2017年中考数学压轴题专题复习 - 圆的综合

2017中考专题复习——圆

题型一、勾股定理在圆中的应用 1、（2012成都）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE；

2 （2）若KG=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，若sinE=

3，AK=23，求FG的长． 5

2、（2014?孝感）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂

足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）求证：△PCF是等腰三角形； （3）若tan∠ABC=，BE=7

，求线段PC的长．

3、（2015?黄陂区校级模拟）如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，交连接AC、FC． （1）求证：∠ACF=∠ADB；

（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长； （3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，其值；若发生变化，请说明理由．

的值是否发生变化？若不发生变化，请求出

4、（2013?成都模拟）已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中

点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=（1）求证：AM?MB=EM?MC； （2）求sin∠EOB的值；

（3）若P是直径AB延长线上的点，且BP=12，求证：直线PE是⊙O的切线．

．

5、（2012?杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3（1）求∠COB的度数； （2）求⊙O的半径R； （3）点F在⊙O上（

是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它

，MN=2

．

的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．

6、（2011?潍坊）如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q． （1）求证：△ABC∽△OFB；

（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长； （3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点．

专题二、三角函数在圆中的应用

1、（2014成都）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是⌒AC上异于A,C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.

（1）求证：△PAC∽△PDF； ⌒（2）若AB=5，⌒AP=BP，求PD的长； （3）在点P运动过程中，设

AG?x，tan?AFD?y，BG求y与x之间的函数关系式.（不要求写出x的取值范围）

tan?AFD?

AE， FE2、（2012?襄阳）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF． （1）求证：直线PA为⊙O的切线；

（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

3、（2014?武侯区校级自主招生）如图，⊙O与直线PC相切于点C，直径AB∥PC，PA交⊙O于D，BP交⊙O于E，DE交PC于F． （1）求证：PF=EF?FD；

（2）当tan∠APB=，tan∠ABE=，AP=

时，求PF的长；

2

（3）在（2）条件下，连接BD，判断△ADB是什么三角形？并证明你的结论．

4、（2014?盘锦）如图，△ABC中，∠C=90°，点G是线段AC上的一动点（点G不与A、C重合），以AG为直径的⊙O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交BC于点E，连结DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若cosA=，AB=8（3）若cosA=，AB=8

，AG=2

，求BE的长；

，直接写出线段BE的取值范围．

专题三、相似三角形与圆的综合应用

1、（2010）已知：如图，?ABC内接于?O，AB为直径，弦CE?AB于F，C是?AD的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q． （1）求证：P是?ACQ的外心； （2）若tan?ABC?3,CF?8,求CQ的长； 4 （3）求证：(FP?PQ)2?FP?FG．

2、（2014?镇江）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．

（1）求证：EA是⊙O的切线；

（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似； （3）已知AF=4，CF=2．在（2）条件下，求AE的长．

3、（2013?桂林）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AD交AB于E，以AE为直径作⊙O． （1）求证：点D在⊙O上； （2）求证：BC是⊙O的切线；

（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面积．

4、（2012?泰州）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2）若PC=2围．

，求⊙O的半径和线段PB的长；

（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范

5、（2012?德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．

（1）求证：AE?FD=AF?EC； （2）求证：FC=FB；

（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．

6、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与三角形的三边切于点D,E,F，连接AD与内切圆相交于点P，连接PC,PE,PF,FD,ED，且PC⊥PF。 （1）求证：△PFD∽△PDC； （2）

EPPD? DEDC

7、（2012?十堰）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形； （3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求

的值．

8、（2004?武汉）已知：如图，直线y=kx+3（k＞0）交x轴于B点，交y轴于A点，以A为圆心，AB为半径作⊙A交x轴于另一点D，交y轴于E、F两点，交直线AB于C点，连接BE、CE，∠CBD的平分线交CE于I点． （1）求证：BE=IE；

（2）若AI⊥CE，设Q为弧BF上一点，连接DQ交y轴于T，连接BQ并延长交y轴于G点，求AT?AG的值；

（3）设P为线段AB上的一个动点（异于A、B），连接PD交y轴于M点，过P、M、B三点作⊙O1交y轴于另一点N．设⊙O1的半径为R，当不变；②

时，给出下列两个结论：①MN的长度

的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确

的结论并求出其值．

专题四、圆中的面积问题

1、（2013）如图，⊙O的半径r?25，四边形ABCD内接圆⊙O，AC?BD于点

H，P为CA延长线上的一点，且?PDA??ABD.

