五年高考三年联考数学分章练习：圆锥曲线

第九章 解析几何 第二节 圆锥曲线

第二节 圆锥曲线

第一部分 五年高考荟萃 2009年高考题

2009年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线

一、选择题

x2y22

1.（2009全国卷Ⅰ理）设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x+1相切，

ab则该双曲线的离心率等于( ) A.3 B.2 C.5 D.6

【解析】设切点P(x0,y0)，则切线的斜率为y由题意有

'|x?x0?2x0.

y0?2x0又y0?x02?1 x02解得: x0?1,?【答案】C

bb?2,e?1?()2?5.aax2?y2?1的右焦点为F,右准线为l，点A?l，线段2.（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆C:2?????????????AF交C于点B，若FA?3FB,则|AF|=( )

A. 2 B. 2 C.3 D. 3

????????【解析】过点B作BM?l于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA?3FB,

故|BM|?2222??.又由椭圆的第二定义,得|BF|??|AF|?2.故选A

3233【答案】A

x2y23.（2009浙江理）过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右顶点A作斜率为?1的直线，该直

ab85

????????1B?BC，线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C．若A则双曲线的离心率是 ( )

2A．2 B．3 C．5 D．10 【解析】对于A?a,0?，则直线方程为x?y?a?0，直线与两渐近线的交点为B，C，

?a2ab?a2abB?,,?)则有 ?,C(a?ba?b?a?ba?b???????ab????????2a2b2a2b???ab?22BC?(22,?22),AB???,?，因2AB?BC,?4a?b,?e?5．

a?ba?b?a?ba?b?【答案】C

x2y24.（2009浙江文）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭

ab????????圆上，且BF?x轴，直线AB交y轴于点P．若AP?2PB，则椭圆的离心率是（ ）

1132 B． C． D．

3222????????1【解析】对于椭圆，因为AP?2PB，则OA?2OF,?a?2c,?e?

2A．【答案】D

25.（2009北京理）点P在直线l:y?x?1上，若存在过P的直线交抛物线y?x于A,B两

点，且|PA?|AB|，则称点P为“（ ）

A．直线l上的所有点都是“ B．直线l上仅有有限个点是“ C．直线l上的所有点都不是“

点” 点” 点”

点”，那么下列结论中正确的是

D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“

点”

【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.

本题采作数形结合法易于求解，如图， 设A?m,n?,P?x,x?1?， 则B?2m?x,2n?x?2?，

85

∵A,B在y?x2上，

?n?m2∴? 2?2n?x?1?(2m?x)

消去n,整理得关于x的方程x2?(4m?1)x?2m2?1?0 （1） ∵??(4m?1)2?4(2m2?1)?8m2?8m?5?0恒成立， ∴方程（1）恒有实数解，∴应选A. 【答案】A

x2y226.(2009山东卷理)设双曲线2?2?1的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，

ab则双曲线的离心率为( ).

A.

55 B. 5 C. D.5 42b?bx2y2?y?x【解析】双曲线2?2?1的一条渐近线为y?x,由方程组?a,消去y,得

aab2??y?x?1x2?bbx?1?0有唯一解,所以△=()2?4?0, aabca2?b2b所以?2,e???1?()2?5,故选D.

aaaa【答案】D

【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.

7.(2009山东卷文)设斜率为2的直线l过抛物线y?ax(a?0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).

2A.y??4x B.y??8x C. y?4x D. y?8x

2【解析】 抛物线y?ax(a?0)的焦点F坐标为(,0),则直线l的方程为y?2(x?),

2222a4a4它与y轴的交点为A(0,?),所以△OAF的面积为方程为y??8x,故选B.

a21aa||?||?4,解得a??8.所以抛物线2422【答案】B

85

【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.

x2y2??1的渐近线与圆(x?3)2?y2?r2(r?0)相切，8.（2009全国卷Ⅱ文）双曲线63则r= ( )

A.3 B.2 C.3 D.6

【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r，可求r=3. 【答案】A

9.（2009全国卷Ⅱ文）已知直线y?k(x?2)(k?0)与抛物线C:y2?8x相交A、B两点，F为C的焦点。若FA?2FB,则k= ( )

Ａ.

12222 Ｂ. Ｃ. Ｄ. 3333【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由

FA?2FB及第二定义知xA?2?2(xB?2)联立方程用根与系数关系可求k=

【答案】D

1０.（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为6的是222. 32222x2y2x2y2Ａ.??1 Ｂ.??1 Ｃ.x?y?1 Ｄ.x?y?1244246410b23b216c23【解析】由e?得2?,1?2?,2?，选B.

a2a2a22【答案】Ｂ

x2y211.（2009福建卷文）若双曲线2?2?1?a?o?的离心率为2，则a等于( )

a3A. 2 B.

3

C.

3 D. 1 2x2y2ca2?3【解析】 由2?解得a=1或a=3，?1可知虚轴b=3，而离心率e=??2，

a3aa85

参照选项知而应选D. 【答案】D

12.（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的 是(. ( )

A. B. C. D.

cx2y2c6【解析】依据双曲线2?2?1的离心率e?可判断得.e??.选B。

aaba2【答案】B

x2y213.（2009江西卷文）设F，F2，1和F2为双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点, 若F1abP(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A．

35 B．2 C． D．3 22【解析】由tan【答案】B

?6?cc3有3c2?4b2?4(c2?a2),则e??2,故选B. ?a2b3x2y214.（2009江西卷理）过椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点

abP，F2为右焦点，若?F1PF2?60?，则椭圆的离心率为

A．

1123 B． C． D．

2323b23b2c3??2a,【解析】因为P(?c,?)，再由?F有从而可得，故选B e??PF?6012aaa3【答案】B

x2y215.（2009天津卷文）设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的虚轴长为2，焦距为23，则

ab双曲线的渐近线方程为（ ）

A.y??2x B .y??2x C .y??【解析】由已知得到b?1,c?3,a?近线方程为y??12x D.y??x

22c2?b2?2，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐

b2x??xa2

85

【答案】C

【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。

x2y2x2y2??1的准线过椭圆?2?1的焦点，则直线16.(2009湖北卷理)已知双曲线

224by?kx?2与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )

A. K???,? B. K????,??222?11?????1??1?,???? ???2????22?2??2C. K???,? D. K?????,?2???2,???? 22??????a22【解析】易得准线方程是x??????1

b2x2y2所以c?a?b?4?b?1 即b?3所以方程是??1

4322222联立y?kx?2 可得 3x2+(4k2+16k)x?4?0由??0可解得A. 【答案】A

x2y2??1(b?0)的左、右焦点分别是F1、F2，17.（2009四川卷文、理）已知双曲线

2b2其一条渐近线方程为y?x，点P(3,y0)在双曲线上.则PF12PF2＝( ) A. －12 B. －2 C. 0 D. 4

22【解析】由渐近线方程为y?x知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x?y?2，于

是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且P(3,1)或P(3,?1).不妨去P(3,1)，则

PF1?(?2?3,?1)，PF2?(2?3,?1).

