五年级奥数第20讲 多边形的面积

第20讲 多边形的面积

我们已经学习过三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形以及圆、扇形等基本图形的面积计算，图形及计算公式如下：

正方形面积=边长×边长=a2， 长方形面积=长×宽=ab， 平行四边形面积=底×高=ah，

圆面积=半径×半径×π=πr，

扇形面积=半径×半径×π×圆心角的度数÷360°

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在实际问题中，我们遇到的往往不是基本图形，而是由基本图形组合、拼凑成的组合图形，它们的面积不能直接用公式计算。在本讲和后面的两讲中，我们将学习如何计算它们的面积。

例1 小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。

分析与解：组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG部分重合了。用组合图形的周长减去DG，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（52-4）÷3=16（厘米）。

又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出

大正方形边长=（16+4）÷2=10（厘米）， 小正方形边长=（16-4）÷2=6（厘米）。

两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积，就得到阴影部分的面积。 10+6-（10×10÷2）-（10+6）×6÷2=38（厘米）。

例2如左下图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。

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分析与证明：这道题两个平行四边形的关系不太明了，似乎无从下手。我们添加一条辅助线，即连结CE（见右上图），这时通过三角形DCE，就把两个平行四边形联系起来了。在平行四边形ABCD中，三角形DCE的底是DC，高与平行四边形ABCD边DC上的高相等，所以平行四边形ABCD的面积是三角形DCE的两倍；同理，在平行四边形DEFG中，三角形DCE的底是DE，高与平行四边形DEFG边DE上的高相等，所以平行四边形DEFG的面积也是三角形DCE的两倍。

两个平行四边形的面积都是三角形DCE的两倍，所以它们的面积相等。

例3如左下图所示，一个腰长是20厘米的等腰三角形的面积是140厘米2，在底边上任意取一点，这个点到两腰的垂线段的长分别是a厘米和b厘米。求a+b的长。

分析与解：a，b与三角形面积的关系一下子不容易看出来。连结等腰三角形的顶点和底边上所取的点，把等腰三角形分为两个小三角形，它们的底都是20厘米，高分别为a厘米和b厘米（见右上图）。大三角形的面积与a，b的关系就显露出来了。根据三角形的面积公式，两个小三角形的面积分别为 20×a÷2和20×b÷2。

因为这两个小三角形的面积之和等于原等腰三角形的面积，所以有 20×a÷2+20×b÷2=140， 10×（a+b）=140， a+b=14（厘米）。

在例2、例3中，通过添加辅助线，使图形间的关系更清晰，从而使问题得解。下面再看一例。

例4如左下图所示，三角形ABC的面积是10厘米，将AB，BC，CA分别延长一倍到D，E，F，两两连结D，E，F，得到一个新的三角形DEF。求三角形DEF的面积。

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分析与解：想办法沟通三角形ABC与三角形DEF的联系。连结FB（见右上图）。 因为CA=AF，所以三角形ABC与三角ABF等底等高，面积相等。因为AB=BD，所以三角形ABF与三角形BDF等底等高，面积相等。由此得出，三角形ADF的面积是10+10=20（厘米2）。

同理可知，三角形BDE与三角形CEF的面积都等于20厘米2。 所以三角形DEF的面积等于20×3+10=70（厘米2）。

例5一个正方形，将它的一边截去15厘米，另一边截去10厘米，剩下的长方形比原来正方形的面积减少1725厘米2，求剩下的长方形的面积。

分析与解：根据已知条件画出下页左上图，其中甲、乙、丙为截去的部分。

由左上图知，丙是长15厘米、宽10厘米的矩形，面积为15×10=150（厘米2）。 因为甲、丙形成的矩形的长等于原正方形的边长，乙、丙形成的矩形的长也等于原正方形的边长，所以可将两者拼成右上图的矩形。右上图矩形的宽等于10+15=25（厘米），长等于原正方形的边长，面积等于 （甲+丙）+（乙+丙） = 甲+乙+丙）+丙 = 1725+150 = 1875（厘米2）。

所以原正方形的的边长等于1875÷25=75（厘米）。剩下的长方形的面积等于75×75-1725=3900（厘米2）。

例6有红、黄、绿三块同样大小的正方形纸片，放在一个正方形盒的底部，它们之间互相叠合（见右图）。已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10，求正方形盒子底部的面积。

分析与解：把黄色正方形纸片向左移动并靠紧盒子的左边。由于三个正方形纸片面积相等，所以原题图可以转化成下页右上图。此时露出的黄、绿两部分的面积相等，都等于

（14+10）÷2=12。 因为绿：红=A∶黄，所以 绿×黄=红×A，

A=绿×黄÷红 =12×12÷20=7.2。

正方形盒子底部的面积是红+黄+绿+A=20+12+12+7.2=51.2。

练习20

1.等腰直角三角形的面积是20厘米2，在其中做一个最大的正方形，求这个正方形的面积。

2.如左下图所示，平行四边形ABCD的周长是75厘米，以BC为底的高是14厘米，以CD为底的高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。

3.如右上图所示，在一个正方形水池的周围，环绕着一条宽2米的小路，小路的面积是80米2，正方形水池的面积是多少平方米？

4.如右图所示，一个长方形被一线段分成三角形和梯形两部分，它们的面积差是28厘米2

，梯形的上底长是多少厘米？

5.如下图，在三角形ABC中，BD=DF=FC，BE=EA。若三角形EDF的面积是1，则三角形ABC的面积是多少？

6.一个长方形的周长是28厘米，如果它的长、宽都分别增加3厘米，那么得到的新长方形比原长方形的面积增加了多少平方厘米？

7.如下图所示，四边形ABCD的面积是1，将BA，CB，DC，AD分别延长一倍到E，F，G，H，连结E，F，G，H。问：得到的新四边形EFGH的面积是多少？

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