（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由： （2）若tan?ADB?长；

（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积.

2、（2013?钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．

（1）求⊙O的半径OD； （2）求证：AE是⊙O的切线； （3）求图中两部分阴影面积的和．

343?3，PA?AH，求BD的43

3、如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA＝4:3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．

（1）求证：AC·CD＝PC·BC；

（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；

（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S． C

A D

O B P 4、（四川省成都市2009）如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC＝BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结OG．

（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明； （2）求证：AE＝BF；

（3）若OG·DE＝3(2－2)，求⊙O的面积．

F C G D E A O

B

⌒上的5、如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB

任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过

点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．

C （1）求弦AB的长；

（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；

P D S43（3）记△ABC的面积为S，若＝，求△ABC的周长．

DE2A B E

O

6、如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心，顺次连接A、O1、B、O2． （1）求证：四边形AO1BO2是菱形； （2）过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE＝2O2D；

（3）在(2)的条件下，若△AO2D的面积为1，求△BO2D的面积．

专题五、中点在圆中的应用 1、（2011）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥ A C，垂足为K。过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．

(1)求证：AE=CK；

(2)如果AB=a，AD=a (a为大于零的常数)，求BK

13的长：

(3)若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．

2、（2014?长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E． （1）求证：DE⊥AC；

（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．

3、（2014?广安）如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G． （1）求证：E是AC的中点；

（2）若AE=3，cos∠ACB=，求弦DG的长．

4、（2010?苏州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．

（1）求证：OE∥AB； （2）求证：EH=AB； （3）若

，求

的值．

5、011?广州）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上． （1）证明：B、C、E三点共线；

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM； （3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．

6、（2011?金华）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF． （1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度； （2）当DE=8时，求线段EF的长； （3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

/2015中考圆答案

1、（略）

2、（2014?孝感）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）求证：△PCF是等腰三角形； （3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．

解答： 解：（1）∵PD切⊙O于点C， ∴OC⊥PD． 又∵AD⊥PD， ∴OC∥AD． ∴∠ACO=∠DAC． 又∵OC=OA， ∴∠ACO=∠CAO， ∴∠DAC=∠CAO， 即AC平分∠DAB． （2）∵AD⊥PD， ∴∠DAC+∠ACD=90°． 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠PCB+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠PCB． 又∵∠DAC=∠CAO， ∴∠CAO=∠PCB． ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACF=∠BCF， ∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF， ∴∠PFC=∠PCF， ∴PC=PF， ∴△PCF是等腰三角形． （3）连接AE． ∵CE平分∠ACB， ∴=， ∴． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°．

在Rt△ABE中，∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P， ∴△PAC∽△PCB， ∴． ． 又∵tan∠ABC=， ∴∴， ． 设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7， ∵PC+OC=OP， ∴（4k）+7=（3k+7）， ∴k=6 （k=0不合题意，舍去）． ∴PC=4k=4×6=24． 3、（2015?黄陂区校级模拟）如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，交连接AC、FC． （1）求证：∠ACF=∠ADB；

（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长； （3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，其值；若发生变化，请说明理由．

的值是否发生变化？若不发生变化，请求出

222222

解答： （1）证明：连接AB， ∵OP⊥BC， ∴BO=CO， ∴AB=AC， 又∵AC=AD， ∴AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， 又∵∠ABD=∠ACF，