∴PF)(2?3,?1)??(2?3)(2?3)?1?0 12PF2＝(?2?3,?1【答案】C

18.（2009全国卷Ⅱ理）已知直线y?k?x?2??k?0?与抛物线C:y?8x相交于A、B两

2点，F为C的焦点，若|FA|?2|FB|，则k?( )

A.

12 B. 33C.

222 D. 3385

【解析】设抛物线C:y2?8x的准线为l:x??2直线

y?k?x?2??k?0?恒过定点P??2,0? .如图过A、B

分 别作AM?l于M,BN?l于N, 由|FA|?2|FB|, 则|AM|?2|BN|,点B为AP的中点.连结OB,则|OB|?1|AF|, 2|OB|?|BF| 点B的横坐标为1, 故点B的坐标为 ?(1,22)?k?【答案】D

22?022, 故选D. ?1?(?2)3x2y219.（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线C：2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F,过F且斜率

ab为3的直线交C于A、B两点，若AF?4FB,则C的离心率为 ( ) A．

6759 B. C. D. 5585x2y2【解析】设双曲线C：2?2?1的右准线为l,过A、B分 别作AM?l于M,BN?l于

abN, BD?AM于D,由直线AB的斜率为

3,知直线AB的倾斜角

60???BAD?60?,|AD|?由双曲线的第二定义有

1|AB|, 2??????????1???11???|AM|?|BN|?|AD|?(|AF|?|FB|)?|AB|?(|AF|?|FB|).

e22????5????16又?AF?4FB??3|FB|?|FB|?e? .

e25【答案】A

20.（2009湖南卷文）抛物线y??8x的焦点坐标是（ ）

2A．（2，0） B．（- 2，0） C．（4，0） D．（- 4，0） 【解析】由y??8x,易知焦点坐标是(? 【答案】B

2p,0)?(?2,0)，故选B. 2x2y221.（2009宁夏海南卷理）双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为( )

41285

A.23 B.2 C.3 D.1

x2y2【解析】双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线y?3x的距离为d?412【答案】A

3?4?02?23, 22.（2009陕西卷文）“m?n?0”是“方程mx2?ny2?1”表示焦点在y轴上的椭圆”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

22x2y2??1, 根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必【解析】将方程mx?ny?1转化为 11mn须满足

1111?0,?0,所以?.

nmmn【答案】C

x2y221相23.（2009全国卷Ⅰ文）设双曲线2－2＝1?a＞0，b＞0?的渐近线与抛物线y＝x＋ab切，则该双曲线的离心率等于（ ）

A.3 B.2 C.5 D.6 bxx2y2【解析】由题双曲线2－2＝1?a＞0，b＞0?的一条渐近线方程为y?，代入抛物线

aab方程整理得ax?bx?a?0，因渐近线与抛物线相切，所以b?4a?0，即

222c2?5a2?e?5，故选择C.

【答案】C

x2y2x2y2??1的准线经过椭圆?2?1（b＞0）的焦点，则24.（2009湖北卷文）已知双曲线224bb=( )

A.3 B.5 C.3 D.2

a2?? 1,又因为椭圆焦点为(?4?b2,0)所以有【解析】可得双曲线的准线为x??c4?b2?1.即b2=3故b=3.故C.

【答案】C

85

27.（2009天津卷理）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，BF=2，则?BCF与?ACF的面积之比

S?BCF=( ) S?ACFA.4241 B. C. D. 53726C42F: (0.51, 0.00)AF-5510x=-0.5-2B -4【解析】由题知-6S?BCFS?ACF1BC2?2xB?1， ??12xA?1ACxA?2xB?又|BF|?xB?13?2?xB??yB??3 220?2xAyM?yAyM?yB0?3由A、B、M三点共线有即，故xA?2， ??3xM?xAxM?xB3?xA3?2∴

S?BCF2xB?13?14???，故选择A。

S?ACF2xA?14?15【答案】A

28.（2009四川卷理）已知直线l1:4x?3y?6?0和直线l2:x??1，抛物线y?4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ） A.2 B.3 C.

21137 D.516【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。 【解析1】直线l2:x??1为抛物线y?4x的准线，由抛物

285

线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线最小值为F(1,0)到直y2?4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，线l1:4x?3y?6?0的距离，即dmin?|4?0?6|?2，故选择A。

5【解析2】如图，由题意可知d?【答案】A 二、填空题

|3?1?0?6|3?422?2

29.（2009宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________. 【解析】抛物线的方程为y2?4x，

2??y1?4x1A?x1,y1?,B?x2,y2?,则有x1?x2，?2??y2?4x2y?y242两式相减得，y12?y2?4?x1?x2?，?1??1

x1?x2y1?y2?直线l的方程为y-2=x-2,即y=x【答案】y=x

x2y230.（2009重庆卷文、理）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为

abF1(?c,0),F2(c,0)，若椭圆上存在一点P使

取值范围为 ．

【解析1】因为在?PF1F2中，由正弦定理得

ac，则该椭圆的离心率的?sinPF1F2sinPF2F1PF2PF1 ?sinPF1F2sinPF2F1则由已知，得

ac?，即aPF1?cPF2 PFPF1211设点(x0,y0)由焦点半径公式，得PF1?a?ex0,PF2?a?ex0则a(a?ex0)?c(a?ex0) 记得x0?a(c?a)a(e?1)a(e?1)???a，整理得 由椭圆的几何性质知x0??a则e(c?a)e(e?1)e(e?1)故椭圆的离心率e?(2?1,1) e2?2e?1?0,解得e??2?1或e?2?1，又e?(0,1)，

85

【解析2】 由解析1知PF1?cPF2由椭圆的定义知 ac2a2PF1?PF2?2a则PF2?PF2?2a即PF2?，由椭圆的几何性质知

ac?a2a2PF2?a?c,则?a?c,既c2?2c?a2?0,所以e2?2e?1?0,以下同解析1.

c?a【答案】

?2?1,1

?x2y2??1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|?4，则31.（2009北京文、理）椭圆92|PF2|? ；?F1PF2的大小为 .

