大连理工大学-数学分析2009解答

大连理工大学2009年数学分析考试试题 数学分析试题解答 一、 计算题 1、 求极限：lim解：

lima1?2a2?...?nann2a1?2a2?...?nann2n??,其中liman?an??

n???lim(n?1)an?1(n?1)?n22n???lim(n?1)an2n?1n???a2(利用Stolz公式)

2、求极限：limex???x(1?1x)x2

解：

limex???x(1?1xx1)xx2(1??lim(x??1x)xe(1?1x)xx(1??limx??1)?e?limx??)(ln(1??1x21x)?1x?1)x?elimxx??(1?12x2?o(?12x12))?1x?1??e21xe

x?limex???x(1?1x)x2(1??lim(x??)xe?)?lim(x??xe2x)x?1ee

3、证明区间（0，1）和（0，+?）具有相同的势。 证明：构造一一对应y=arctanx。

4、计算积分??D1y?x2dxdy，其中D是x=0,y=1,y=x围成的区域

解：

??D1y?x210dxdy???01y021y?xdxdy??10ln(x?y)|0dy2y??ln(1?y)dy??10lnydy1

?[(1?y)ln(1?y)?(1?y)?ylny?y]|0?2ln2

?xdy5、计算第二类曲线积分：I??C?ydx，C:x2?2y222x?y?1方向为逆

时针。 解

?x?cos??,??[0,2?)1?sin??y?2?1I??ydx?xdyC2?0：

?x?y22????换元?2sin??12?122122cos?d???242cos?2?2?0cos2?3?cos2?d?1?x?万??????能公式代换x?tan?22??8?2????1?xdarctanx??42?2??1?x3?21?x????(2?x)?2322(2?x)(1?x)(1?x)dx2??42?????11?x2dx??6?x?1????2?2dx2??42??6? 6、设

a?1?a>0,b>0,证明：????b?1?b?1?a?????b?b。

证明：

?a?1????b?1??a?1????b?1?bb?1a?b??a?????，构造函数f(x)??1??x??b??a?b????1??b?1??bb?1bxb?1?f(b?1)a?b??a???1??????f(b)bb????a?b?a?ba?b?f'(x)??1?[ln(1?)?]?0(Taylor展开可以证明)?x?xx?(a?b)?所以f(x)递增，从而得证x

二、 设f(x)为[a,b]上的有界可测函数，且?[a,b]f(x)f(x)dx?0,证明：

2在[a,b]上几乎处处为0。 证明：

反证法，假设A={x|f(x)≠0}，那么mA>0。

An?{x|f(x)?1nn2??},A??A。必然存在某个Ann?1n,mAn?0?[a,b]f(x)dx?2mAn

?0,矛盾

三、 设函数f(x)在开区间（0，+?）内连续且有界，是讨论f(x)

在（0，+?）内的一致连续性。 讨论：非一致连续，构造函数：

f(x)?sin1x显然，f(x)连续且有界。但是f(x)在x?0时非一致连续反证法：如果一致连续，对???0,x?0,???0,当|x'?x\|??|sin1x'?sin2(2n?1)??sin1x\1x\|??.取??1,x\?1n?。当n足够大的时候|x'?x\|?1(2n?1)n???

令x'?|sin1x'|?1??四、 设

2?xy,(x,y)?(0,0)?42f(x,y)??x?y??0,(x,y)?(0,0)，讨论函数的连续性和可微性。

解：

1）连续性：连续

limxyx?y422x?0y?0?limy1?yx24x?0y?0?0

2）可微性：可微

fx(0,0)?limf(x,0)?f(0,0)xf(0,y)?f(0,0)y?0?0xyx?y222x?0fy(0,0)?limx?0

limf(x,y)?fx(x,y)?fy(x,y)x?yx1?yx2222x?0y?0?limx?0y?0x?y42

?limx?0y?01?yx24?0

五、 设f(x)在（a,b）内二次可微，求证：

???(a,b)，满足f(a)?2f(a?b2)?f(b)?(b?a)42f\?)

证明：

令g(x)?f(x?g(x)?g(a)x?ab?a2b?a2b?a2)?f(x)，利用Cauchy中值定理：b?a2)?f(?),??(a,x)?g'(?)?f(??利用Lagrange中值定理：f(??令?=)?f(?)?b?a2f\?),??(?,??b?a22

b?a2),原式?g(x)?g(a)?()f\?)六、 f(x)在R上二次可导，?x?R，f\x)?0,?x0?R,f(x0)?0

x???limf'(x)???0,limf'(x)???0，证明：f(x)在

x???R上恰有两个零点。

证明：

(1)先证：当x???的时候，f(x)?0?limf'(x)??,所以，当x的绝对值足够的时候,不妨设x?x1?0,x???f'(x)??2当x?x1时，f(x)?f(x1)?(x?x1)当x??2f(x1)?2.??x1的时候，f(x)?0(2)同理,当x???的时候，f(x)?0又f\x)?0?f'(x)为递增函数?f(x)先单调减少，在单调递增?f(x0)?0，根据连续函数的介值定理，在(??,x0),(x0,??)各有一个零点