∴∠ACF=∠ADB． （2）解：过点A作AM⊥CF交CF的延长线于M，过点A作AN⊥BF于N，连接AF， 则AN=m， ∴∠ANB=∠AMC=90°， 在△ABN和△ACM中 ， ∴Rt△ABN≌Rt△ACM（AAS） ∴BN=CM，AN=AM， 又∵∠ANF=∠AMF=90°， 在Rt△AFN和Rt△AFM中 ， ∴Rt△AFN≌Rt△AFM（HL）， ∴NF=MF， ∴BF+CF=BN+NF+CM﹣MF， =BN+CM=2BN=n， ∴BN=， ∴在Rt△ABN中，AB=BN+AN=m+在Rt△ACD中，CD=AB+AC=2AB=2m+∴CD= （3）解：的值不发生变化， 222222222=m+， 2， ． 过点D作DH⊥AO于N，过点D作DQ⊥BC于Q， ∵∠DAH+∠OAC=90°，∠DAH+∠ADH=90°， ∴∠OAC=∠ADH， 在△DHA和△AOC中 ， ∴Rt△DHA≌Rt△AOC（AAS）， ∴DH=AO，AH=OC， 又∵BO=OC， ∴HO=AH+AO=OB+DH， 而DH=OQ，HO=DQ， ∴DQ=OB+OQ=BQ， ∴∠DBQ=45°，

又∵DH∥BC， ∴∠HDE=45°， ∴△DHE为等腰直角三角形， ∴∴==， ． 4、（2013?成都模拟）已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中

点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=（1）求证：AM?MB=EM?MC； （2）求sin∠EOB的值；

（3）若P是直径AB延长线上的点，且BP=12，求证：直线PE是⊙O的切线．

．

解答： 解：（1）连接AE，BC， ∵∠AEC与∠MBC都为所对的圆周角， ∴∠AEC=∠MBC，又∠AME=∠BMC（对顶角相等）， ∴△AME∽△CMB， ∴AM：CM=EM：MB，即AM?MB=EM?MC； （2）如图，∵DC为⊙O的直径， ∴DE⊥EC， ∵DC=8，DE=∴EC=， ==7， 设EM=x，由于M为OB的中点， ∴BM=2，AM=6， ∴AM?MB=x?（7﹣x），即6×2=x（7﹣x）， 整理得：x﹣7x+12=0， 解得：x1=3，x2=4， ∵EM＞MC，∴EM=4， ∵OE=EM=4， ∴△OEM为等腰三角形， 过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF=OM=1， ∴EF===， 2

∴sin∠EOB=； ，PF=FB+BP=3+12=15， ==4， （3）在Rt△EFP中，EF=根据勾股定理得：EP=又OE=4，OP=OB+BP=4+12=16， ∴OE+EP=16+240=256，OP=256， ∴OE+EP=OP， ∴∠OEP=90°， 则EP为圆O的切线． 5、（2012?杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3（1）求∠COB的度数； （2）求⊙O的半径R； （3）点F在⊙O上（

是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它

，MN=2

．

222222的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．

解答： 解：（1）∵AE切⊙O于点E， ∴AE⊥CE，又OB⊥AT， ∴∠AEC=∠CBO=90°， 又∠BCO=∠ACE， ∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°， ∴∠COB=∠A=30°； （2）∵AE=3，∠A=30°， ，即EC=AEtan30°=3， ， ∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=∵OB⊥MN，∴B为MN的中点，又MN=2∴MB=MN=， ， 连接OM，在△MOB中，OM=R，MB=∴OB==， 在△COB中，∠BOC=30°，

∵cos∠BOC=cos30°=∴BO=∴OC=OC， OB==， ， 又OC+EC=OM=R， ∴R=2+3， 整理得：R+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0， 解得：R=﹣23（舍去）或R=5， 则R=5； （3）以EF为斜边，有两种情况，以EF为直角边，有四种情况，所以六种， 画直径FG，连接EG，延长EO与圆交于点D，连接DF，如图所示： ∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°， ∴FD=5， =15+5， ， 则C△EFD=5+10+5由（2）可得C△COB=3+∴C△EFD：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1． ∵EF=5，直径FG=10，可得出∠FGE=30°， ∴EG=5， =15+5， ）：（3+）=5：1． 则C△EFG=5+10+5∴C△EFG：C△COB=（15+56、（2011?潍坊）如图，AB是半圆O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q． （1）求证：△ABC∽△OFB；

