太阳能电池板的安放

一、摘要

广泛联系实际及生活中的现象，通过向日葵的向日原理，普通跟踪装置的设定原理，总结出最佳方案及最适结果。 接着建立出太阳高度角、太阳方位角，关于时间的函数，求出数学表达式，绘制出函数图象。建立适当的空间直角坐标系，以太阳高度角、太阳方位角来确定太阳能能电池版面的指向，绘制出三维立体直观图。关于太阳能电板的利用率问题和电板转动与太阳偏转角的关系，是第一部分探讨的两大重点，我们通过将具体问题模型化，绘制基本的数学模型，并运用数学上的平面几何知识，及网上所查到的资料，自主推导有用的公式及原理。并绘制简单的图象来清晰的表述。

然后带入数据，以2010年11月20日各整点时刻计算出太阳的高度角与方位角。同时，选取适当的时间进行实地测量。绘制出表格，计算平均相对误差，检验模型解得准确性。

最后对误差和模型本身进行分析，总结出建模时未考虑到的因素对结果的影响，明确继续努力的方向。

二、问题的提出

目前，由于人类过度的开采石油等消耗性能源，并大肆的浪费，使得当今社会的可用能源已经所剩无几，开发新能源及清洁能源是当务之急，而太阳能是一种既清洁又富有的理想能源，但如何更好的收

集与利用则是一个难题。现如今，人类利用太阳能有以下两种形式

一种是太阳能热利用，即利用太阳能辐射能加热集热器，把吸收的热能直接加以利用，如太阳能热水器、太阳能空调、太阳能温室等。另一种是将太阳辐射能转化为电能加以利用。这种光电转换是通过半导体物质直接将太阳辐射能转换为电能，通常称这种过程为光伏打效应，如太阳能电池等。

而太阳能电板是收集太阳能的常用工具，它的运用广泛，但应用方法却极为严格，在诸如GPS卫星这样的重要设备上，要求对日定向系统控制太阳能电池板旋转，使板面始终对准太阳，吸收最大单位面积的太阳能量，以便为设备不断提供电力。

经考察得知，当太阳光正对电池板时，单位面积的太阳能吸收量是最大的，所以，只有在适当的利用太阳能电板的情况下才能收集到更多的太阳能，为此，我们小组通过大量的研究，并以我校综合楼为研究对象，针对“在综合楼上安装太阳能电池，指明太阳能电池板在各个时刻应该指向的方向”的问题，经过激烈的探讨，以求初步解决太阳能电池板对日定向问题。

三、问题的分析

要使得安装的太阳能电池始终对准太阳，即要求太阳光始终垂直照射太阳能电池板，由于太阳会随时间的推移而移动，所以太阳能电池板要随时间推移而转动，这就会产生以下两个问题： （1） 电池板转动的方式及太阳能利用率;

2

（2） 电池板随太阳转动时太阳角度与电池板转动角度之间的关系。

对于以上两个问题，我们分步讨论。

首先问题（1），我们将使电池板转动的装置称作是太阳能自动跟踪系统，是通过对太阳能阵列的角度，方向调整，让太阳能电池阵列最大限度的吸收直射太阳光。

对于北半球而言，太阳位于南方，并且永远不会处于我们所处位置的正上方，因此我们需要将太阳能电池板面向南方，并设置一个特定的偏角，由此可以使得太阳能电池板更大限度的接受太阳能。

如此，我们有如下两种跟踪系统：

1.单轴：设定一定角度的主轴（平均偏角），太阳能电池阵列面朝南方。这种阵列设计简单，自损耗电力小，可以将太阳能电池阵列由东向西调整。其中的初始偏角为太阳一天之内对当地照射角度的平均值的余角数值）

2.双轴：设定未固定角度的主轴，太阳能电池阵列初东西方向调整外，还可以南北方向调整，使得太阳光每时每刻都可以垂直照射电池板，这种阵列设计较为复杂，但太阳能电池发电量也更多。 除此之外，太阳能电池板间的距离也与太阳能的利用率有很大的E 关系，下面我们来看两个非常简单的图。

A

3

B D C

其中，粗实线表示太阳能电池板阵列，细箭头型实线表示太阳光。 设每块太阳能能电池板长度为L，宽度为D，厚度不计，电池板总共有N块，除第一块外每块电池板的受光部分FD长度为H

