1.1.3四种命题间的相互关系

1.1 命题及其关系

一、复习回顾：1. 命题：可以判断真假的陈述句。 命题都具由条件和结论两部分构成，即若p,则q. 2. 怎样判断命题的真假？ (1)判定一个命题是真命题，要经过证明. (2)判定一个命题是假命题，只需举一个反例. 3. 命题的四种形式： 逆命题 (1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是_____ 否命题 (2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是____ (3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命 题是_________ 逆否命题 4.命题四种形式的结构： 原命题：若p,则q 逆命题：若q,则p 否命题：若┐p,则┐q 逆否命题: 若┐q, 则┐p

二、新课：1.四种命题之间的关系:

原命题若p则q 互 否

互逆

逆命题若q则p 互 否

否命题若﹁p则﹁q

互逆

逆否命题若﹁q则﹁p

四种命题的真假性是否有一定的相互关系呢？例子： 1)原命题：若a=0或b=0, 则ab=0。 逆命题：若ab=0, 则a=0或b=0。 否命题：若a≠ 0且b ≠0 ,则ab≠0。 逆否命题：若ab≠0,则a≠0且b ≠0 。 2)原命题：若x2+y2=0,则xy=0 逆命题：若xy =0,则x2+y2 =0 否命题：若x2+y2≠0,则xy≠0 逆否命题：若xy ≠0,则x2+y2 ≠03) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。(假) 逆命题：若ac2>bc2,则a>b。 (真) 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 (真) 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 (假)

(真 ) (真 ) (真 ) (真 )(真 ) (假 ) (假 ) (真 )

想一想：由以上三例我们能发现什么？

结 论：原命题与逆否命题同真同假。 ( 1) 原命题的逆命题与否命题同真同假。 (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 没有关系。

2.四种命题的真假性:原命题 逆命题 否命题 逆否命题

真 真假 假

真假

真假

真 真假 假

真假

真假

注：原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真同假。

练一练：判断下列说法是否正确。

1)一个命题的逆命题为真， (对) 它的逆否命题不一定为真； 2)一个命题的否命题为真， (对) 它的逆命题一定为真。 3)一个命题的原命题为假， (错) 它的逆命题一定为假。 4)一个命题的逆否命题为假， 它的否命题为假。 (错)

3.一些常见结论的否定形式：正面 词语 等于 大于 小于 是 都是

否定正面 词语

不等于 不大于 不小于 不是 全 至少有 一个 一定 P或q

不都是 P且q 非 p或 非q

否定

不全

一个也 一定不 非p且 非q 没有

练习：用否定的形式填空：(1)a > 0; a≤0。 a<0且b≥0。

(2)a ≥0或b<0; (3)a、b都是正数； a、b不都是正数。(4)A一定是B的子集；A一定不是B的子

集。

题型一

四种命题之间的转换

例1: (1)设原命题是：当c>0时，若a>b,则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆

否命题。 并分别判断它们的真假。分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。 原命题的条件是“a>b”, 结论是“ac>bc”。 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. (真) (真) (真) (真)

否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.

(2) 原命题：若m≤0或n≤0,则m+n≤0。写出其逆 命题、否命题、逆否命题，并分别指出真假。分析：注意“且” “或”的否定为“或” “且”。 原命题(假) 解：逆命题：若m+n≤0,则m≤0或n≤0。 (真) (真) (假)

否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.

小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两 种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价， 逆否命题与原命题真假等价。

(3) 原命题：若ab=0,则a,b至少有一个为0。写出 其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出真假。

分析：注意“至少有一个”的否定为“一个也没有”。原命题(真) 逆命题：若a,b至少有一个为0 ,则ab=0 。 (真) 否命题：若ab≠0 ,则a,b一个也没有为0 。(真) 逆否命题：若a,b一个也没有为0 ,则ab≠0 。 (真) 说明： 否命题：若ab≠0 ,则a,b都不为0 。 逆否命题：若a,b都不为0 ,则ab≠0 。

题型二

四种命题真假的判断

【例2】 有下列四个命题： ①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题； ②“若a>b,则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题； ④“同位角相等”的逆命题. 其中真命题的个数是________. [思路探索] 可先逐一分清两个命题的条件和结论，再利用 有关知识判断真假. 解析 ①“若x+y≠0,则x,y不是相反数”,是真命题. ②“若a2≤b2,则a≤b”,取a=0,b=-1,a2≤b2,但a>b,

故是假命题.

③“若x>-3,则x2-x-6≤0”,解不等式x2-x-6≤0可

得-2≤x≤3,而x=4>-3不是不等式的解，故是假命题. ④“相等的角是同位角”是假命题. 答案 1 要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种 规律方法

命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.

题型三

等价命题的应用

例3、 (1)判断命题“若x y 5, 则x 2或y 3”的真假。

逆否命题：“若x 2且y 3, 则x y 5”真命题(2)“若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为零”的逆命题；否命题：“若 x2+y2=0,则 x,y 全为零”;真命题(3)判断命题“若m>0,则方程x2+2x-m=0有实 数根”的逆否命题的真假.

4 4m 0即m 1, 原命题为真

2 2 证明：若 x y 0, 则x y 0. 例4

证明：若x, y中至少有一个不为0,不妨

设x 0,则x 2 0, 所以x 2 y 2 0,

也就是说 x 2 y 2 0.

因此，原命题的逆否命 题为真命题， 从而原命题也是真命题 .

当直接证明某一命题为真命题有困难 时，可以通过证明它的逆否命题为真 命题，来间接证明原命题为真命题。

反证法 欲证“若p则q”为真命题，从否定其结 论即“非q”出发，经过正确的逻辑推 理导出矛盾，从而“非q”为假，即原 命题为真，这样的证明方法称为反证法。

反证法例4 证明：若x2 y2 0, 则x y 0.证明：假设 x,y中至少有一个不为 0,不妨设x 0.

则x 2 0, 所以x 2 y 2 0,

也就是说x2 y 2 0.

这与 x2+y2=0矛盾,所以假设不成立, 从而x=y=0 成立。

反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，经过推理 论证，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。反设

归谬

结论

练习：用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. x=a 或_________, x=b 证： 假设_________(x-a)(x-b)=0 x=a 由于____________ 时,_________________,与 (x-a)(x-b)≠0矛盾,

x=b 时,_________________, (x-a)(x-b)=0 又_________与(x-a)(x-b)≠0矛盾,所以假设不成立,

x ≠a且 x ≠b 从而_________________ 。

例5

用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。A O

已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P,且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.

D

证明：假设弦AB、CD被P平分，由于P点一定不是圆心O,连结OP, 根据垂径定理的推论，有

P

CB

OP⊥AB,OP⊥CD, 即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂 线性质矛盾。所以，弦AB、CD不被P平分。

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