（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长； （3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点．

． 解答： （1）证明：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°，即：AC⊥BC， 又OE⊥BC， ∴OE∥AC， ∴∠BAC=∠FOB， ∵BN是半圆的切线， ∴∠BCA=∠FBO=90°， ∴△ABC∽△OFB． （2）解：由△ACB∽△OBF得，∠OFB=∠DBA，∠BCA=∠FBO=90°， ∵AM、BN是⊙O的切线， ∴∠DAB=∠OBF=90°， ∴△ABD∽△BFO， ∴当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO， ∴AD=OB=1， ∵DP切圆O，DA切圆O， ∴DP=DA， ∵△ABD≌△BFO， ∴DA=BO=PO=DP， 又∵∠DAO=∠DPO=90°， ∴四边形AOPD是正方形， ∴DQ∥AB， ∴四边形ABQD是矩形， ∴BQ=AD=1； （3）证明：由（2）知，△ABD∽△BFO， ∴=， ==， ∴BF=∵DP是半圆O的切线，射线AM、BN为半圆O的切线， ∴AD=DP，QB=QP， 过Q点作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，

DQ=QK+DK， 222∴（AD+BQ）=（AD﹣BQ）+2． ∴BQ=， 222∴BF=2BQ， ∴Q为BF的中点． 专题二、三角函数在圆中的应用

1、（2014成都）如图，在圆O的内接ΔABC中，∠ACB=90°，AC=2BC,过C作AB的垂线l交圆O于另一点D，垂足为E，P为弧⌒AC上异于A、C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB与点C。 （1）求证：ΔPAC∽ΔPDF；

⌒（2）若AB=5，⌒AP=BP，求PD的长；

（3）在点P运动过程中，设写出x的取值范围）

AG?x，tan∠AFD=y，求y与x之间的函数关系式。（不要求BG

解：（1）同弧所对的圆周角相等∠PAC=∠PDC,∠AFD=∠ABP=∠ACP,∴ΔPAC∽ΔPDF；

⌒（2）⌒AP=BP且AB为直径；∴ΔAPB为等腰直角三角形；

又∵AB=5，AC=2BC；∴AC?25,BC?5；AP?BP?52； 2∴由射影定理可得DE=CE=2，BE=1，AE=4；

又∵∠APB=∠AEF=90°；∴∠AFE=∠ABP=45°；∴FE=AE=4；

5225APAC310?由（1）的相似可得,即2?,∴PD?。

PD6PDFD2（3）如图，过点G作GH┴PB于点H，

GH?y?tan?AFD?tan?ABP???HB∵?； ?x?AG?PH?BGHB?∴

yGHHBGH????tan?HPG； xHBPHPH⌒又∵⌒AP=BP；∴∠HPG=∠CAB；

∴

y1?tan?CAB? x21x. 2∴y与x之间的函数关系式为y?2、（2012?襄阳）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF． （1）求证：直线PA为⊙O的切线；

（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

解答： 解：（1）连接OB， ∵PB是⊙O的切线， ∴∠PBO=90°， ∵OA=OB，BA⊥PO于D， ∴AD=BD，∠POA=∠POB， 又∵PO=PO， ∴△PAO≌△PBO（SAS）， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∴OA⊥PA， ∴直线PA为⊙O的切线． （2）EF=4OD?OP． 证明：∵∠PAO=∠PDA=90° ∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°， ∴∠OAD=∠OPA， 2

∴△OAD∽△OPA， ∴=，即OA=OD?OP， 2又∵EF=2OA， ∴EF=4OD?OP． （3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6， ∴OD=BC=3（三角形中位线定理）， 设AD=x， ∵tan∠F=， ∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3， 在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）=x+3， 解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去）， ∴AD=4，OA=2x﹣3=5， ∵AC是⊙O直径， ∴∠ABC=90°， 又∵AC=2OA=10，BC=6， ∴cos∠ACB=22222=． ∵OA=OD?OP， ∴3（PE+5）=25， ∴PE=． 3、（2014?武侯区校级自主招生）如图，⊙O与直线PC相切于点C，直径AB∥PC，PA交⊙O于D，BP交⊙O于E，DE交PC于F． （1）求证：PF=EF?FD；