【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属

于基础知识、基本运算的考查. ∵a2?9,b2?3，

∴c?a2?b2?9?2?7， ∴F1F2?27，

又PF1?4,PF1?PF2?2a?6，∴PF2?2，

又由余弦定理，得cos?F1PF2?22?42?272?2?4???21??，

2?∴?F，故应填2,120. PF?1201232.（2009广东卷理）巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为 ．

3，2x2y23??1. 【解析】e?，2a?12，a?6，b?3，则所求椭圆方程为

3692x2y2??1 【答案】

36933.（2009四川卷文）抛物线y?4x的焦点到准线的距离是 . 【解析】焦点F（1，0），准线方程x??1，∴焦点到准线的距离是2.

85

2

【答案】2

x2y234.（2009湖南卷文）过双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的一个焦点作圆x2?y2?a2的

ab两条切线，切点分别为A，B，若?AOB?120（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为 .

【解析】??AOB?120??AOF?60??AFO?30?c?2a, ?e?【答案】2

35.（2009福建卷理）过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于

?????c?2.a

A、B两点，若线段AB的长为8，则p?________________ 【解析】由题意可知过焦点的直线方程为y?x?p，联立有2?y2?2pxp2p2?222?8?p?2。 ?0，又AB?(1?1)(3p)?4??p?x?3px?44?y?x??2【答案】 2

x2y2??1的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的36.（2009辽宁卷理）以知F是双曲线

412动点，则PF?PA的最小值为 。 【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5

两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立. 【答案】9

37.（2009宁夏海南卷文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P?2,2?为AB的中点，则抛物线C的方程为 。 【解析】设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y， 得：x2－kx＝0，x1?x2＝k＝232，故y?4x. 【答案】y?4x

38.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一

2285

个内角为60

，则双曲线C的离心率为 .

【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是b,c(b是虚半轴长，c是焦半距)，且一个内角是30，即得所以a??ob?tan30?，所以c?3b，c2b，离心率e?6 2c36??a2. 2【答案】

x2y239.（2009年上海卷理）已知F1、F2是椭圆C:2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点，Pab为椭圆C上一点，且PF1F2的面积为9，则b=____________. 1?PF2.若?PF?|PF1|?|PF2|?2a?【解析】依题意，有?|PF1|?|PF2|?18，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，

?222?|PF1|?|PF2|?4c故有b＝3。 【答案】3

三、解答题

40.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）

已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为

3,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G222上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:x?y?2kx?4y?21?0(k?R)的圆心为点

Ak.

(1)求椭圆G的方程 (2)求?AkF1F2的面积

(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.

x2y2解（1）设椭圆G的方程为：2?2?1 （a?b?0）半焦距为c;

ab85

?2a?12??a?6?222?b?a?c?36?27?9 则?c , 解得 , ?3??c?33??2?ax2y2??1. 所求椭圆G的方程为：

369(2 )点AK的坐标为??K,2? SVAKF1F2?11?F1F2?2??63?2?63 2222（3）若k?0，由6?0?12??0?21?15?12??0可知点（6，0）在圆Ck外，

22 若k?0，由(?6)?0?12??0?21?15?12??0可知点（-6，0）在圆Ck外；

?不论K为何值圆Ck都不能包围椭圆G. 41.（2009浙江理）（本题满分15分）

y2x2已知椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦

ab长为1．

（I）求椭圆C1的方程；

（II）设点P在抛物线C2：y?x2?h(h?R)上，C2在点P处的切线与C1交于点

M,N．当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．

?b?12a?2?y?解（I）由题意得?b2,??,所求的椭圆方程为?x2?1，

4?2??1?b?1?a2（II）不妨设M(xt,?t1,y1),N(x2,y2),P(则抛物线C2在点P处的切线斜率为h),y?x?t?2t，直线MN的方程为y?2tx?t2?h，将上式代入椭圆C1的方程中，得

2?h)2?4?，因为直线04x2?(2tx?t2?h)2?4?0，即4?1?t2?x2?4t(t2?h)x?(t422MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有?1?16???t?2(h?2)t?h?4???0，

x1?x2t(t2?h)设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3?， ?222(1?t)设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4?2t?12，由题意得x3?x4，即有t?(1?h)t?1?0，2其中的?2?(1?h)?4?0,?h?1或h??3；

85

422当h??3时有h?2?0,4?h2?0，因此不等式?1?16???t?2(h?2)t?h?4???0不

成立；因此h?1，当h?1时代入方程t2?(1?h)t?1?0得t??1，将h?1,t??1代入不

422等式?1?16???t?2(h?2)t?h?4???0成立，因此h的最小值为1．

42.（2009浙江文）（本题满分15分）

已知抛物线C：x2?2py(p?0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为（I）求p与m的值；

（II）设抛物线C上一点P的横坐标为t(t?0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点

17． 4M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN是C的切线，求t的最小值．

解（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：y??p，根据抛物线定义 2p171?，解得p? 242点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4??抛物线方程为：x2?y，将A(m,4)代入抛物线方程，解得m??2

（Ⅱ）由题意知，过点P(t,t2)的直线PQ斜率存在且不为0，设其为k。

?t2?kt?t2?kt, 则M(,0)。 则lPQ:y?t?k(x?t)，当y?0,x?kk2?y?t2?k(x?t)联立方程?，整理得：x2?kx?t(k?t)?0 2x?y?即：(x?t)[x?(k?t)]?0，解得x?t,或x?k?t

?Q(k?t,(k?t)2)，而QN?QP，?直线NQ斜率为?1 k?lNQ1?1?y?(k?t)2??[x?(k?t)]:y?(k?t)??[x?(k?t)]，联立方程? kk?x2?y?22整理得：x?11x?(k?t)?(k?t)2?0，即：kx2?x?(k?t)[k(k?t)?1]?0 kkk(k?t)?1，或x?k?t k，

[kx?k(k?t)?1][x?(k?t)]?0，解得：x??k(k?t)?1[k(k?t)?1]2?N(?,)2kk85

?KNM[k(k?t)?1]22(k2?kt?1)2k??

k(k?t)?1?t2?ktk(t2?k2?1)??kkk(k?t)?1k而抛物线在点N处切线斜率：k切?y?x????2k(k?t)?2

k22(k?kt?1)?2k(k?t)?2? MN是抛物线的切线，?， ?22kk(t?k?1)? 整理得k2?tk?1?2t2?0

222，或t?，?tmin? ???t2?4(1?2t2)?0，解得t??（舍去）

33343.（2009北京文）（本小题共14分）

x2y23已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，右准线方程为x?。

ab3（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）已知直线x?y?m?0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆

x2?y2?5上，求m的值.

