2019九年级数学上册 专题突破讲练 解决圆锥问题的四字秘诀试题（新版）青岛版

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解决圆锥问题的四字秘诀

关于圆锥的侧面展开图计算问题在中考中时常出现，这类问题的解答，可以用四个字来概括：一、二、三、四。其中：

“一个转化”，是指将圆锥侧面问题转化为平面图形——扇形问题； “二个对应”，是指圆锥的底面周长对应着扇形的弧长，圆锥的母线长对应着扇形的半径； “三个图形”，是指圆锥侧面问题常常需要用到圆形、扇形、直角三角形来解决； “四个公式”，是指圆锥侧面问题需要用

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①l=r+h，其中，如图，圆锥的底面半径r，圆锥母线ι，圆锥的高h，构成直角三角形；

n?l2 3601③S侧=·2πr·ι=πrι

22④S全=?rl??r。

②S侧=

圆锥侧面问题公式的灵活应用

圆锥侧面问题四个公式共有5个量：l、h、r、n、S侧，由于每个公式中只有三个量，从而只要知道其中的两个量，就可以将另外三个量利用方程或方程组求出来。 一、计算圆心角的度数

例题1 （浙江中考）若圆锥的轴截面为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥侧面展开图的圆心角是（ ）

A. 90° B. 120° C. 150° D. 180°

解析：因为此圆锥为正圆锥，所以圆锥底面圆的直径等于展开图扇形的半径，然后利用弧长公式求解。 解：设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为n，半径为r，则圆锥的底面直径也为r，根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得

n?r??r，解得n=180°。 180答案：D

点拨：在解决圆锥与展开图有关问题时，可以利用“圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一规律解决问题。

二、计算圆锥的底面积

例题2 如图，圆锥形冰淇淋盒的母线长是13cm，高是12cm，则该圆锥形底面圆的面积是（ ）

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2

A. 10πcm B. 25πcm C. 60πcm D. 65πcm

解析：作出圆锥的轴切面图，再根据等腰三角形“三线合一”的性质转化为直角三角形，利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径，进而求出其面积。

解：作出圆锥的轴切面图及高，如图，则AB＝13cm，AD＝12 cm，AD⊥BC，BC＝2BD，所以BD＝5 cm，因而

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底面圆的面积为πr＝25π（cm），故选B。

2

2

2

答案：B

点拨：圆锥的轴切面图为等腰三角形，等腰三角形底边上的高为圆锥的高，腰为圆锥的母线长，底边为圆锥底面圆的直径，圆锥轴切面的相关计算通常转化为直角三角形，再利用勾股定理进行计算。

三、计算圆锥的侧面积

例题3 在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为22，则这个圆锥的侧面积（ ）

A. 4π B. 3π C. 22π D. 2π

解析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再代入圆锥侧面积的公式计算即可。

2解：∵圆锥的底面半径为r=1，高为22，∴圆锥的母线长l=1?22??2?3，∴圆锥的侧面积=?rl=π

×1×3=3π，故选B。

答案：B

点拨：这类题要熟记圆锥的侧面积公式S=πrl及圆锥的高h、母线l、底面半径为r的关系：l?r?h。解决这类问题的方法有：①列式计算，②运用方程思想列方程来计算。

计算线路最短问题

满分训练 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，一只小虫从点A出发，绕侧面爬行一周，再回到点A的最短的路线长是多少？

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解析：我们知道“两点之间，线段最短”，沿母线SA作侧面展开图如图，本题实际是求将圆锥的侧面沿着母线OA展开，求点A到A′的距离AA′。

解：将圆锥沿母线SA作侧面展开图，得扇形O AA′，

设扇形的圆心角为θ，因为圆锥的底面半径为r=1，母线长为3，根据2πr=2π×1=

??l180，得

???3180，所以θ=120°。即扇形的圆心角∠AOA′为120°，作OD⊥AA′，垂足为D，在Rt△AOD中，∠

OAD=30°，OA=3。 所以OD=

答案：33

333，据勾股定理，得可求得AD=，所以AA′=2AD=33。

22点拨：小虫从点A出发，绕圆锥侧面爬行，从圆锥上看是曲线，而在侧面展开图上看是直线，“化曲为直”

是解决此类问题的关键。

（答题时间：30分钟）

1. 用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. 2πcm B. 1.5cm C. πcm D. 1cm

2. 已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则这个圆锥的母线长为（ ）。 A. 12cm B. 10cm C. 8cm D. 6cm 3. 圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（ ） A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm 4. 若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线l与底面半径r的关系是（ ）

3A. l＝2r B. l＝3r C. l＝r D. l＝

2*5. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是 °。

2

6. 圆锥的侧面积为6?cm，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为 cm

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*7. 已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°。用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿厘米。

*8. 若圆锥的母线长为5cm，底面圆的半径为3cm，则它的侧面展开图的面积为 cm（结果保留π）。 *9. 用半径为10cm，圆心角为216°的扇形作一个圆锥的侧面，求这个圆锥的高。

**10. 如图所示的一扇形纸片，圆心角∠AOB为120°，弦AB的长为23cm，用它围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），求该圆锥底面的半径。

2

*11. 已知圆锥的底面周长是10π，其侧面展开后所得扇形的圆心角为90°，求该圆锥的母线长。 **12. 如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角。

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1. D 解析：依题意，得这个圆锥的底面半径＝

120???3÷2π＝1，故选D。

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2

2

2

2

2

2. B 解析：先根据半径与高互相垂直，然后利用勾股定理求母线长。∵ r＋h＝l，∴ 6＋8＝l，∴ l＝10㎝，故选B。

180180=2×π×3×=6cm。故选B。 180?180?180?l4. A 解析：根据以上分析，则圆锥的底面周长为2?r，展开图扇形弧长是??l，因此2?r??l，则

1803. B 解析：圆锥的母线长=圆锥的底面周长×

??l2?218?422?222()?()2 l＝2r，故选A。

224222*5. 180° 解析：设圆锥的母线长为l，底面半径为r， 圆心角n，则?rl?2?r，即l?2r，∴侧面展开

n?l?x?180r图扇形的圆心角为n=360°×=180°。故答案为180°。

l6. 3 解析：设圆锥的母线长为R，因底面圆的半径为2cm，所以底面圆的周长=侧面扇形的弧长=2?×2=4?，

又扇形的面积=

1×4?×R=6?，解得R=3，故填3。 2*7. 25 解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长R=60 cm，因为圆锥的底面周长等于其侧面展开图的

nπR弧长，所以2πr=，解得r=25。

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*8. 15π 解析：∵圆锥的侧面积S=πrl，，r=3 cm，l=5∴S=15π cm。 *9. 解析：扇形的弧长是：

216??10=12π（cm），设圆锥的底面半径是r，则2πr=12π，解得：r=6cm，则圆锥

180的高是：102?62=8（cm）。

**10. 解析：过O点作OE⊥AB，垂足为点E，∵OA=OB，AB=23cm，∴AE=3cm，∠AOE=60o，∴OA=2cm，∴弧AB的长?120??2cm120??22，设该圆锥底面的半径为r，∴2?r?，∴r=cm。

1803180*11. 解析：设圆锥的母线长为l。∵圆锥的底面周长是10π，∴圆锥侧面展开图（扇形）的弧长是10π。∵侧面展开后所得扇形的圆心角为90°，∴10??90?l。∴l＝20，即该圆锥的母线长是20。 180r1?，所以∠BAO=30°，所以母线AB与高AO的l2**12. 解析：因为2?r=?l。 所以l=2r，所以sin∠BAO=夹角为30°。

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