（2）当tan∠APB=，tan∠ABE=，AP=

时，求PF的长；

2

（3）在（2）条件下，连接BD，判断△ADB是什么三角形？并证明你的结论．

Rt△． 解答： 解：（1）∵AB∥PC， ∴∠BPC=∠ABE=∠ADE． 又∵∠PFE=∠DFP，△PFE∽△DFP， ∴PF：EF=DF：PF，PF=EF?FD． （2）连接AE， ∵AB为直径， ∴AE⊥BP． ∵tan∠APB==，tan∠ABE==a=， ， ． 2令AE=a，PE=2a，BE=3a，AP=∴a==AE，PE=，BE=∵PC为切线， ∴PC=PE?PB=4． ∴PC=2． ∵FC=FE?FD=PF∴PF=FC=∴PF=1． （3）△ADB为等腰直角三角形． ∵AB为直径， ∴∠ADB=90°． ∵PE?PB=PA?PD， ∴PD=2BD===AD． 222=1， ∴△ADB为等腰Rt△． 4、（2014?盘锦）如图，△ABC中，∠C=90°，点G是线段AC上的一动点（点G不与A、C重合），以AG为直径的⊙O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交BC于点E，连结DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若cosA=，AB=8（3）若cosA=，AB=8

，AG=2

，求BE的长；

，直接写出线段BE的取值范围．

解答： （1）证明：连接OD，如图， ∵△ABC中，∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵直线EF垂直平分BD， ∴ED=EB， ∴∠B=∠EDB， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ODA， ∴∠ODA+∠EDB=90°， ∴∠ODE=90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：连接GD， ∵AG为直径， ∴∠ADG=90°， ∵cosA=， ∴∠A=60°， ∴∠AGD=30°， ∴AD=AG=∵AB=8， ﹣=7， ， ∴BD=AB﹣AD=8∵直线EF垂直平分BD， ∴BF=BD=， 在Rt△BEF中，∠B=30°， ∴EF=BF=， ∴BE=2EF=7； （3）解：∵cosA=， ∴∠A=60°， ∴∠B=30°， ∴AC=AB=4， 由（2）得AD=AG， BF=（AB﹣AD）=4﹣AG，

在Rt△BEF中，∠B=30°， ∴EF=BF， BF=（4﹣AG）=8﹣， AG， ∴BE=2EF=∵0＜AG＜AC，即0＜AG＜4∴6＜BE＜8． 专题三、相似三角形与圆的综合应用 1、（略）

2、（2014?镇江）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．

（1）求证：EA是⊙O的切线；

（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似； （3）已知AF=4，CF=2．在（2）条件下，求AE的长．

解答： （1）证明：如图1，连接CD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠ADB+∠EDC=90°， ∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB， ∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°， ∴EA是⊙O的切线． （2）证明：如图2，连接BC，

∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， ∴∠CBA=∠ABC=90° ∵B是EF的中点， ∴在RT△EAF中，AB=BF， ∴∠BAC=∠AFE， ∴△EAF∽△CBA． （3）解：∵△EAF∽△CBA， ∴=， ∵AF=4，CF=2． ∴AC=6，EF=2AB， ∴=，解得AB=2， ==4， ． ∴EF=4∴AE=3、（2013?桂林）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AD交AB于E，以AE为直径作⊙O． （1）求证：点D在⊙O上； （2）求证：BC是⊙O的切线；

（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面积．

解答： （1）证明：连接OD， ∵△ADE是直角三角形，OA=OE， ∴OD=OA=OE， ∴点D在⊙O上； （2）证明：∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD=∠DAB， ∵OD=OA， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠CAD=∠ODA， ∴AC∥OD， ∴∠C=∠ODB=90°，