【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

?a23???3，解得a?1,c?3， 解（Ⅰ）由题意，得?c?c?3??ay2?1. ∴b?c?a?2，∴所求双曲线C的方程为x?22222（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?，线段AB的中点为M?x0,y0?，

?2y2?1?x?22 由?得x?2mx?m?2?0（判别式??0）, 2?x?y?m?0?∴x0?x1?x2?m,y0?x0?m?2m, 222∵点M?x0,y0?在圆x?y?5上，

85

2∴m??2m??5，∴m??1.

244.（2009北京理）（本小题共14分）

x2y23已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，右准线方程为x?

ab3（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线l是圆O:x2?y2?2上动点P(x0,y0)(x0y0?0)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A,B，证明?AOB的大小为定值.

【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

?a23???3，解得a?1,c?3， （Ⅰ）由题意，得?c?c?3??ay2?1. ∴b?c?a?2，∴所求双曲线C的方程为x?22222（Ⅱ）点P?x0,y0??x0y0?0?在圆x2?y2?2上， 圆在点P?x0,y0?处的切线方程为y?y0??化简得x0x?y0y?2.

x0?x?x0?， y0?2y2?1?x?2222?4?x2?4x0x?8?2x0?0， 由?及x0?y0?2得?3x02?xx?yy?20?02∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0?x0?2， 2222?43x0?48?2x0?0， ∴3x0?4?0，且??16x0????设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?，

24x08?2x0则x1?x2?2， ,x1x2?23x0?43x0?4????????OA?OB∵cos?AOB?????????，且

OA?OB85

????????1OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?2?2?x0x1??2?x0x2?，

y0?x1x2?12?4?2x0?x1?x2??x0x1x2?2?? 2?x02222?x08?2x0??8?2x08x01??4?2? ?2??223x0?42?x03x?43x?4??00??228?2x08?2x0??2?2?0.

3x0?43x0?4?∴ ?AOB的大小为90.

【解法2】（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）点P?x0,y0??x0y0?0?在圆x2?y2?2上， 圆在点P?x0,y0?处的切线方程为y?y0??x0?x?x0?， y0?2y2?1?x?22化简得x0x?y0y?2.由?及x0?y0?2得 2?xx?yy?20?0?3x20202?4?x2?4x0x?8?2x0?0 ① 2?4?y2?8y0x?8?2x0?0 ②

?3x2∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0?x0?2， 2∴3x0?4?0，设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?， 228?2x02x0?8则x1x2?2， ,y1y2?23x0?43x0?4?????????∴OA?OB?x1x2?y1y2?0，∴ ?AOB的大小为90.

22（∵x0?y0?2且x0y0?0，∴0?x0?2,0?y0?2，从而当3x0?4?0时，方程①和

222方程②的判别式均大于零）. 45.（2009江苏卷）（本题满分10分）

在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上。

85

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

（3）设过点M(m,0)(m?0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式。

46.(2009山东卷理)（本小题满分14分）

x2y2设椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2，2） ，N (6,1)两点，O为坐标原点，

ab（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且

????????OA?OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

x2y2解:（1）因为椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2，2） ，N (6,1)两点,

ab85

2?4?11??1?222???a2?8x2y2?ab?a8??1 所以?解得?所以?2椭圆E的方程为84?b?4?6?1?1?1?1???a2b2?b24（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且

?y?kx?m?????????得x2?2(kx?m)2?8,OA?OB,设该圆的切线方程为y?kx?m解方程组?x2y2?1??4?8即(1?2k2)x2?4kmx?2m2?8?0,

则△=16k2m2?4(1?2k2)(2m2?8)?8(8k2?m2?4)?0,即8k?m?4?0

224km?x?x??12??1?2k2?2?xx?2m?812?1?2k2?22,

k2(2m2?8)4k2m2m2?8k22y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m???m?221?2k1?2k1?2k2????????2m2?8m2?8k2??0,所以3m2?8k2?8?0,所要使OA?OB,需使x1x2?y1y2?0,即221?2k1?2k3m2?8?0又8k2?m2?4?0,所以以k?82?m2?28262,所以m?,即m?或?2333m?8?m??26,因为直线y?kx?m为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为38m2m282622x?y???,r?,,所求的圆为,此时圆的切r?r?2223m?8331?k31?k1?8m2线y?kx?m都满足m?262626或m??,而当切线的斜率不存在时切线为x??333????????x2y226262626??1的两个交点为(,?)或(?,?)满足OA?OB,综上, 与椭圆843333存在圆心在原点的圆x?y?228，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且3????????OA?OB.

85

4km?x?x??12??1?2k2因为?, 2?xx?2m?8?121?2k2?4km22m2?88(8k2?m2?4)所以(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?, )?4??1?2k21?2k2(1?2k2)222|AB|?(x1?x2)??y1?y2?228(8k2?m2?4) ?(1?k)(x1?x2)?(1?k)(1?2k2)2222324k4?5k2?132k2???[1?4],

34k4?4k2?134k?4k2?1①当k?0时|AB|?321[1?] 134k2?2?4k因为4k?21?4?8所以0?k211?, 14k2?2?48k所以

32321?[1?]?12,

13324k?2?4k426?|AB|?23当且仅当k??时取”=”. 32所以② 当k?0时,|AB|?46. 326262626,?)或(?,?), 3333③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为(所以此时|AB|?46, 3446?|AB|?23即: |AB|?[6,23] 33综上, |AB |的取值范围为【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆

的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系. 47. (2009山东卷文)（本小题满分14分）

????设m?R,在平面直角坐标系中,已知向量a?(mx,y?1),向量b?(x,y?1),a?b,动点

85

M(x,y)的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

（2）已知m?1,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交4点A,B,且OA?OB(O为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知m?1,设直线l与圆C:x2?y2?R2(1

????解（1）因为a?b,a?(mx,y?1),b?(x,y?1),

??所以a?b?mx2?y2?1?0, 即mx2?y2?1.

