第3章 动量与角动量

第三章 动量与角动量Momentum and Angular Momentum

E

本章主要内容§3-1冲量与动量定理§3-2动量守恒定律 §3-3火箭飞行原理

§3-4质心§3-5质心运动定理 §3-6质点的角动量和角动量定理 §3-7角动量守恒定律 §3-8质点系的角动量定理

§3-9质心参考系的角动量

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第三章

动量与角动量

动量和角动量不仅是经典力学，也是物理学中十 分重要的物理量，因为与它们相联系的守恒定律是自 然界普遍遵循的基本规律。 经典力学 牛顿运动定律 动量守恒定律 角动量守恒定律 牛顿运动定律

量子力学 相对论力学

E第三章 动量与角动量

§3-1冲量与动量定理

Impulse and Theorem of Momentum

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瞬时式

p mv —— 动量 dp —— 力的作用可以使动量变化。 F dt —— 力对时间的积累等于动量增量。 Fdt dp冲量(对dt)

力 F 对时间间隔 0 t 的冲量为

I

t

Fdt

0

动量定理

t

0

p I dt F dtd 0p0 F p pp p

0

t

p0

或 Fdt dpE

§1-3 冲量与动量定理

说明：

冲量是矢量，是过程量。 关于冲力

(状态量)

物体受到冲击，动量会明显改变。冲击过 程持续一般时间很短，因此冲击中物体受力— —冲力具有作用时间短、量值大的特点，通常 是变力。 Fx(t) 平均冲力：

1 t t Fx Fx (t )dt t t

Fx

t

冲量可表为

I x Fx t§3-1 冲量与动量定理

tE

质点系——多个质点组成的系统。(质点的集合)质点系的总动量——每个质点动量的矢量和。即

p

i 1

N

pi

i 1

N

mi vi

设第 i 个质点受外力为 Fi ,受质点系其他质点的合力， 即内力为 f i , j f i ,1 f i , 2 f i ,i 1 f i ,i 1 f i , N

j i

对第 i 个质点应用动量定理： 相加

t

i

t

0

Fi dt

i 0 j i

F f i , j dt i 0 j i f i , j dt pi

t

pi pi 0

i

i

pi 0

E

§3-2 质点系的动量定理

t 0 i

Fi dt

t 0 i j i

f i , j dt

i

pi

i

pi 0 p p0

i j i

f i, j 0

对任选的一对质点

i I, j II f I, II f II, I 0

质点系的动量定理：(积分形式)

t

0

Fi dt p p0i

微分形式：

(

i

Fi )dt dp

或

i

dp Fi dt

定理表述：合外力的冲量等于质点系总动量的增量。E§3-2 质点系的动量定理

[例1] 一辆运煤车以的速率 v 从煤斗下面通过，煤从煤斗中以恒定的 速率 b = dm/d

t 装煤漏入车厢，如图所示。设煤车与地面的摩擦系数为 ,

t 时刻车箱和所载煤的质量为M如果保持车的速率不变，应以多大的牵引力拉车厢？ 解：以M和dt时间里落到车厢 的煤粒dm为质点系。

v

N

b dm

F

水平方向运用动量定理：

N

(F μN)dt dpx (M dm)v Mv铅直方向:

(M dm) g

[ N ( M dm) g ]dt dp y 0 dm 2 gh

E

略去二阶无穷小量：

(F μN)dt vdm( N Mg )dt dm 2 gh

解得

F Mg b 2 gh bv

v

N解的意义：

b dm

F

N

F Mg b 2 gh bv克服车厢和其 中的煤的重量 引起的摩擦力 克服落下煤粒 对车厢冲力 引起的摩擦力 将下落煤获 得水平动量 所需牵引力

(M dm) g

E

[例3] 一柔软绳长 l ,线密度 ,一端着地开始自由下 落，下落的任意时刻，给地面的压力为多少？y

解：在竖直向上方向建坐标，并 做受力分析(如图)。y l 设压力为 N ,应用质点系动量定理

glN

O

dp N gl dt dp d ( yv ) p yv dt dt d ( yv ) N gl dtE

y

d ( yv ) N gl dtdy v 0 dt

y O

l

d ( yv) dy dv 2 v y v yg 2(l y) g yg dt dt dtdy v dt dv g dt

2 g (l y) v

2

代入 N 的表达式，得

N 3 g (l y)

E

§3-2 动量守恒定律Law of Conservation of Momentum

E

dp Fi 考虑质点系的动量定理： dt i Fi 0 如果质点系所受和外力为零

i

N N dp 则有 0 , p pi mi vi 常矢量 i 1 i 1 dt

守恒

动量守恒定律：当一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量保持不变。 说明： 守恒条件：合外力为零。与内力无关。 冲击碰撞过程中，一般有

f ,动量近似守恒。 FE

内力改变各质点的动量，但总动量不变。§3-3 动量守恒定律

动量守恒定律的分量形式：

若 若 若

F F F

x

0, p x 0, p y 0, p z

y z

m v m v m vi i i

i ix i iy

常量 常量 常量

i iz

动量守恒可以在单一方向上守恒。 动量守恒定律在惯性系中成立。 动量守恒定律是自然界的普遍规律，它不依赖于牛顿 定律而成立。

微观粒子的实验(如电子转化为光子)§3-3 动量守恒定律

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§3-3 火箭飞行原理

The Principle of Fly of a Rocket

E

火箭在无大气层的太空中飞行，是靠向后喷射燃料获得反 冲动力。由于无外力作用，动量守恒。 设M为火箭在 t 时刻的总质量，dt 时间喷出dm质量的燃料， 相对火箭以u的速度喷射。

v M dm

v+dv M dm t+dt 时刻 x

t 时刻由动量守恒定

律t 时刻 总动量

Mv (M dm)(v dv) dm(v u) Mv Mdv udm dmdvt+dt 时刻 总动量E

Mdv udm 0

dm dM

Mdv udM 0

§3-4 火箭飞行原理

dM Mdv udM 0 dv u M v1 M1 dM u 3 103 m/s dv u 积分 v0 M0 M M 0 M 3 103 m/s u 1 15

M0 v1 v0 u ln M1

3 v1 vdm dt 1.4 104 kg/s 0 8 10 m/s

F 4 107 N

dm 火箭受燃料的反冲力为 F u dt dt结论： 火箭在燃烧后所增加的速度正比于相对喷射速度u 和火箭的始末质量比(M0/M1)的自然对数。 火箭通过喷射燃料获得的推力正比u于和dm/dt。第一宇宙速度 (7.9km/s) 多级火箭§3-4 火箭飞行原理

dp燃

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例题 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车和炮弹的质 量分别为M和m,炮弹的出口速度为v,求炮车的反冲速度V。 v 炮车与地面间的摩擦力不计。 Mm

解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上 的外力有重力 G 和地面支持力 N ,而且 G N , 在发射过程中G N 并不成立(想一想为什么？), 系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守 E 恒。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ttjm.html