∴BC是⊙O的切线； （3）解：在Rt△ACB中，AC=6，BC=8， ∴根据勾股定理得：AB=10， 设OD=OA=OE=x，则OB=10﹣x， ∵AC∥OD，△ACB∽△ODB， ∴==，即=， ，BE=10﹣2x=10﹣=， ， 解得：x=∴OD=∵=，即=， ∴BD=5， 过E作EH⊥BD， ∵EH∥OD， ∴△BEH∽△BOD， ∴=，即=， ∴EH=， ∴S△BDE=BD?EH=． 4、（2012?泰州）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2）若PC=2围．

，求⊙O的半径和线段PB的长；

（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范

解答： 解：（1）AB=AC，理由如下：

连接OB． ∵AB切⊙O于B，OA⊥AC， ∴∠OBA=∠OAC=90°， ∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°， ∵OP=OB， ∴∠OBP=∠OPB， ∵∠OPB=∠APC， ∴∠ACP=∠ABC， ∴AB=AC； （2）延长AP交⊙O于D，连接BD， 设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r， 则AB=OA﹣OB=5﹣r， AC=PC﹣PA=∴5﹣r=解得：r=3， ∴AB=AC=4， ∵PD是直径， ∴∠PBD=90°=∠PAC， 又∵∠DPB=∠CPA， ∴△DPB∽△CPA， ∴∴==， ， ． ； 22222222222﹣（5﹣r）， ﹣（5﹣r）， 2解得：PB=∴⊙O的半径为3，线段PB的长为 （3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出OE=AC=AB=又∵圆O与直线MN有交点， ∴OE=≤2r， 25﹣r≤4r， r≥5， ∴r≥， 又∵圆O与直线相离， ∴r＜5， 222 ≤r，

即≤r＜5． 5、（2012?德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．

（1）求证：AE?FD=AF?EC； （2）求证：FC=FB；

（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．

解答： （1）证明：∵BD是⊙O的切线， ∴∠DBA=90°， ∵CH⊥AB， ∴CH∥BD， ∴△AEC∽△AFD， ∴=， ∴AE?FD=AF?EC． （2）证明：连接OC，BC，

∵CH∥BD， ∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF， ∴∴==，==， ， ∵CE=EH（E为CH中点）， ∴BF=DF， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=∠DCB=90°， ∵BF=DF， ∴CF=DF=BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 即CF=BF． （3）解：∵BF=CF=DF（已证），EF=BF=2， ∴EF=FC， ∴∠FCE=∠FEC， ∵∠AHE=∠CHG=90°， ∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°， ∵∠AEH=∠CEF， ∴∠G=∠FAG， ∴AF=FG， ∵FB⊥AG， ∴AB=BG， ∵BF切⊙O于B， ∴∠FBC=∠CAB， ∵OC=OA，CF=BF， ∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC， ∴∠FCB=∠CAB， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠BCO=90°， ∴∠FCB+∠BCO=90°， 即OC⊥CG， ∴CG是⊙O切线， ∵GBA是⊙O割线，AB=BG（已证）， FB=FE=2， ∴由切割线定理得：（2+FG）=BG×AG=2BG， 在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG=FG﹣BF， ∴FG﹣4FG﹣12=0， 解得：FG=6，FG=﹣2（舍去）， 由勾股定理得： AB=BG=∴⊙O的半径是2=4． ， 222222

6、（略） 7、（略）

8、（2004?武汉）已知：如图，直线y=kx+3（k＞0）交x轴于B点，交y轴于A点，以A为圆心，AB为半径作⊙A交x轴于另一点D，交y轴于E、F两点，交直线AB于C点，连接BE、CE，∠CBD的平分线交CE于I点． （1）求证：BE=IE；

（2）若AI⊥CE，设Q为弧BF上一点，连接DQ交y轴于T，连接BQ并延长交y轴于G点，求AT?AG的值；

（3）设P为线段AB上的一个动点（异于A、B），连接PD交y轴于M点，过P、M、B三点作⊙O1交y轴于另一点N．设⊙O1的半径为R，当不变；②

时，给出下列两个结论：①MN的长度

的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确

的结论并求出其值．

解答： （1）证明：∵AE⊥BD， ∴弧BE=弧DE． ∴∠1=∠2． ∵∠3=∠4，∠5=∠2+∠3，∠IBE=∠1+∠4， ∴∠5=∠IBE． ∴BE=IE． （2）解：连接QC、TB， 则∠6+∠CBQ=90°，