如果太阳能电池板按此角度排列，我们可以很容易的得出，整个电池板的受光面积

S总?L?D?NS?(H?(N?1)?L)?D?S?S总?，而电池板总面积

L?N，因此，受光率为?H（N-1）?L。另η尽可能的

大，则只需另H尽可能的趋近于L，也就是令被遮挡的部分尽可能的小。而在一天之内，如利用上述双轴跟踪系统，则需在日照角度最小时，阳光透过前一太阳能板的上边缘刚好能照到后一太阳能板的下边缘，即可得到下图（η为1）。

因此，对于单轴跟踪装置，只需算出平均偏角即可，而对于双轴跟踪装置，应对每一时刻的太阳高度角及太阳方位角做详细的计算。

同时，太阳能交流发电系统是由太阳电池板、充电控制器、逆变器和蓄电池共同组成；太阳能直流发电系统则不包括逆变器。为了使太阳能发电系统能为负载提供足够的电源，就要根据用电器的功率，

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E B D A C

合理选择各部件。下面以100W输出功率，每天使用6个小时为例，介绍一下计算方法：

（1）首先应计算出每天消耗的瓦时数(包括逆变器的损耗)：若逆变器的转换效率为90％，则当输出功率为100W时，则实际需要输出功率应为100W/90％=111W；若按每天使用5小时，则耗电量为111W*5小时=555Wh。

1.计算太阳能电池板：按每日有效日照时间为6小时计算，再考虑到充电效率和充电过程中的损耗，太阳能电池板的输出功率应为555Wh/6h/70%=130W。其中70％是充电过程中，太阳能电池板的实际使用功率。

也就是说，太阳能电池板一天之内的工作效率实际上还与一日之内日照时间有关，而昼长=（12-日出地的地方时）*2所以可估算出大连的平均昼长。

而根据向日葵的向日原理：向日葵从发芽到花盘盛开之前这一段时间，是向日的，其叶子和花盘在白天追随太阳从东转向西，不过并非即时的跟随，植物学家测量过，其花盘的指向落后太阳大约12度，即48分钟。太阳下山后，向日葵的花盘又慢慢往回摆，在大约凌晨3点时，又朝向东方等待太阳升起。

我们可以得出，太阳能电池板也应在太阳下山后，板面渐渐回摆，在凌晨3时左右，面向东方。

对于问题（2）太阳转动角度与电池板偏转角度间的关系可用如下数学模型图和公式表示

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α A A` C

P

γ β

其中，A表示某一时刻太阳的位置，A·表示标准位置即太阳处于赤道正上方，半圆O为地球，O为地心，P为综合楼，则偏角β为太阳转 角，偏角α为太阳能电池板偏角，γ表示PC两点的球面角（综合楼所处纬度）。

我们不妨设地球半径为r，地日间距离为h，则多次运用余弦定理及基本平面几何原理可得到有如下公式：

其中e2

2O cos??e?d?y2?e?d222

?r?(h?r)?2r(h?r)cos(???)222

d?x?(h?r?22r?x)222

x?rsin?y?2(h?r)(1?cos?)

如此，我们可以很好的将太阳的转角与太阳能电池板转角联系起来，并且只需知道以下几样数据：

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① 地球半径；②地日距离；③综合楼所处纬度（近似为海事大学所处纬度）；④太阳高度角；⑤太阳方位角。

其中，① 地球半径

地球不是一个规则的物体。首先，它不是正球体，而是椭球

体，准确地说是一个两极稍扁，赤道略鼓的扁球体； 其次，地球的南极、北极也不对称，就海平面来说，北极稍凸，南极略凹；第三，地球的外部地形起伏多变（这在测量地球半径时是没有影响的）。地球这种不规则的形状意味着在不同的地方测量，其半径也不同。

地球的半径有三个常用值：

极半径：是从地心到北极或南极的距离，大约3950英里(6356.755 公里)（两极的差极小，可以忽略）。

赤道半径：是从地心到赤道的距离，大约3963英里(6378.140 公里)。

平均半径：大约3959英里(6371.004 公里) 。这个数字是地心到地球表面所有各点距离的平均值。

可以这样求：平均半径=(赤道半径^2×极半径)^(1/3)。 地球半径有时被使用作为距离单位, 特别是在天文学和地质学中常用。它通常用RE表示。

地球大概半径6371.004千米 ②地日距离

发自太阳到达地球表面的辐射能量与日地间距离的平方成反

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比，因此，一个准确的日地距离值R就变得十分重要了。日地平均距离R0，又称天文单位， 1天文单位=1.496×108km

