三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方

三角形中位线定理的证明及其教学说明

以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师

一、 三角形中位线定理的几种证明方法 法1： 如图所示，延长中位线DE至F，使

，有AD

FC，所以FC

，连结CF，则

BD，则四边形BCFD是平行四边

1BC． 2形，DF BC。因为 ，所以DE

法2有FC

C作

AD，那么FC

交DE的延长线于F，则

，BC。

BD，则四边形BCFD为平行四边形，DF

1BC． 2因为 ，所以DE

法3：如图所示，延长DE至F，使 ADCF为平行四边形，有AD

，连接CF、DC、AF，则四边形

BD，那么四边形BCFD为平

1BC． 2CF，所以FC

行四边形，DF BC。因为 ，所以DE

法4：如图所示，过点E作MN∥AB，过点A作AM∥BC，则四边形ABNM为平行四边形，易证?AEM??CEN，从而点E是MN的中点，易证四边形ADEM和BDEN都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN，DE∥BC，即DE

1BC。 2

法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．

二、教学说明

1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”

在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。

⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC的中点，线段DE与BC有什么关系？

ABDEC

图⑴：

⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?

ADEBC图⑵：

说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线BC上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜. 2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

第一，要知道中位线定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长。

第二，要知道中位线定理的使用形式，如：

∵ DE是△ABC的中位线

∴ DE∥BC，DE?

第三，让学生通过部分题目进行训练，进而掌握和运用三角形中位线定理。 题1 如图4.11-7，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D、E分别为AB，BC的中点，点F在CA延长线上，∠FDA＝∠B.

(1)求证：AF＝DE；(2)若AC＝6，BC＝10，求四边形AEDF的周长.

1BC 2ADEBC

分析 本题是考查知识点较多的综合题，它不但考查应用三角形中位线定理的能力，而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。

(1)要证AF＝DE，因为它们刚好是四边形的一组对边，这就启发我们设法证明AEDF是平行四边形.因为DE是三角形的中位线，所以DE∥AC.又题给条件∠FDA＝∠B，而在Rt△ABC中，因AE是斜边上的中线，故AE＝EB.从而∠EAB＝∠B.于是∠EAB＝∠FDA.故得到AE∥DF.所以四边形AEDF为平行四边形.

11 (2)要求四边形AEDF的周长，关键在于求AE和DE，AE＝2BC＝5，DE＝2AC

＝3.

证明：(1)∵D、E分别为AB、BC的中点， ∴DE∥AC，即DE∥AF

∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BE＝EC

1∴EA＝EB＝2BC，∠EAB＝∠B

又∵∠FDA＝∠B， ∴∠EAB＝∠FDA

∴EA∥DF，AEDF为平行四边形 ∴AF＝DE

(2)∵AC＝6，BC＝10，

11∴DE＝2AC＝3，AE＝2BC＝5

∴四边形AEDF的周长＝2(AE+DE)＝2(3+5)＝16

题2 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，延长BA和CD分别与EF的延长线交于K、H。求证：∠BKE＝∠CHE.

分析 本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质.由中点想到中位线，又要把结论联系起来，既要使中位线的另一端点处一理想的位置，又使需证明的角转移过来，可考虑，连BD，找BD中点G，则EG、FG分别为△BCD、△DBA的中位线，于是得到了解题方法.考虑到结论辅助线不要乱作，取中点比作平行线好.

证明：连BD并取BD的中点G，连FG、GE 在△DAB和△BCD中

∵F是AD的中点，E是BC的中点

11∴FG∥AB且FG＝2AB，EG∥DC且EG＝2DC

∴∠BKE＝∠GFE，∠CHE＝∠GEF ∵AB＝CD ∴FG＝EG

∴∠GFE＝∠GEF ∴∠BKE＝∠CHE

题3 如图， ABCD为等腰梯形，AB∥CD，O为AC、BD的交点，P、R、Q分别为AO、DO、BC的中点，∠AOB＝60°。求证：△PQR为等边三角形.

