矩阵论复习题（08年12月）

矩阵论复习题

第一部分 证明题

1 求Frobenius矩阵 ?c0??0??1??? A????0?cn?2???1?cn?1??的特征多项式f(?)??I?A和最小多项式。

答案： （1）f(?)??n?cn?1?n?1???c1??c0，见修订版ch0例2.5

（2） 最小多项式就是其特征多项式。

2 设f(?)??n?cn?1?n?1???c1??c0，求证f(?)?0的任一根?满足

??min?max(?ci,1),max(ci?1)?

提示：用上题和盖氏圆盘定理

3 设矩阵A?(aij)?Cn?n为Hermite矩阵，满足

aii??aij(i?1,2,?,n)

j?1j?in证明A正定。

提示：由圆盘定理证明A的特征值全大于零。

4 证明矩阵

1

??2?2??3A??3?4???n???n?1124342?n(n?1)21222326?n(n?1)31?2n?1?2??n?1?3?3? ?4n?1?????2n????（1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。 提示：利用圆盘定理。见修订版ch4例题4.6

5 设A是非奇异矩阵，证明：存在多项式g(?)，使得A?g(A)。 提示：用Hamilton-Cayley定理。

6 设A?Cm?n?1,B?Cn?m，证明AB与BA有相同的非零特征值。

方法一：证明

?Im?AB??m?n?In?BA（设m?n）见修订版ch0定理2.9

(AB)????(??0,??0)?(BA)(B?)??(B?)，要说明B??0

方法二：直接用特征值的定义证明。

7 证明Sylvester不等式

rank(A)?rank(B)?n?rank(Am?nBn?p)?min(rank(A),rank(B))

提示：见修订版ch0定理3.12。注：还可用其他方法。

8 证明：rank(An?n)?1?A??T?(0??,??Cn)

A的最小多项式是m(?)??2?tr(A)?，讨论A何时可对角化。

提示： （1）满秩分解，（2）可对角化?最小多项式没有重根

9 设初等矩阵

2

H?I??uvT，0???R,0?u,v?Rn

求H的Jordan标准形。 答案：当vu?0时，

T?1????? H~J????1?T?1??vu??当vu?0时，

T?1??????? H~J??1??11???1???注（1）detH??1?2??n?1??vTu

（2）Householder矩阵H?I?2uuT(uTu?1)的行列式为detH??1

T(3)H可逆??vu?1，H?1?I??uvT，????vu?1T

10 证明QR分解的“唯一性”。

m?n（1）设A?Rn，则A的QR分解Am?n?Qm?nRn?n几乎是唯一的。即如果A有两个QR

??，则Q??QD,R??DR，其中D?diag(?1)。也就是，分解因子除分解式A?QR和A?QR相差一个对角元为?1的对角矩阵外是唯一的。

（2）设A为非奇异矩阵，当限制A的QR分解式中R的对角元为正数时，则分解是唯一的。

?111 设A是可逆矩阵，如果矩阵B满足B?A?A?1，则B是可逆矩阵。

3

12 设A?(aij)是n阶实对称正定矩阵，证明A?a11a22?ann 提示：方法一：A?An?1?ann?T?An?10??A?An?1ann再递推 ?1ann??TAn??1方法二： 用Cholesky分解

?aA??11??

??T??l110??l11?T??l112?????A?a11A1再递推 ?????T?TT???LA1????0L??????LL?n13 设A为n阶的Hermite矩阵，其特征佂?1??2????n，证明对任意非零向量x?C有

xHAx?1?H??n

xx提示：如果A是实对称正定矩阵，这是线性代数常见题。证法是一样的。

14 A?Cm?n，证明：maxaij?Ai,j2?mnmaxaij

i,j提示：由2－范数的定义证明。见修订版ch4最后

?，?是方程组Ax?b的一个近似解，x?是其精确解，15 设A是非奇异矩阵，x记残向量r?b?Ax则

??x?xx提示：见修订版ch4最后。

16 证明Schur不等式：设A?Cn?n??cond(A)rb

这里所用的矩阵范数与向量范数是相容的。

,?1,?2,?,?n是矩阵A的n个特征值，则

2nn22??i???aij?AF

i?1i?1j?1n其中等号成立的充分必要条件是A正规矩阵。 提示：书上的定理。

4

17 设A?Rrm?n的SVD为

??A?U?r?O验证

O?T?V O?1???O?TrA?V??U

?OO??18 设A?Crm?n的SVD由上题给出，U的列向量记为ui(i?1,2,?,m)，V的列向量记为

vi(i?1,2,?,n)，则

?（2）R(A)??y?C

（1）N(A)?x?CnAx?0?span?vr?1,vr?2,?,vn?

m12r?y?Ax??span?u,u,?,u?

19 设A?Rrm?n，证明rank(In?A?A)?n?r，从而再证明

(In?A?A)y,y?Rn

是Ax?0的通解。

提示：由A的SVD表达式证明

?Am?nX?Im20 证明A是极小化问题minn?m?X?RF唯一的最小F范数解。

提示 记X?[x1,x2,?,xm],I?[e1,e2,?,em]，则

Am?nX?Im

2F?Ax1?e12???Axm?em2

2221 设A,B均为n阶实对称矩阵，且B是正定的，试证明，存在非奇异矩阵P使

PTBP?I且PTAP?diag(?1,?2,?,?n)

其中?i?i?1,2,?,n?为A相对于B的广义特征值（即Axi??iBxi,xi?0?R）

n提示：这是众所周知的同时（合同）对角化问题，一般参考书都有，网上应该能找到。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tslv.html