或者，更准确地讲等于149597890±500km。日地距离的最小值（或称近日点）为0.983天文单位，其日期大约在1月3日；而其最大值（或称远日点）为1.017天文单位，日期大约在7月4日。地球处于日地平均距离的日期为4月4日和10月5日。

由于日地距离对于任何一年的任何一天都是精确已知的，所以这个距离可用一个数学表达式表述。为了避免日地距离用具体长度计量单位表示过于冗长，一般均以其与日地平均距离比值的平方表示，即ER=（r／r0）2，也有的表达式用的是其倒数，即r0／r。 ② 综合楼所处纬度（近似为海事大学所处纬度）；

大连的纬度为39°01’-39°05’N，取中值39°03′作为大连海事大学纬度

而对于④，⑤，我们需要单独另行计算，下面为计算过程。

四、建模的过程

1．建立初级模型

对于太阳高度角而言，以前有一种基本的测量经验和方法：

1．将一张白纸横向对折，再竖向对折，中间形成十字坐标折痕。

用直尺、铅笔将折痕描画清楚。交叉点为O;

2．将白纸放在阳光下的平地上，将三角板的直角顶与O点对准，

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其一条直角边压在纵向的一条坐标线上;

3．右手拿纸和一角，左手扶住三角板，连纸带三角板一起转动，使三角板的斜边正对太阳的方向，使三角板的一条细细的阴影正好投射在相反的一条坐标线上。用铅笔标出阴影顶点的位置，为A点; 4．将三角板放倒，使两条直角边与两条坐标线重合，用铅笔标出三角板直立的那条直角边的长度，为B点;

5．拿走三角板，用直线连接AB两点。用量角器(半圆仪)测量A的角度，即是当时太阳高度.

A

O

此种方法简便易行，但并不准确，而且只能测出某一时刻但不能用准确的数学公式表达，因此我们参考《百度百科》中关于太阳高度角和太阳方位角的介绍，总结出如下精确全面的算法: 2.建立高级模型

地球绕太阳公转的轨道是椭圆形的，太阳位于椭圆两焦点中的一个。地球绕太阳公转的轨道平面称黄道面，而地球的自转轴称极轴。极轴与黄道面不是垂直相交，而是呈66.5°角，也就是我们所谓的黄赤交角，这个角度在公转中始终维持不变。正是由于这一原因形成了每日中午时刻太阳高度的不同，以及随之而来的四季的变迁。

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B

A 太阳赤纬角在周年运动中任何时刻的具体值都是严格已知的，，其具体的数值满足公式：

??0.3723?23.2567sin??0.1149sin2??0.1712sin3??0.758cos??0.3656cos2??0.0201cos3?其中θ称为日角，有公式

（1）

??2?t365.2422（2）

其中 t=N－N0 （3） N为积日（日期在年内的顺序号）

N0?79.6764?0.2422?（年份?1985）?int（年份?19854）（4）

由（2）（3）（4）式可得：

2?(N?79.6764?0.2422?(年份?1985)?int(年份?19854))??365.2422

太阳高度角:对于地球上的某个地点，太阳高度是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角,专业上讲太阳高度角是指某地太阳光线与该地作垂直于地心的地表切线的夹角。(如图所示，来自百度百科）

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用 h来表示这个角度，它在数值上等于太阳在天球地平坐标系中的地平高度。

太阳高度角随着地方时和太阳的赤纬的变化而变化。太阳赤纬（与太阳直射点纬度相等）以δ表示，观测地地理纬度用φ表示（太阳赤纬与地理纬度都是北纬为正，南纬为负），时角（ 过天球上一点的赤经圈与子午圈所交的球面角）以t表示，这就有了太阳高度角的计算公式：

sin H＝sin φ sin δ＋cos φ cos δ cos T(5) 其中δ就是太阳赤纬角，计算方式（1）中已给出，φ为当地的地理纬度，T为当时的太阳时角(当地时间12点时的时角为零，前后每隔一小时，增加360/24=15)。即T=15｜测量时刻－12｜ 太阳方位角：太阳所在的方位，指太阳光线在地平面上的投影与当地子午线的夹角，可近似地看作是竖立在地面上的直线在阳光下的阴影与正南方的夹角。方位角以正南方向为零，向西逐渐变大，向东逐渐变小，直到在正北方合在±180°。(如图所示，来自百度百科)

