, ……………………………5分 ??????得?30yy'3x?y'???????由题意得y'?x'得3x??2y，所以直线l的方程为3x?2y?0. ……7分

?（2）（Ⅰ）由?cos(??)?22得x?y?4?0， ………………2分

4·8·

?直线l的直角坐标方程为x?y?4?0. ………………………3分

（Ⅱ）设M(2cos?,5sin?)，M到l的距离为d,

|2cos??5sin??4||2cos??5sin??4|4?3cos(???) ??22225其中cos??,sin??, ………………………5分

332当cos(???)?1时，d有最小值, 22. ……………7分 ?M到直线l的距离的最小值为2（3）（Ⅰ）由f(x)?0?x?2?3??3?x?2?3??1?x?5， ………2分

所以x的取值范围是(?1,5). ……………………………3分

则d?（Ⅱ）由（Ⅰ）知g(x)?3x?4?46?x,

[:]由柯西不等式(32?42)[(x?4)2?(6?x)2]?(3x?4?46?x)2

………………5分 所以g(x)?250?510. 当且仅当

欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org 2x?46?x即x??时，g(x)取最大值510. ……7分 ?534·9·

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