当m=0时,方程表示两直线,方程为y??1; 当m?1时, 方程表示的是圆

当m?0且m?1时,方程表示的是椭圆; 当m?0时,方程表示的是双曲线.

1x2?y2?1,设圆心在原点的圆的一条切线为y?kx?t,解(2).当m?时, 轨迹E的方程为

44?y?kx?t?22222方程组?x2得,即x?4(kx?t)?4(1?4k)x?8ktx?4t?4?0, 2??y?1?4要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=64kt?16(1?4k)(t?1)?16(4k?t?1)?0,

2222228kt?x?x??12??1?4k22222即4k?t?1?0,即t?4k?1, 且? 24t?4?xx?12?1?4k2?k2(4t2?4)8k2t2t2?4k22, y1y2?(kx1?t)(kx2?t)?kx1x2?kt(x1?x2)?t???t?2221?4k1?4k1?4k22????????4t2?4t2?4k25t2?4k2?4???0, 要使OA?OB, 需使x1x2?y1y2?0,即2221?4k1?4k1?4k所以5t?4k?4?0, 即5t?4k?4且t?4k?1, 即4k?4?20k?5恒成立.

2222222285

所以又因为直线y?kx?t为圆心在原点的圆的一条切线,

42(1?k)2t4t42225x?y?所以圆的半径为r?,r?, 所求的圆为. ??22251?k1?k51?k222x25,与5)或?y2?1交于点(5,?当切线的斜率不存在时,切线为x??5554(?225,?5)也满足OA?OB. 5522综上, 存在圆心在原点的圆x?y?4，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点5????????A,B,且OA?OB.

1x2?y2?1,设直线l的方程为y?kx?t,因为直线l与圆(3)当m?时,轨迹E的方程为

44C:x2?y2?R2(1

t1?k2, 即t2?R2(1?k2) ①,

?y?kx?t?22由（2）知?x2得x?4(kx?t)?4, 2??y?1?4即(1?4k)x?8ktx?4t?4?0有唯一解

222222则△=64kt?16(1?4k)(t?1)?16(4k?t?1)?0, 即4k?t?1?0, ②

22222?23R2t???4?R2由①②得?, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, 2?k2?R?1??4?R28kt?x?x??12?4t2?416R2?16?1?4k22?由? 中x1?x2,所以,x1?, 2221?4k3R?xx?4t?412?1?4k2?4124?R2222|OB|?x?y?5?B1(x1,y1)点在椭圆上,所以y?1?x1?,所以, 111R243R22185

在直角三角形OA1B1中,|A1B1|?|OB1|?|OA1|?5?222442?R?5?(?R2)因为22RR422?R?4当且仅当时取等号,所以R?2?(1,2)|AB|11?5?4?1,即 2R当R?2?(1,2)时|A1B1|取得最大值,最大值为1.

【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题. 48.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）

3x2y2??1(a?b?0)已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B a2b2 3

2两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 22 2（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有 OP ? OA ? 成立？ OB若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。

解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。

解（Ⅰ）设F?c,0?, 当l的斜率为1时，其方程为x?y?c?0,O到l的距离为

???

0?0?c2?c2， 故

c2?2， c?1 2 由 e?c3?，得 a?3，b?a2?c2=2 a3（Ⅱ）C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP?OA?OB成立。 由 （Ⅰ）知C的方程为2x+3y=6. 设A(x1,y1),B(x2,y2). (ⅰ) 当l不垂直x轴时，设l的方程为y?k(x?1)

C 上的点P使OP?OA?OB成立的充要条件是P点的坐标为（， x1?x2,y1?y2）且2(x1?x2)?3(y1?y2)?6

整理得 2x1?3y1?2x2?3y2?4x1x2?6y1y2?6

22222222又A、B在C上，即2x1?3y122?6,2x2?3y2?6

2285

故 2x1x2?3y1y2?3?0 ① 将 y?k(x?1)代入2x2?3y2?6,并化简得

(2?3k2)x2?6k2x?3k2?6?0

6k23k2?6于是 x1?x2?, x1x2=, 222?3k2?3k?4k2 y1y2?k(x1?1)(x2?2)?

2?3k222代入①解得，k?2，此时x1?x2?3 2于是y1?y2?k(x1?x2?2)=? 因此， 当k??2时，P(,k3k， 即P(,?) 222322)， l的方程为2x?y?2?0； 2 当k?322时，P(,?)， l的方程为2x?y?2?0。

22（ⅱ）当l垂直于x轴时，由OA?OB?(2,0)知，C上不存在点P使OP?OA?OB成立。

综上，C上存在点P(,?322)使OP?OA?OB成立， 2此时l的方程为2x?y?2?0.

49.（2009广东卷理）（本小题满分14分）

已知曲线C:y?x与直线l:x?y?2?0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xA?xB．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点

2P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．

（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；

51?0与D有公共点，试求a的最小值． 25152解（1）联立y?x与y?x?2得xA??1,xB?2，则AB中点Q(,)，

22（2）若曲线G:x?2ax?y?4y?a?22285

15?s?t1522设线段PQ的中点M坐标为(x,y)，则x?，即s?2x?,t?2y?，,y?2222又点P在曲线C上，

5111?(2x?)2化简可得y?x2?x?，又点P是L上的任一点， 228115且不与点A和点B重合，则?1?2x??2，即??x?，

24411152∴中点M的轨迹方程为y?x?x?（??x?）.

