高中数学第一轮复习第讲空间向量及其应用

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座36）—空间向量及其应用

一．课标要求：

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量；

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

二．命题走向

本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测07年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

三．要点精讲

1．空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

2．向量运算和运算率 ??OB?OA?AB?a?b ??BA?OA?OB?a?b ?OP??a(??R) 第 1 页 共 10 页

????加法交换率：a?b?b?a.

??????加法结合率：(a?b)?c?a?(b?c).

????数乘分配率：?(a?b)??a??b.

说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，

????则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于b记作a∥b。

?? 注意：当我们说a、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是

??平行直线；当我们说a、b平行时，也具有同样的意义。

?????共线向量定理：对空间任意两个向量a（a≠0）、b，a∥b的充要条件是存在实数???使b＝?a

?????注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a∥b（a≠0），则有b＝?a，其

?????中?是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数?，使b＝?a（a≠0），则有a∥b??????（若用此结论判断a、b所在直线平行，还需a（或b）上有一点不在b（或a）上）。

?????⑵对于确定的?和a，b＝?a表示空间与a平行或共线，长度为 |?a|，当?>0??时与a同向，当?<0时与a反向的所有向量。

?⑶若直线l∥a，A?l，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP的表达式。

?推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式

OP?OA?ta ①

其中向量a叫做直线l的方向向量。

???在l上取AB?a，则①式可化为 OP?(1?t)OA?tOB. ②

当t?1时，点P是线段AB的中点，则 OP?1(OA?OB). ③ 22①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。

??4．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面?平行或a在?平

???面内，我们就说向量a平行于平面?，记作a∥?。注意：向量a∥?与直线a∥?的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

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?????共面向量定理 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条

???件是存在实数对x、y，使p?xa?yb.①

注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使

MP?xMA?yMB,④

或对空间任一定点O，有OP?OM?xMA?yMB.⑤

在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。

又∵MA?OA?OM,.MB?OB?OM,.代入⑤，整理得

OP?(1?x?y)OM?xOA?yOB. ⑥

由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA、MB（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。

???5．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存

????在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使p?xa?yb?zc.

???a说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、b、c不共面，那么所有空间向量所组成

????????的集合就是p|p?xa?yb?zc,x、y、z?R，这个集合可看作由向量a、b、c生成

??????的，所以我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量；⑵空间任

??意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个

?基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于0可视为与任意非

?零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0。

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使OP?xOA?yOB?zOC.

????（1）夹角：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OA?a，OB?b，

????则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作?a，b?

6．数量积

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?a ?a?bA ?a ?a?O b?（1） a?a?aA ?a ?a?a ?aO ?a （2）

?aB

?a?b?bB

?a??????说明：⑴规定0≤?a，b?≤?,因而?a，b?=?b，a?；

???????⑵如果?a，b?=，则称a与b互相垂直，记作a⊥b；

2⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，

图（3）中∠AOB=?OA,OB?， 图（4）中∠AOB=???AO,OB?,

从而有??OA,OB?=?OA,?OB?=???OA,OB?.

?a?a?aA ?aO ?aB

（3） ?A a?aO ?a（4） B ?a（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

????????a（3）向量的数量积：abcos?a,b?叫做向量、b的数量积，记作a?b。

??????即a?b=abcos?a,b?，

?向量AB在e方向上的正射影:

B ?e A A? B? l ????a?e?|AB|cos?a,e??A?B?

（4）性质与运算率

⑴a?e?cos?a,e?。 ⑴(?a)?b??(a?b) ??????a⑵⊥b?a?b=0 ⑵a?b=b?a

⑶|a|?a?a. ⑶a?(b?c)?a?b?a?c

2????四．典例解析

题型1：空间向量的概念及性质

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例1．有以下命题：①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么

a,b的关系是不共线；②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基

底，那么点O,A,B,C一定共面；③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量

a?b,a?b,c，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）

(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③

解析：对于①“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。

点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系。

例2．下列命题正确的是（ ）

(A)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线； (B)向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面； (C)零向量没有确定的方向；

(D)若a//b，则存在唯一的实数?使得a??b；

解析：A中向量b为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D中需保证b不为零向量。

答案C。

点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾。 题型2：空间向量的基本运算

例3．如图：在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，

M为A1C1与B1D1的交点。若AB?a，AD?b，

D1A1DAMB1CBC1AA1?c，则下列向量中与BM相等的向量是（ ）

1111?a?b?ca?b?c (A) (B)22221111?a?b?ca?b?c (C) (D)2222111?a?b?c； 解析：显然BM?BB1?B1M?(AD?AB)?AA1?222第 5 页 共 10 页

答案为A。

点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。

例4．已知：a?3m?2n?4p?0,b?(x?1)m?8n?2yp,且m,n,p不共面.

?????????????若a∥b,求x,y的值.

???????????解：?a∥b,,且a?0,?b??a,即(x?1)m?8n?2yp?3?m?2?n?4?p.