又∠7+∠8=90°，而∠6=∠7， ∴∠CBQ=∠8=∠9． ∴△ABG∽△ATB． ∴AB=AG?AT． ∵AI⊥CE， ∴I为CE的中点． ∴AE=AC，IE=IC． ∴△BEO∽△CBE． ∴OE：OB=BE：CE=1：2． 设⊙A的半径为R， 由AB﹣OA=BO，OE=R﹣3， 得R﹣3=4（R﹣3） 解得R=5，或R=3（不合题意，舍去）． ∴AT?AG=AB=25． （方法二提示：可连接AD、CD证△BAG∽△TAD） （3）解：②的值不变． 证明：作O1K⊥MN于K，连接O1N、PN、BM， 则MN=2NK，且∠N O1K=∠1， ∴==2sin∠NO1K=2sin∠1 22222222由直线y=x+3得OB=OD=4，OM⊥BD， ∴∠2=∠3． 又∠2=∠4+∠5，∠3=∠1+∠6， ∵∠5=∠6， ∴∠1=∠4=∠NO1K，所以=2sin∠4=2×=． 的值不变，其值为． 专题四、圆中的面积问题

1、(1)如图，连接DO并延长交圆于点E，连接AE ∵DE是直径，∴∠DAE=90°， ∴∠E+∠ADE=90°

∵∠PDA=∠ADB=∠E

∴∠PDA+∠ADE=90°即PD⊥DO ∴PD与圆O相切于点D (2) ∵tan∠ADB=

34

∴可设AH=3k,则DH=4k ∵PA?43?3AH3

∴PA=(43?3)k ∴PH=43k

∴∠P=30°，∠PDH=60°

∴∠BDE=30°

连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50 ∴BD=DE·cos30°=253

(3)由（2）知，BH=253-4k，∴HC=

2又∵PD?PA?PC

4(253-4k) 32∴(8k)?(43?3)k?[43k?4(253?4k)] 3解得k=43?3 ∴AC=3k?4(253?4k)?243?7 3∴S=

111753 BD?AC??253?(243?7)?900?22212x?2x?1 228．（1）y??（2）M的坐标是（1-5，-5-2）、（1+5，5-2）、（4，-1）、（2，-3）、（-2，-7）

（3）

PQ10的最大值是/

NP?BQ52、（2013?钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．

（1）求⊙O的半径OD； （2）求证：AE是⊙O的切线；

（3）求图中两部分阴影面积的和．

解答： 解：（1）∵AB与圆O相切， ∴OD⊥AB， 在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD=∴OD=3； （2）连接OE， ∵AE=OD=3，AE∥OD， ∴四边形AEOD为平行四边形， ∴AD∥EO， ∵DA⊥AE， ∴OE⊥AC， 又∵OE为圆的半径， ∴AE为圆O的切线； （3）∵OD∥AC， ∴=，即=， =， ∴AC=7.5， ∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5， ∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG =×2×3+×3×4.5﹣=3+=﹣ ． 3略 4略 5略 6略

专题五、中点在圆中的应用、 1、略

2、（2014?长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E． （1）求证：DE⊥AC；

（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．

解答： （1）证明：连接OD， ∵D是BC的中点，OA=OB， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE， ∴DE⊥AC； （2）解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵DE⊥AC， ∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°， ∴∠ADE=∠DCE 在△ADE和△CDE中， ∴△CDE∽△DAE， ∴， 设tan∠ACB=x，CE=a，则DE=ax，AC=3ax，AE=3ax﹣a， ∴解得：x=∴tan∠ACB=，整理得：x﹣3x+1=0， ， 或． 2（可以看出△ABC分别为锐角、钝角三角形两种情况）

