2011年春季学期统计学平时作业答案

北京大学网络教育学院统计学作业及答案

北京大学现代远程教育2011年春季学期

《统计学》平时作业答案

一、填空题（括号中的页码表示该页或有原题或有相应的知识点）

注：我们使用的教材是《应用经济统计学》第二版。虽然我们手上的书都是第二版，但是可能存在印刷次数不同的问题。我的书是2008年8月第1次印刷。如果你的书不是第1次印刷，那么我标识的页码就会有所出入。不过，相差不太大，也就前后一两页的误差。

1、统计学数据是统计分析和研究的基础，获取统计数据的两种途径是(p12)

2、代表性误差是指。(p29)

3、异众比率是指。(p97)

4、假如数据分布完全对称，则所有奇数阶中心矩都等于(p99)

5、设A、B、C为3个事件，则A、B、C都发生的事件可以写成(p115，掌握例题5.8和5.9)

6、在电话号码薄中任取一个号码，则后面4位全不相同的概率是。(p118)

7、必然事件的发生概率为(p119)

8、一副不包括王牌的扑克有52张，从中随机抽取1张，则抽出红桃或抽出K的概率是。(p122)

9、已知10个灯泡中有3个次品，现从中任取4个，问取出的4个灯泡中至少有1个次品的概率是(p120，重点掌握例题5.17的解法二)

10、已知10支晶体管中有3个次品，现从中不放回的连续依次取出两支，则两次取出的晶体管都是次品的概率是 1/15 。(p124)

11、某超市平均每小时72人光顾，那么在3分钟之内到大4名顾客的概率是(p138，例5.34)

12、标准正态分布的期望为(p167)

13、若随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则它的数学期望为，方差是。(p165，掌握0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布及正态分布的期望和方差)

14、已知随机变量X~N(0, 9)，那么该随机变量X的期望为，方差为。(p167)

15、当X和Y相互独立时，它们之间的协方差为。(p175，但逆命题不一定成立，也就是说，当X和Y的协方差为0时，它们不一定相互独立)

16、在小样本的情况下，点估计的三个评价标准是、 。(p188)

17、利用最小平方法求解参数估计量时，剩余残差之和等于(p324，还要掌握其它4个性质)

18、长期趋势测定的方法主要有：和(p359)

19、发展速度可分为 定基发展速度 和 环比发展速度 。(p387，本页的相关其它概念也需要掌握)

20、以报告期的销售量为权数的综合指数称为。(p406，掌握拉氏质量指标综合指数、帕氏质量指标综合指数、拉氏数量指标综合指数、帕氏数量指标综合指数的具体计算公式)

二、选择题

1、当资料分布形状呈对称时，则约有（C）的观测值落在两个标准差的区间内。(p95)

(A) 50% (B) 68% (C) 95% (D) 99%

2、下列哪个数一定是非负的（B）。(涉及知识点较多，没有具体页码)

(A) 均值 (B) 方差

(C) 偏态系数 (D) 众数

3、下列哪一个指标不是反映离中趋势的（D）。(p89-91)

(A) 全距 (B) 平均差

(C) 方差 (D) 均值

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4、下面哪个选项不是小样本情况下评判点估计量的标准（C）。(p188-191，一致性是大样本情况下的评价 标准)

(A) 无偏性 (B) 有效性

(C) 一致性 (D) 最小均方误差

5、在参数的假设检验中， 是犯（A）的概率。(p230， 是犯第二类错误的概率)

(A) 第一类错误 (B) 第二类错误

(C) 第三类错误 (D) 第四类错误

6、检验回归模型的拟合优度的标准是（A）。(p328)

(A) 判定系数 (B) 相关系数

(C) 协方差 (D) 均值

7、检验回归系数是否为零的统计量是（B）。(p331)

(A) F统计量 (B) t统计量

(C) 开方统计量 (D) 方差统计量

8、累计增长量是（A）。(p387)