又?m,n,p不共面,????x?182y??,?x??13,y?8. 3?2?4点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。

题型3：空间向量的坐标

例5．（1）已知两个非零向量a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（ ）

A. a：|a|=b：|b| B.a1·b1=a2·b2=a3·b3 C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数k，使a=kb （2）已知向量a=（2，4，x），b=（2，y，2），若|a|=6，a⊥b，则x+y的值是（ ）

A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1 （3）下列各组向量共面的是（ ） A. a=(1，2，3)，b=(3，0，2)，c=(4，2，5) B. a=(1，0，0)，b=(0，1，0)，c=(0，0，1) C. a=(1，1，0)，b=(1，0，1)，c=(0，1，1) D. a=(1，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1) 解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知； ??4?16?x2?36??4?4y?2x?0?（2）A 点拨：由题知??x?4,?x??4,???y??3或?y?1.；

（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。

点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。 例6．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设a=AB，

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（1）求a和b的夹角?；（2）若向量ka+b与ka－2b互相垂直，求k的值. b=AC，

思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.

解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，a=AB，b=AC， ∴a=(1，1，0)，b=（－1，0，2）.

(1)cos?=a?b|a||b|?1?0?0=

102?5?－10，

10∴a和b的夹角为－10。

(2)∵ka+b=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2）， ka－2b=（k+2，k，－4），且(ka+b)⊥（ka－2b），

∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。 5则k=－2或k=2。

点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（a+b）(ka－2b)=k2a2－ka·b－52b2=2k2+k－10=0，解得k=－2，或k=2。

题型4：数量积

例7．(2000江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①（a·b）c－（c·a）b=0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b·c）a－（c·a）

b不与c垂直

④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|2－4|b|2中，是真命题的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ 答案：D

解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；

D.②④

②由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；

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③因为［（b·c）a－（c·a）b］·c=（b·c）a·c－（c·a）b·c=0，所以垂直.故③假；

④（3a+2b）（3a－2b）=9·a·a－4b·b=9|a|2－4|b|2成立.故④真. 点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。

例8．（1）（2002上海文，理2）已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则（2a－b）·a=_____.

（2）设空间两个不同的单位向量a=(x1，y1，0)，b=(x2，y2，0)与向量c=(1，1，

?1)的夹角都等于4。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求的大小(其中0＜＜π)。

解析：（1）答案：13；解析：∵（2a－b）·a=2a2－b·a=2|a|2－|a|·|b|·cos120°=2·4－2·5（－

1）=13。 22222（2）解：(1)∵|a|=|b|=1，∴x1+y1=1，∴x2=y2=1. 2??又∵a与c的夹角为4，∴a·c=|a||c|cos4=26又∵a·c=x1+y1，∴x1+y1=2。

2x12+y161?1?1=2.

222另外

6112

=(x1+y1)-2x1y1=1，∴2x1y1=(2)－1=2.∴x1y1=4。

2

(2)cos=a?b|a||b|61=x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=2，x1y1=4.∴x1，y1是方程

61x2－2x+4=0的解.

????6?26?26?26?2,?x1?,,?x2?,?x1??x2?????4444????6?26?26?26?2????y1?,?y1?.y2?,?y2?.??4444????∴或同理可得或

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??6?26?2,?x1?y2?,?x1?y2???44??6?26?2??x2?y1?,?x2?y1?.?44??∵a≠b，∴或

6?26?26?26?211144∴cos=·4+·4=4+4=2.

?∵0≤≤π，∴=3。

评述：本题考查向量数量积的运算法则。 题型5：空间向量的应用

例9．（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：13a?1+13b?1+13c?1≤43。

（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。

解析：（1）设m=(13a?1，13b?1，13c?1)，n=(1，1，1)， 则|m|=4，|n|=3. ∵m·n≤|m|·|n|，

∴m·n=13a?1+13b?1+13c?1≤|m|·|n|=43. 1当13a?1=13b?1=13c?1时，即a=b=c=3时，取“=”号。 M1M2=14。 （2）解：W=F·s=(F1+F2+F3)·

111点评：若m=(x，y，z)，n=(a，b，c)，则由m·n≤|m|·|n|，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查|a|·|b|≥a·b的应用，解题时要先根据题设条件构造向量a，b，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。

例10．如图,直三棱柱ABC?A1B1C1中,BC1?AB1,BC1?A1C,求证:

AB1?A1C.

证明：?A1C?A1C1?C1C,

BC1?BC?CC1,A1C?BC1?(A1C1?C1C)?(BC?CC1)?A1C1?BC?C1C2?0,第 9 页 共 10 页

?C1C2?A1C1?BC.

同理AB1?AB?BB1,BC1?BB1?B1C1,

??AB1?BC1?AB?BC?CC?0(?BB1?CC1),?AB?BC?A1C1?BC?0,

21又A1C1?AC,?BC?(AB?AC)?0.

设D为BC中点,则AB?AC?2AD.?2BC?AD?0,?BC?AD,

?AB?AC,又A1A?B1B,?A1C?AB1.

点评：从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法则，向量的运算，数量积以及平行,相等和垂直的条件。

五．思维总结

本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底｛i，j，k｝建立坐标系，对于O点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积a·b=|a|·|b|cos在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为?，对于中点公式要熟记。

对本讲内容的考查主要分以下三类：

1．以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质

此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。 2．向量在空间中的应用

在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。

在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本。因此，掌握双基、精通课本是本章关键。

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