844y∴2y?xB xA D ox

2（2）曲线G:x?2ax?y?4y?a?即圆E：(x?a)?(y?2)?222251?0， 25497，其圆心坐标为E(a,2)，半径r? 25551222?0与点D有公共点； 由图可知，当0?a?2时，曲线G:x?2ax?y?4y?a?2551222?0与点D有公共点，当a?0时，要使曲线G:x?2ax?y?4y?a?只需圆心E到25直线l:x?y?2?0的距离d?|a?2?2|2?|a|2?772，得??a?0，则a的最小值55为?72. 550.（2009安徽卷理）（本小题满分13分）

?x2y2点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)上，x0?acos?,y0?bsin?,0???.直线

2abl2与直线l1:为?.

x0y0x?y?1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为?，直线l2的倾斜角22abx2y2（I）证明: 点P是椭圆2?2?1与直线l1的唯一交点；

ab（II）证明:tan?,tan?,tan?构成等比数列.

85

解析：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。

x0y0x2y2b22证明 （I）（方法一）由2x?2y?1得y?2(a?x0x),代入椭圆2?2?1,

ababay01b2x0222b2x0b2得(2?42)x?2x?(2?1)?0.

aay0ay0y0将??x0?acos?代入上式,得x2?2acos??x?a2cos2??0,从而x?acos?.

?y0?bsin??x2y2??1??x?x0?a2b2因此,方程组?有唯一解?,即直线l1与椭圆有唯一交点P.

y?yxy0??0x?0y?1?b2?a2(方法二)显然P是椭圆与l1的交点，若Q(acos?1,bsin?1),0??1?2?是椭圆与l1的交点，代入l1的方程

cos?sin?x?y?1，得cos?cos?1?sin?sin?1?1, ab即cos(???1)?1,???1,故P与Q重合。

b2b2x2y2a?x2,y0?a?x02, （方法三）在第一象限内，由2?2?1可得y?aaab椭圆在点P处的切线斜率k?y?(x0)??bx0aa2?x02b2x0??2,

ay0xxyyb2x0切线方程为y??2(x?x0)?y0,即02?02?1。

abay0因此，l1就是椭圆在点P处的切线。

根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线l1的唯一交点。

y0bx0b2y0a2a（II）tan???tan?,l1的斜率为?,l2的斜率为tan???tan?, 22x0ay0ax0bb由此得tan?tan??tan2??0,tan?,tan?,tan?构成等比数列。

51.（2009江西卷文）（本小题满分14分）

x2?y2?1的内接△ABC的内切圆, 其中A为如图，已知圆G:(x?2)?y?r是椭圆16y222M85 BFA0 x椭圆的左顶点.

（1）求圆G的半径r;

（2）过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，

证明：直线EF与圆G相切．

（1）解 设B（2?r,y0），过圆心G作GD?AB于D,BC交长轴于H 由

GDHBryAD?AH得36?r2?06?r, 即 y6?r0?r 6?r (1) 而点B（2?r,y）在椭圆上,y2(2?r)212?4r?r2(r00?1?16?16???2)(r?6)16 由(1)、 (2)式得15r2?8r?12?0,解得r?23或r??65（舍去） (2) 证明设过点M(0,1)与圆(x?2)2?y2?49相切的直线方程为:

y?1?kx 则

22k?13?1?k2,即32k2?36k?5?0 解得k?9?411?16,k??9?41216 将(3)代入x23216?y2?1得(16k2?1)x2?32kx?0,则异于零的解为x??k16k2?1设F(x1,k1x1?1),E(x2,k2x2?1)，则x32k132k1??16k2?1,x22??16k2?1 12则直线FE的斜率为：k2x2?k1x1kEF?kx?1?k2?3

2?x11?16k1k24于是直线FE的方程为:y?32k21332k116k21?1?4(x?16k2)

1?1?1即y?374x?3 ．G

(2) (3)

(4) 85

37?223?则圆心(2,0)到直线FE的距离d? 391?16故结论成立.

52.（2009江西卷理）（本小题满分12分）

x2y2??1（b为正常数）上任一已知点P1(x0,y0)为双曲线

8b2b2A,连接点,F2为双曲线的右焦点,过P1作右准线的垂线,垂足为

PyP2AF2A并延长交y轴于P2.

P1F1OP的轨迹E的方程; (1) 求线段P1P2的中点

(2) 设轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点

F2xQ（x1,y1）(y1?0),直线QB，QD分别交y轴于M，N两点.

求证:以MN为直径的圆过两定点.

（0），（Ab，y0） (1) 解 由已知得F,则直线F2A的方程为:y??23b， 令x?0得y?9y0,即P2(0,9y0),

833y0(x?3b), bx0?x? ?x0?2x?x02y024x2y2??2?1, 设P,则?,即?（x，y）y代入2?2?1得:2?28bb8b25by0??y?y0?9y0?5y?5?0??2x2y2?1. 即P的轨迹E的方程为2?22b25bx2y2?1中令y?0得x2?2b2,则不妨设B(2) 证明 在2?, （-2b，0），（D2b，0）22b25b于是直线QB的方程为:y?y1(x?2b),

x1?2b直线QD的方程为:y?y1(x-2b),

x1-2b85

则M（0，2by1-2by1, ），N（0，）x1?2bx1-2b2by12by1）（y?）?0,

x1?2bx1-2b则以MN为直径的圆的方程为: x2?（y-22x2y22b2y1222x?2b?y1, ??1令y?0得:x?2,而在上,则Q（x,y）111222252b25bx1?2b2于是x??5b,即以MN为直径的圆过两定点(?5b,0),(5b,0). 53.（2009天津卷文）（本小题满分14分）

x2y2已知椭圆2?2?1（a?b?0）的两个焦点分别为F1(?c,0),F2(c,0)(c?0)，过点

aba2E(,0)的直线与椭圆相交于点A,B两点，且F1A//F2B,|F1A|?2|F2B|

c（Ⅰ求椭圆的离心率； （Ⅱ）直线AB的斜率；

（Ⅲ）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H(m,n)(m?0)在?AF1C的外接圆上，求

n的值。 m解 （1）由F1A//F2B,|F1A|?|F2B|，得

|EF2||F2B|1??,从而

|EF1||F1A|2a2?c1c322c?a?3c，整理得，故离心率 e??22aa3?cc222（2）由（1）知，b?a?c?2c，所以椭圆的方程可以写为2x?3y?6c

2222a2)即y?k(x?3c) 设直线AB的方程为y?k(x?c?y?k(x?3c)由已知设A(x1,y1)B(x2,y2)则它们的坐标满足方程组?2 222x?3y?6c?消去y整理，得(2?3k)x?18kcx?27kc?6c?0

22222222依题意，??48c(1?3k)?0,?33?k? 3385

18k227k2c2?6c2,x1x2?而x1?x2?，有题设知，点B为线段AE的中点， 222?3k2?3k所以x1?3c?2x2

9k2c?2c9k2c2?2c22,x?联立三式，解得x1?，将结果代入韦达定理中解得 k??23.2?3k22?3k2(3)由（2）知，x1?0,x2?3c2，当k??时，得A(0,2c)由已知得C(0,?2c) 23c2c2c??(x?),直线l与x轴的交点(,0)是

2222线段AF1的垂直平分线l的方程为y?cc?AF1C的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为(x?)2?y2?(?c)2

22?c29c22?(m?)?n?直线F2B的方程为y?2(x?c)，于是点H(m,n)满足方程组?24?n?2(m?c)?由m?0，解得m?