分析 本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边

1中线定理。利用条件可知PR＝2AD，能否把PQ、RQ与AD(BC)联系起来成为解题

的关键，由于∠AOB＝60°，OD＝OC，则△ODC为等边三角形，再由R为OD中点，则∠BRC＝90°，QR就为斜边BC的中线.

证明：连RC，∵四边形ABCD为等腰梯形且AB∥DC ∴AD＝BC ∠ADC＝∠BCD

又∵DC为公共边 ∴△ADC≌△BCD ∴∠ACD＝∠BDC ∴△ODC为等腰三角形 ∵∠DOC＝∠AOB＝60° ∴△ODC为等边三角形 ∵R为OD的中点

∴∠ORC＝90°＝∠DRC(等腰三角形底边上的中线也是底边上的高)

11∵Q为BC的中点 ∴RQ＝2BC＝2AD 11同理PQ＝2BC＝2AD

在△OAD中 ∵P、R分别为AO、OD的中点

1∴PR＝2AD ∴PR＝PQ＝RQ

故△PRQ为等边三角形

3、教学难点：本课难点是三角形中位线定理的证明，证明方法的关键在于如何添加辅助线．

教师可以在证明思路上进行引导、启发，避免生硬地将辅助线直接作出来让学生接受。例如，教师可以启发学生：要证明一条线段的长等于另一条线段的长的一半，可将较短的线段延长一倍，或者截取较长的线段的一半。

上面的这种辅助线的作法可以概括为“短延长、长截短”，这种辅助线的作法还可以用于证明线段和、差、倍、分等方面。 证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略：

1， 长截短：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可在长线上截取一部分等于另两条线段中的一条，然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。（角也亦然）

2， 短延长：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可先延长较短的一条线段，得到两条线段的和，然后再证明其与长的线段相等。（角也这样） 3， 加倍法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，可加倍延长线段，延长后使之为其2倍，再证明与另一条线段相等。（角也这样） 4， 折半法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，也可取长线段的中点，再证明其中之一与另一条线段相等。（角也可用）

5， 代数运算推理法：这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、分。

6， 相似三角形及比例线段法：利用相似三角形的性质进行推理论证。

题1（短延长）：如图所示，在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD上的点。 （1）若?PAQ=45°，求证：PB+DQ=PQ。

（2）若△PCQ的周长等于正方形周长的一半，求证：?PAQ=45°

A D Q B P C

证明：（1）延长CB至E，使BE=DQ，连接AE。 ∵四边形ABCD是正方形

∴?ABE=?ABC=?D=90°，AB=AD 在△ABE和△ADQ中

∵AB=AD，?ABE=?D，BE=DQ

??ABE??ADQ?AE?AQ，?BAE??QAD??PAQ?45°??BAP??QAD?45°??BAP??BAE?45°， 即?EAP??PAQ?45°在?AEP和?AQP中?AE?AQ，?EAP??PAQ，AP?AP??AEP??AQP?EP?PQ?EP?EB?BP?DQ?BP?PQ

即PB?DQ?PQ

A D Q E B P C

（2）延长CB至E，使BE=DQ，连接AE 由（1）可知?ABE??ADQ

?AE?AQ，?BAE??QAD??DAQ??BAQ??BAE??BAQ?90°??PCQ的周长等于正方形周长的一半?PC?QC?QP?BC?CD?PQ?(BC?PC)?(CD?QC)?BP?DQ?BP?EB?EP在?AEP和?AQP中?AE?AQ，EP?PQ，AP?AP??AEP??AQP ??EAP??PAQ?45°

题2（长截短）：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠A的平分线AD交BC于D。求证：AC=AB+BD

21

A34OBDC

证明：在AC上截取OA=AB，连接OD， ∵∠3=∠4，AD=AD

∴ △ABD≌△AOD，∴ BD=DO ∴∠B=∠1=∠2+∠C= 2∠C ∴ ∠2=∠C ∴ OD=OC=BD

∴ AC=OA+OC=AB+BD

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