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太阳方位角也有它的公式

cosL?sinHsin??sin?cosHcos?（6）

其中，H为（5）式求得的太阳高度角，δ为（1）式求得的太阳赤纬角，φ为当地的地理纬度。

经过我们实地考察，再结合校园地图，发现大连海事大学的综合楼几乎是正南正北的，这使我们建立坐标系方便了许多。

（此图节选于大连海事大学校园图） 如下图所示，以综合楼外置为坐标原点，综合楼面朝方向（我们在此视为正南方向）为X轴正方向，综合楼左侧（我们在此视为正东方向）为Y轴正方向，垂直综合楼地基面竖直向上的方向为Z轴正方向，建立空间直角坐标系：

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z

x N L H y M

其中O点代表大连海事大学综合楼，M为t时刻太阳所在的空间位置。则，角H即为上文所说的太阳高度角，角L即为所求的太阳方位角。那么在此时时刻，太阳能电板面的指向应为：倾斜角（与水平地面夹角）H，南偏西L（12-24时）或南片东-L（0-12时）。

??0.3723?23.2567sin??0.1149sin2??0.1712sin3??0.758cos??0.3656cos2??0.0201cos3?2?(N?79.6764?0.2422?(年份?1985)?int(

年份?19854))??365.2422sin H＝sin φ sin δ＋cos φ cos δ cos T T=15｜测量时刻－12｜

cosL?sinHsin??sin?cosHcos?13

由上述公式，即可求得H和L的值。

3．代入数据绘制函数图象

我们只需查阅大连的地理数据，结合（5）（6）式，便可得到，大连海事大学综合楼处，各个时刻太阳的位置（太阳高度角H和方位角L），也就能确定太阳能电池板面在相应时刻的指向。

大连的纬度为39°01’-39°04’N，以今年2010年11月20日星期六14时为例，按照上面所说的计算方法。（以下数据全采用角度制）

2?(324?79.6764?0.2422?(2010?1985)?int(2010?19854))????4.20210172365.2422??0.3723?23.2567sin4.20210172?0.758cos4.20210172?0.3656?0.1149sin(2?4.20210172)?0.1712sin(3?4.20210172)

cos(2?4.20210172)?0.0201cos(3?4.20210172)??1.6811855

sin H＝sin39.03 sin1.6811185＋cos 39.03 cos 1.6811185 cos 30

=0.6909273358

H=arc sin0.6909273358=43.70356043 °

cos L=（0.6909273358sin39.03－sin1.6811185）／

cos43.70356043cos1.6811185

=0.5615161585

L=arccos0.5615161585=55.83928482°

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所以可以求得，2010年11月20日星期六14时，大连海事大学综合楼处，太阳高度角43.70356043 °,太阳方位角55.83928482°该时刻电池板面的最佳指向应该是：倾斜角（与水平地面夹角）43.70356043 °，南偏西55.83928482°。

其它时刻太阳高度角与方位角的算法与上述算法相同，在此就不再举了。由此可见，只要按照前文所给出的公式，代入数据计算，便可求出大连海事大学综合楼上太阳能电板面在各个时刻应该指向的方向。

我们用几何画板分别绘制了太阳高度角和太阳方位角关于时间X的函数图象

函数表达式H=arcsin(sin39.03sin1.6811185+

cos39.03cos1.6811185cos(15｜X-12｜)

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函数表达式L=arcos［sinHsin39.03-sin1.6811185)/cosHcos39.03 ］