(A) 相应各个时期逐期增长量之和

(B) 报告期水平与前一期水平之差

(C) 各期水平与最初水平之差

(D) 报告期水平与最初水平之差加报告期水平与前一期水平之差

三、计算题

1、想象一个游戏：在一个盒子里有9个红球和1个黑球，让你从其中抓一个球，那么

（1）抓到红球的可能性有多大？

（2）如果让你抓两个球出来，那么你抓到黑球的可能性有多大？

（3）如果让我先抓，结果我抓出了一个红球，然后你再来抓一个球，那么你抓到黑球的可能性有多大？(p117，例题5.12)

答：（1）抓到红球的可能性是9/10

（2）抓到黑球的可能性是9/10×1/9+1/10=2/10

（3）抓到黑球的可能性是1/9

2、甲、乙、丙三人向同一架飞机射击。设甲、乙、丙击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.7；又假设若一人击中，飞机坠毁的概率为0.2；若两人击中，飞机坠毁的概率为0.6；若三人击中，飞机必坠毁，求飞机坠毁的概率。(p126)

答：记B=“飞机坠毁”，Ai=“有i个人击中”，其中i=0、1、2、3。

显然，A0，A1，A2，A3是完备事件组，运用概率乘法和加法定理，

P(A0)=0.6 0.5 0.3=0.09

P(A1)=0.4 0.5 0.3+0.6 0.5 0.3+0.6 0.5 0.7=0.36

P(A2)=0.6 0.5 0.7+0.4 0.5 0.7+0.4 0.5 0.3=0.41

P(A3)=0.4 0.5 0.7=0.14

根据题意可知，P(B/A0)=0，P(B/A1)=0.2，P(B/A2)=0.6，P(B/A3)=1

利用全概率公式，则有：

P(B)= P(Ai)P(B/Ai)=0.09 0+0.36 0.2+0.41 0.6+0.14 1=0.458

i 03

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3、经验表明某商店平均每天销售250瓶酸奶，标准差为25瓶，设销售酸奶瓶数服从正态分布，问：

（1）在某一天中，购进300瓶酸奶，全部售出的概率是多少？

（2）如果该商店希望以99％的概率保证不脱销，假设前一天的酸奶已全部售完，那么当天应该购进多少瓶酸奶？(p155，例题5.50)

答：（1）由于每天销售酸奶数量的均值为250，标准差为25，并且销售数量服从正态分布，所以将300瓶酸奶全部售出的概率为

p(X 300) p(X 250300 250 ) p( 2) 1 (2) 1 0.97725 0.02275 2525

即全部售出的概率仅为2.275%。

（2）设为了保证不脱销，需要购进x瓶酸奶。根据题意我们可以得到：

p(X x) 0.99

于是： p(

而 (2.325) 0.99，所以有 (

即X 250x 250 ) 0.99 2525x 250) (2.325) 25x 250 2.325，解得x 2.325 25 250 308.125 25

所以，当天应该购进309瓶酸奶才能以99％的概率保证不脱销。

4、设有一批产品，其废品率为p(0<p<1)，现从中随机抽出100个，发现其中有10个废品，试用极大似然法估计总体参数p。(p193，例6.4)

答：若正品用“0”表示，废品用“1”表示，则总体X的分布为：

P( X = x )=pxq1-x， x=0, 1；q=1-p

则样本观察值的联合分布（似然函数）为：

L(x1, x2, , x100; p)=(px1q1- x1)(px2q1- x2) (px100q1- x100)

=p10q90

方程两边同时取对数，可得：

lnL(x1, x2, , x100; p)=10lnp+90ln(1 p)

方程两边同时对p求导数并令其为零，可得：

d1090lnL 0 dpp1 p

=10/100=0.1 解得：p

5、为了调查北大网络学院学生的身高，随机在北京抽查了10位同学的身高，分别如下（单位：cm）：

152 187 165 168 172

158 155 180 169 174

（1）试分别求出样本均值以及样本方差。(p182)

（2）如果已知网院学生的身高的总体方差160，试确定总体均值的95％的置信区间。(p199，例6.8和6.9)

（3）如果未知总体方差，试确定总体均值的95％的置信区间。(p204，例6.13和6.14)

答：（1）根据课本182的公式，可计算得到样本均值为168，样本方差为121.33。

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（2）如果已知总体方差，那么

Z

给定置信水平95％，有

N(0,1)