七、 设函数f(x)和g(x)在[a,b]内可积，证明:对[a,b]内任意分割

?:a?x0?x1?...?xn?b,??i,?i?[xi,xi?1],i?0,1,2,....有n?1|?|?0lim?i?0f(?i)g(?i)?xi??baf(x)g(x)dx

证明：

根据定义n?1?baf(x)g(x)dx?lim|?|?0?i?0f(?i)g(?i)?xin?1n?1n?1|?f(?i)g(?i)?xi?i?0n?1?i?0f(?i)g(?i)?xi|?|?f(?i)[g(?i)?g(?i)]?xi|i?0?max{|f(?i)|}?|g(?i)?g(?i)|?xiii?0n?1n?1

由于g(x)可积，所以?|g(?i)?g(?i)|?xi?i?0n?1n?1???xii?0i?0，(?i为振幅)?lim|?f(?i)g(?i)?xi?|?|?0i?0?i?0f(?i)g(?i)?xi|?0，从而得证

八、 求级数：?n?0?(?1)n3n?1

解：

??n?0?n?0(?1)xn3n?1?3n?1n3n?x?n?0(?1)(x)3n?1n3n在(?1,1]内收敛?(?1)M(x)在(?1,1]内一致收敛，所以可以逐项求导n3nM(x?n?0?(?1)(x)3n?1n)'??(?1)n?0n(x)?3n1?(?x)1?x103M?3311?3n?1n?0(?1)?lim?1M???10?101?(?x)1?x22M?13dx?1?11?x13dx??3)dx(3?3201?x1?x?x12)1x?2

?ln(1?x)3ln231?6d(x?x)1?x?x2x?13??231034?(x?12d(x?)2??3arctan|0?1ln2??33

九、 讨论函数项级数?x(n2e?nx2??2?(n?1)e2?(n?1)x22)在(0,1)和(1,+∞)的

n?1一致收敛性 讨论：?x(n2e?nx2??2?(n?1)e2?(n?1)x22)?xlim(nen??2?nx22)

n?11） 0

xlim(nen??2?nx22)?0级数收敛，但不一致收敛。取xn?1n,|Sn(xn)?0|?n不趋近于0，所以不一致收敛

2） x>1

xlim(nen??2?nx22)?02(xe?x2)'?e?nx22?x(1?2x)?0即xen2?nx2222?x2??1en2?xne2?ee?n2ee?n2

2?e4????0,?x?1,?N??4ln?,?n?N,Sn(x)??

十、 计算???x2dydz?ydzd?x22zd，xd其y中?为圆锥曲面z?x?y222被平

面z=0,z=2所截部分的外侧。 解：

?????xdydz?ydzdx?zdxdy?222?0z222???V(x?y?z)dxdydz???00(rcos??rsin??z)rd?drdz22?0

z2?00?20dz?rdr?0(cos??sin?)d???20zdz?rdr?d??4?

十一、设f(x)在[0,1]上单调增加,f(0)>=0,f(1)<=1,证明：

???[0,1],f(?)??3

证明：

M?{x|f(x)?x,x?[0,1]}m?infM显然M非空,下证:f(m)?m3333反证法：如果命题不成立，那么显然f(m)?m,不妨设f(m)?m?r?0?x?m,f(x)?x333

f(x)?f(m)?r?x?m3由于y?x是连续函数，所以，对?r>0存在x'x'?m?r?0,与单调性矛盾。33

十二、设f(x)在[0,+∞]上连续，?

limx????0?(x)dx绝对收敛，证明：

?n0??xf()?(x)dx?f(0)??(x)dx0n

证明：

limx???n0??0f()?(x)dx?f(0)??(x)dx0nx??因为??(x)dx绝对收敛，当n足够大的时候?n0?(x)dx????0?(x)dx

xf()?(x)dx?f(0)??(x)dx|?|?[f()?f(0)]?(x)dx|?f(0)?00nn??n??0x???|?(x)dx|?f(0)?由于?的任意性，所以命题成立

十三、设an?0，证明：

ln(1/an)lnnln(1/an)lnn?1时，级数?ann?1???? 当下极限liminfn??收敛 发散

当上极限limsupn???1时，级数?ann?1 证明：（1）

liminfn??ln(1/an)lnn?1?2r?1ln(1/an)lnn?1?r?1?1/an?n1?r即n足够大的时候an?n?(1?r)

根据积分判别公式，知命题成立（2）

limsupn??ln(1/an)lnn?1ln(1/an)lnn?1?r?1?1/an?n1?r即n足够大的时候an?n?(1?r)

根据积分判别公式，知命题成立

以上是我做的大连理工的数学分析。由于我没有自学过实变函数，所以那两道题目我是临时抱佛脚的。如果表达有问题，请大家不要介意。

如果有错，请大家及时告诉我，我可以发帖子把勘误发上去。

说实话，输入实在太累了。基本上要花掉我6~7个小时的时间，我倒还好，直研之后没有什么事，但是，有不少网友现在就要考研了，还帮助大家作卷子。真得很令人感动。努力向他们学习！ 朱斌 zhubin846152 2005-11-1

p.s:我常用的邮箱：zhubin846152@163.com msn:zhubin846152@hotmail.com

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