由此，也就可以得到太阳能电池版面的指向：倾斜角（与水平面的夹角）等于太阳高度角，旋转角（与正南方向的夹角，向西偏为正）。等于太阳方位角。

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5.将函数图象转化为三维直观图

根据公式可依次算出在一天内每一个整点时刻太阳的高度角和方位角。如下图所示三维直观图像，o点为大连海事大学综合楼所在处，从左至右圆点分别表示6时至12时，太阳直射光线上的点，模拟出太阳直射光线的运动轨迹。

y 65° 45° x M z 12时到18时的图像应与上图对称。

每一时刻，由于太阳光垂直照射，则太阳能电池板方向应与轨迹

上点与原点间连线垂直。太阳能电板与水平面所夹角度即为太阳高度角，东西方向偏转角度，即为太阳方位角。

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5.检验模型解

已经得到了模型解，下一步的工作就是检验数据。我们采用了“立竿见影”法，具体步骤见下文：

如图所示，将一支长度为178mm的中华2B铅笔直立于综合楼门前，图中用线段AB表示。记录12点整是，该铅笔再水平地面上的投影BA0，于是角H0即为正午太阳高度角，A0。任意X时刻，该铅笔在水平地面上的投影为BAx，则角H即为该时刻太阳的高度角，角，H=arctan(AB/BAx)。角L即为该时刻太阳的方位角，用量角器直接量取。

将按公式计算出的数据与实地测量的数据进行对比，绘制成如下表格：（由于时间有限，所以我们值测量了8到17时的数据。）

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时刻 影长实地测量H （度） 模型计算H 实地测量L 模型计算L （度） 1.05855 12.6763 23.9987 34.5782 43.7036 50.2192 52.6511 50.2192 43.7036 34.5782 23.9987 12.6763 1.05855 （度） 未测量 未测量 （h） (cm) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （度） 91.3061 81.7422 71.3635 59.1423 43.7361 23.8488 0 23.8488 43.7361 59.1423 71.3635 81.7422 91.3061 未测量 未测量 未测量 未测量 40.1 25.5 18.6 15.2 13.5 15.3 18.2 24.2 39.6 79.1 23.9359 34.9165 43.7409 49.5049 52.8223 49.3192 43.3634 36.3358 24.2036 12.6821 72 60 45 23 未测量 24 44 59 70 81 未测量 未测量 未测量 （由于时间有限，所以我们值测量了8到17时的数据。）

计算平均相对误差（及每项相对误差的平均值，计算公式以省略。）

EH=1.17% EL=1.92%

所计算的平均误差在科学允许的误差范围之内，因此此模型可以使用。

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五、模型的评价与改进

在建模的过程中，我们没有充分的考虑到地球大气层对太阳光线的折射与散射。而且公式中的φ，我们带入的是大连地区的纬度，并不是大连海事大学综合楼的实际纬度。这就使得按照公式（5）（6）算出来的太阳高度角、太阳方位角与真实值相比是有误差的。此外，学校的教学楼的朝向并不是严格的正南方向，我们测量结果为南偏东10°左右。这就对太阳能版面的指向产生一定的影响。

在实地测量的过程中，由于测量的时间并不是我们计算式用的整点时刻，以及所用测量仪器较为简单，测量误差较大，这也会对实地测量结果产生一定的影响。

如果考虑到上述因素，再考虑的经济成本、旋转时所需要的能量，安装时的要求、周围建筑的遮挡，太阳能版面与板面的遮挡等等诸多因素。此外，对于太阳能电池板的自身设计而言，排列方式是行列式还是同心圆式？是单块面板还是多块面板？所以凭我们现在所学知识，还不能够在短时间内建立出一个如此高级的数学模型。但我们相信，随着我们所学知识的不断深入，所积累的经验不断丰富，我们一定能够建立出更加精确的数学模型。

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六、声明与参考文献

本组成员郑重声明：所呈交的数学建模论文，是本组成员独立研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。所有的数据都由本组成员计算得出，保证有理有据。所有的借鉴的图像均已表明来源，其余图象都是本组成员自行绘制的。本文中借鉴参考资料的地方均在文中明确标出。

本组成员完全意识到本声明的法律责任由本组成员承担。

参考资料来源《百度百科》 大连海事大学图书馆

组员签名：

2010年11月21日

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六、声明与参考文献

本组成员郑重声明：所呈交的数学建模论文，是本组成员独立研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。所有的数据都由本组成员计算得出，保证有理有据。所有的借鉴的图像均已表明来源，其余图象都是本组成员自行绘制的。本文中借鉴参考资料的地方均在文中明确标出。

本组成员完全意识到本声明的法律责任由本组成员承担。

参考资料来源《百度百科》 大连海事大学图书馆

组员签名：

2010年11月21日

21

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tsrg.html