P( Z /2 Z /2) 0.95，这里 0.05。

1.96 查表Z0.05/2

1.96，所以有 1.96

解得160.16 175.84，即置信区间为[160.16 , 175.84]。

（3）如果未知总体方差，则有

给定置信水平95％，有

t(n 1)

P( t /2

2 t /2) 0.95 其中S＝121.33，查表得到t0.05(9) 2.262

所以有 2.262 2.262 解得160.12 175.88，即置信区间为[160.12 , 175.88]。

6、一种电子元件平均使用寿命为1000小时。现从一批该元件中随机抽取25件，测得其平均寿命为950小时。已知元件寿命服从标准差为100小时的正态分布，试在显著性水平0.05下确定这批元件是否合格。(p234-236，与例7.2、7.3、7.4、7.5类似)

答：检验的思路就对参数进行区间估计，得到其相应置信水平下的置信区间，如果参数原假设下在置信区间内，那么我们接受原假设，如果落入拒绝域的话，那么就拒绝原假设。

H0: 1000

因为 1000、 950、 100 VS H1: 1000

所以

N(0,1) 于是，在95%的置信水平下，置信区间为：

－1.96

1000 1.96 1.96 ，或者－1.96 100/5

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即 1000 1.96×20 1000+1.96×20

可得 961.8 1039.2

由于950落在该区域外，所以拒绝原假设，我们可以认为这批元件不合格。

7、某旅馆的经理认为其客人每天的平均花费为1000元。假如抽取了一组16张帐单作为样本资料，样本平均数为900元，样本方差为400元，试以5％的显著水平检验是否与该经理的说法有显著差异。(p234-236，与例7.2、7.3、7.4、7.5类似)

答： 先写出原假设和备择假设：

H0: 1000 VS H1: 1000

因为

t(15) 所以在95%的置信水平下，的置信区间为：

1000 2.131×5 1000+2.131×5

即：989.34 1010.66

然而，900不在这个范围内，所以我们拒绝H0，也就是说那位经理的估计有误。

8、某工厂对废水进行处理，要求处理后的水中某种有毒物质的浓度不超过18毫克/立升。现抽取n=10的样本，得到均值为17.1毫克/升，假设有毒物质的含量服从正态分布，且已知正态总体方差为4.5，请问，分别在显著水平为1％，5％和10％下处理后的水是否合格。(p234-236，与例7.2、7.3、7.4、7.5类似)

答：首先确定原假设，我们要证明水合格，即 18，所以我们得取其对立事件即 18为原假设。

即：H0: 18 VS H1: 18

由于已知总体方差，所以Z

N(0,1)

此时Z 1.34 这是个左尾检验，只要这个Z小于临界值，就会落入拒绝域，可以得出水是合格的。查表得到 Z0.01 2.325， Z0.05 1.645， Z0.1 1.281

Z只有在显著水平为10%时才足够小（即小于－1.281），落入拒绝域，水是合格的。在显著水平为1%和5%下，落入接受域，无法说明水是合格的。

9、下面是一个家庭的月收入情况与月消费情况：

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（1）利用回归的方法求该家庭的消费函数，其边际消费倾向是多少？

（2）如果月收入为13000元，请预测其消费量是多少？(p320，与例10.3类似) 答：（1）设消费为y，收入为x，

根据公式 1 (x )(y )iii 1n (x )i

i 1n＝0.8 2

0 1＝8800－0.8×10000＝800

所以有y＝800＋0.8x，此时边际消费倾向为0.8。

（2）如果收入x为13000，那么消费的预测额为800＋13000×0.8＝11200元。

（1）分别按照拉氏指数公式和帕氏指数公式计算三种商品的价格总指数。(p406)

（2）计算销售额指数。(销售额指数=09的销售额/08年的销售额)

答：（1）

4 1500000 6 1000000 2 6000000＝1.33 3 1500000 4 1000000 1.6 6000000

4 2000000 6 1200000 2 8000000帕氏价格指数 ＝1.32 3 2000000 4 1200000 1.6 8000000拉氏价格指数

（2）

销售额指数

p1q14 2000000 6 1200000 2 8000000＝1.72 p0q03 1500000 4 1000000 1.6 6000000

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