5c22cn22，故? ,n?32m5当k?2n22时，同理可得? 3m5.

254.(2009湖北卷理)（本小题满分14分）

过抛物线y?2px(p?0)的对称轴上一点A?a,0??a?0?的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l:x??a作垂线，垂足分别为M1、N1。

（Ⅰ）当a?（Ⅱ）记

p时，求证：AM1⊥AN1； 2?AMM、?AM1N1 、?ANN1的面积分别为S1、S2、S3，是否存在?，使

2得对任意的a?0，都有S2??S1S2成立。若存在，求出?的值；若不存在，说明理由。

解 依题意，可设直线MN的方程为x?my?a,M(x1,y1),N(x2,y2)， 则有M(?a,y1),N(?a,y2)

?x?my?a2由?2消去x可得y?2mpy?2ap?0 ?y?2px ，

85

从而有??y1?y2?2mp?y ①

1y2??2ap于是x1?x2?m(y1?y2)?2a?2(m2p?a) ②

y2?2px2(y1y2)2(?2ap)2又由11，y1?2px2可得x1x2?4p2?4p2?a2 ③ （Ⅰ）如图1，当a?p2时，点A(p2,0)即为抛物线的焦点，l为其准线x??p2

此时MP2),NP1(?,y11(?,y2),并由 ①可得y1y2??p2证法1：QuAMuuuv2

p,yuuuv1?(?1),AN1?(?p,y2)

?uAMuuuvuANuuv1?1?p2?y1y2?p2?p2?0,即AM1?AN1

2证法2：

QKAM1??y1p,KyAN1??p,

?Ky1y2AM1?KAN1?2p?p2?p2??1,即AM1?AN1.

(Ⅱ)存在??4，使得对任意的a?0，都有S22?4S1S3成立，证明如下：

证法1：记直线l与x轴的交点为A1,则OA?OA1?a。于是有

85

11S1??MM1?A1M1?（x1?a)y1221 S2??M1N1?AA1?ay1?y2211S3??NN1?A1N1?（x2?a)y2222?S2?4S1S3?(ay1?y2)2?(x1?a)y1?(x2?a)y2?a[(y1?y2)?4y1y2]?[x1x2?a(x1?x2)?a]y1y2将①、②、③代入上式化简可得

222

a2(4m2p2?8ap)?2ap(2am2p?4a2)?4a2p(m2p?2a)

2上式恒成立，即对任意a?0,S2?4S1S3成立

证法2：如图2，连接MN1,NM1,则由y1y2??2ap,y12?2px1可得

KOM?y12p2py22py2y2?????KON1,所以直线MN1经过原点O， x1y1y1y2?2ap?a同理可证直线NM1也经过原点O

又OA?OA1?a设M1A1?h1,N1A1?h2,MM1?d1,NN1?d2,则

S1?111d1h1,S2??2a(h1?h2)?a(h1?h2),S3?d2h2. 22256.（2009四川卷文）（本小题满分12分）

x2y22?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e?已知椭圆2?，右准线方

ab2程为x?2。

（I）求椭圆的标准方程；

??????????226M、N两点，且F2M?F2N?（II）过点F，求直线l的方1的直线l与该椭圆交于

3程。

?c2???a2，解得a?2,c?1

解（I）由已知得?2?a?2??c∴ b?a2?c2?1

85

∴ 所求椭圆的方程为x22?y2?1 . （II）由（I）得F1(?1,0)、F2(1,0)

?x?①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x??1，由??1?x22?2得y???2?y?12 设M(?1,22)、N(?1,?22)， ∴ ?????F??????2,22M?F2N?(2)?(?2,?22)?(?4,0)?4，这与已知相矛盾。 ②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y?k(x?1)， 设M(x1,y1)、N(x2,y2)，

?y?k(x联立??1)?x2，消元得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0 ?2?2?y?1∴ x?4k22k21?x2?1?2k2,x?21x2?1?2k2， ∴ y1?y2?k(x2k1?x2?2)?1?2k2，

又∵?????F?????2M?(x1?1,y1),F2N?(x2?1,y2) ∴ ?????F?????2M?F2N?(x1?x2?2,y1?y2)

∴ ?????F????F?22?8k2?2?2?2k?22262M?2N?(x1?x2?2)?(y1?y2)???1?2k2?????1?2k2???3化简得40k4?23k2?17?0 解得k2?1或k2??1740(舍去) ∴ k??1

∴ 所求直线l的方程为y?x?1或y??x?1 . 57.（2009全国卷Ⅱ理）（本小题满分12分）

85

x2y23已知椭圆C:??1(a?b?0)的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、

a2b23B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为

22 （I）求a，b的值；

（II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有???OP?????OA?????OB?成立？

若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。 解 (I）设F(c,0)，直线l:x?y?c?0，由坐标原点O到l的距离为

22 则|0?0?c|?2c32，解得2c?1.又e?a?3,?a?3,b?2. x2y2（II）由(I）知椭圆的方程为C:3?2?1.设A(x1,y1)、B(x2,y2) 由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设 l:x?my?1

代入椭圆的方程中整理得(2m2?3)y2?4my?4?0，显然??0。

由韦达定理有：y4m1?y2??2m2?3,y1y2??42m2?3,．．．．．．．．① .假设存在点P，使???OP?????OA?????OB?成立，则其充要条件为：

点P的坐标为(x?x(x1?x2)2(y1?y212,y1?y2)，点P在椭圆上，即

3?2)2?1。 整理得2x221?3y21?2x22?3y2?4x1x2?6y1y2?6。

又A、B在椭圆上，即2x21?3y21?6,2x22?3y22?6.