3、014?广安）如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G． （1）求证：E是AC的中点；

（2）若AE=3，cos∠ACB=，求弦DG的长．

解答： （1）证明：连AD，如图 ∵AB为⊙O的直径，∠CAB=90°， ∴AC是⊙O的切线， 又∵DE与⊙O相切， ∴ED=EA， ∴∠EAD=∠EDA， 而∠C=90°﹣∠EAD，∠CDE=90°﹣∠EDA， ∴∠C=∠CDE， ∴ED=EC， ∴EA=EC， 即E为AC的中点； （2）解：由（1）知，E为AC的中点，则AC=2AE=6． ∵cos∠ACB=， 设AC=2x，BC=3x， 根据勾股定理，得AB=∴sin∠ACB=． =（3x）﹣（2x）=22x， 连接AD，则∠ADC=90°， ∴∠ACB+∠CAD=90°， ∵∠CAD+∠DAF=90°， ∴∠DAF=∠ACB， 在Rt△ACD中，AD=AC?sin∠ACB=6×=．

在Rt△ADF中，DF=AD?sin∠DAF=AD?sin∠ACB=∴DG=2DF=． ×=， 4略

5、（2011?广州）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上． （1）证明：B、C、E三点共线；

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM； （3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．

解答： （1）证明：∵AB是直径， ∴∠BCA=90°， 而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角， ∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°， ∴B、C、E三点共线； （2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图1， ∵CB=CA，CD=CE， ∴Rt△BCD≌Rt△ACE， ∴BD=AE，∠EBD=∠CAE， ∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BF⊥AE， 又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点， ∴ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM； ∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形， ∴MN=OM； （3）成立． 理由如下：如图2，连接BD1，AE1，ON1， ∵∠ACB﹣∠ACD1=∠D1CE1﹣∠ACD1， ∴∠BCD1=∠ACE1， 又∵CB=CA，CD1=CE1， ∴△BCD1≌△ACE1， 与（2）同理可证BD1⊥AE1，△ON1M1为等腰直角三角形， 从而有M1N1=OM1． 6、 14．（2011?金华）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF． （1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度； （2）当DE=8时，求线段EF的长；

（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解答： 解：（1）连接BC， ∵A（10，0），∴OA=10，CA=5， ∵∠AOB=30°， ∴∠ACB=2∠AOB=60°， ∴弧AB的长= （2）①若D在第一象限， 连接OD， ∵OA是⊙C直径， ∴∠OBA=90°， 又∵AB=BD， ∴OB是AD的垂直平分线， ∴OD=OA=10， 在Rt△ODE中， OE==， ；（4分） ∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4， 由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA， 得△OEF∽△DEA， ∴，即， ∴EF=3；（4分） ②若D在第二象限， 连接OD， ∵OA是⊙C直径， ∴∠OBA=90°， 又∵AB=BD， ∴OB是AD的垂直平分线， ∴OD=OA=10， 在Rt△ODE中， OE==， ∴AE=AO+OE=10+6=16， 由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA， 得△OEF∽△DEA， ∴，即=， ∴EF=12； ∴EF=3或12； （3）设OE=x， ①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角

形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB， 当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC 中点，即OE=， ∴E1（，0）； 当∠ECF=∠OAB时，有CE=5﹣x，AE=10﹣x， ∴CF∥AB，有CF=∵△ECF∽△EAD， ∴∴E2（，即，0）； ，解得：， ， ②当交点E在点C的右侧时， ∵∠ECF＞∠BOA， ∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO， 连接BE， ∵BE为Rt△ADE斜边上的中线， ∴BE=AB=BD， ∴∠BEA=∠BAO， ∴∠BEA=∠ECF， ∴CF∥BE， ∴， ∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°， ∴△CEF∽△AED， ∴， 而AD=2BE， ∴即∴E3（， ，解得，0）； ，＜0（舍去）， ③当交点E在点O的左侧时， ∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF． ∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO 连接BE，得BE=∴∠ECF=∠BEA， =AB，∠BEA=∠BAO

∴CF∥BE， ∴， 又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°， ∴△CEF∽△AED， ∴， 而AD=2BE， ∴∴解得x1=， ， ，x2=， ∵点E在x轴负半轴上， ∴E4（，0）， 综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似， 此时点E坐标为：E1（，0）、E2（，0）、E3（，0）、E4（，0）．（4分）

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