故2x1x2?3y1y2?3?0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

将x?1)(my21x2?(my12?1)?my1y2?m(y1?y22)?1及①代入②解得m?12 ?y224m231?y2?2或?2,x1?x2=?2m2?3?2?2,即P(32,?22). 当m?22时,P(3222,?2),l:x?2y?1; 85

当m??2322时,P(,),l:x??y?1. 222258.（2009湖南卷文）（本小题满分13分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点 为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）. （Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围。

x2y2解 （Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0),焦距为2c，

ab2由题设条件知，a?8,b?c, 所以b?212a?4. 2x2y2??1 故椭圆C的方程为84（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为x??4,所以点P的坐标(?4,0)， 显然直线l的斜率k存在，所以直线l的方程为y?k(x?4)。

如图，设点M，N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点为G(x0,y0)，

?y?k(x?4),?2222由?x2y2得(1?2k)x?16kx?32k?8?0. ??①

?1??4?8由??(16k)?4(1?2k)(32k?8)?0解得?222222?k?. ??② 2285

16k2因为x1,x2是方程①的两根，所以x1?x2??，于是

1?2k2x1?x24k8k2x0?y?k(x?4)?=?， 002221?2k1?2k8k2?0，所以点G不可能在y轴的右边， 因为x0??21?2k又直线F1B2,F1B1方程分别为y?x?2,y??x?2, 所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为

?2k2?2k?1?0,?4k?y0?x0?2,8k2????2, 亦即 即? ??2?1?2k21?2k2y?x?2.??0?0?2k?2k?1?0.4k8k2???2,?1?2k21?2k2?解得?3?13?1，此时②也成立. ?k?22故直线l斜率的取值范围是[?3?13?1,]. 2259.（2009福建卷理）（本小题满分13分）

x2已知A,B 分别为曲线C： 2+y2=1（y?0,a>0）与x轴

a的左、右两个交点，直线l过点B,且与x轴垂直，S为l上 异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.

(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧? AB的三等分点，试求出点S的坐标；（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存

在a,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。 解 方法一

AB的三等分点得∠BOT=60°或120°. (Ⅰ)当曲线C为半圆时，a?1,如图，由点T为圆弧?(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°. 又AB=2,故在△SAE中,有SB?AB?tan30??????,?s(t,); ?? (2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为(1,23),综上, S(1,(Ⅱ)假设存在a(a?0),使得O,M,S三点共线.

23)或S(1,23) 385

由于点M在以SB为直线的圆上,故BT?OS.

显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为y?k(x?a). ?x2由?2?2?y?1得(1?a2k2)x2?2a2k2x?a4k2?a2??a0 ?y?k(x?a)(xa2k2?a2设点TT,yT),?xT?(?a)?1?a2k2,

a?a2k2故x2akT?1?a2k2,从而yT?k(xT?a)?1?a2k2. 亦即T(a?a2k22ak1?a2k2,1?a2k2).

????BT??((?2a2?B(a,0),k22ak1?a2k2,1?a2k2))

由??x?ax?a)得s(a,2ak),????OS??(a,2ak).?y?k( 由BT?OS,可得???BT?????OS???2a2k2?4a2k21?a2k2?0即?2a2k2?4a2k2?0 ?k?0,a?0,?a?2

经检验,当a?2时,O,M,S三点共线. 故存在a?2,使得O,M,S三点共线. 方法二:

(Ⅰ)同方法一.

(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SO为直径的圆上,故SM?BT.

显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为y?k(x?a) ?由?x2??y22?1得(1?a2b2)x2?2a2k2x?a2k2?a2?0 ?a?y?k(x?a)(xa4k2?a2设点TT,yT),则有xT?(?a)?1?a2k2.

a?a2k2故x?a?a2k2,从而yT?k(x2aka?a2k22akTT?a)?1?a2k2亦即T(1?a2k2?1?a2k2). ?B(a,0),?kyT1BT?x??2k,故kSM?a2k

T?aa由??x?a(x?a)得S(a,2ak),所直线SM的方程为?y?ky?2ak?a2k(x?a) O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即2ak?a2k(?a). ?a?0,K?0,?a?2 85

故存在a?2,使得O,M,S三点共线.

60.（2009辽宁卷文、理）（本小题满分12分） 已知，椭圆C以过点A（1，（1） 求椭圆C的方程；

（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直

线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

3），两个焦点为（－1，0）（1，0）。 2x2y2?2?1。 （Ⅰ）解 由题意，c＝1,可设椭圆方程为21?b4b 因为A在椭圆上，所以

19322??1?bb，解得＝3，＝（舍去）。 1?b24b24x2y2??1． 所以椭圆方程为 433x2y2??1得 （Ⅱ）证明 设直线ＡＥ方程：得y?k(x?1)?，代入

243 3（3+4k2）x2+4k(3?2k)x?4(?k)2?12?0

2设Ｅ（xE，yE），Ｆ（xF，yF）．因为点Ａ（1，

3）在椭圆上， 234(?k)2?12所以xE?2， 23?4k3yE?kxE??k。

2 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以?k代k，可得

34(?k)2?12， xF?223?4k3yF??kxF??k。

2 所以直线EF的斜率kEF?yF?yE?k(xF?xE)?2k1??。

xF?xExF?xE21。 2即直线EF的斜率为定值，其值为

61.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

85

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

解 (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得

OPOM=λ，求点M

?a?c?1,解得a?4,c?3， ?a?c?7?x2y2??1 所以椭圆C的标准方程为

167（Ⅱ）设M(x,y)，其中x???4,4?。由已知

OPOM22??2及点P在椭圆C上可得

9x2?1122。 ??2216(x?y)整理得(16?2?9)x2?16?2y2?112，其中x???4,4?。 （i）??32时。化简得9y?112 4所以点M的轨迹方程为y??47(?4?x?4)，轨迹是两条平行于x轴的线段。 3x2y2??1，其中x???4,4?

11211216?2?916?23

（ii）??时，方程变形为

4

当0???分。

3时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足?4?x?4的部43???1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足?4?x?4的部分； 4当??1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆；

当

62.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）

y2x25已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0)，离心率e?，顶点到渐近线的距离为

ab225。 5（1）求双曲线C的方程；

85

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