分解质因数

一、 分解质因数

1、下面的数,哪些能写成几个质数相乘的形式？ 7, 9, 11, 12

2、在2、 7、 12、35、 4 、21、 13、 17这些数中, 质数有: 2 、7、13、17 合数有: 12、35 、4 、21

3、 28和60可以写成哪几个质数相乘的形式?

284×72×2×728 ＝ 2 X 2 X 7606×102×3×2×5 60＝2X3X2X5

每个合数都可以写成几个( )数相乘的形式,其中每个质数都是 这个合数的( )数,叫做这个合数的质因数。

4、13X4=52,13和4都是52的因数吗？13和4都是52的质因数吗？

5、什么是分解质因数呢?

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （1）用短除法把下面各数分解质因数. 55 60

5551122603031555 = 5×11560=2×2×3×5

（2）能用短除法把下面各数分解质因数.

80 12 16 72

练习：

一、选一选。

(1)把10分解质因数是( )

A.10=2×5 B.10=1×2×5 C.10=1×10 (2)把27分解质因数是( )

A.3×9=27 B.3×3×3=27 C.27=3×3×3 （2）看谁是小判官

①把35分解质因数是 35=1×5×7（ ） ②把49分解质因数是7×7=49 ( ) ③把30分解质因数是30=2×3×5 ( ) ④51不能分解质因数. ( )

二、 用短除法找最大公因数

1．用排列因数的方法求18和24的最大公因数。

2．用排列因数的方法求两个数的最大公约数方便吗？有没有比它简便的方法求最大公约数呢？

今天我们就来研究求两个数的最大公因数简便方法。 ．把18和24分解质因数。如下：

2 1 8 2 2 4 3 9 2 1 2 3 2 6 3 18＝2 × 3×3

24＝2×2×2×3

⑴18有哪几个质因数？24呢？ ⑵18和24相同的质因数有哪些？

⑶它们相同的质因数叫做什么，给它们起一个名字：公有的质因数 ⑷18和24公有的质因数有哪几个？其它的2、2和3是公有的质因数吗？ 那这些质因数叫做什么质因数，给它们起一个名字：独有的质因数

⑸你能根据18和24公有的质因数2和3计算出18和24所有的公因数吗？ ⑹怎么计算的？哪个最大？最大的是怎么计算出来的？

⑺如果在2×3的后面再乘以一个质因数3，还是公约数吗？是最大公约数吗？多乘几个质因数呢？

⑻如果在2×3的后面少乘以一个质因数3，还是公约数吗？是最大的公约数吗？

⑼从这里可以看出：两个数的最大公因数是什么质因数的乘积？

板书：所有的公有质因数的乘积＝最大公约数

⑽“所有的公有质因数”是什么意思？你是怎么理解的？

⑾从这里可以看出：用分解质因数的方法求两个数的最大公约数先干什么？然后干什么？最后干什么？

18和24的最大公约数是：2×3＝6。

3．先把36和54分解质因数，再求出它们的最大公约数。

4．每道题都这样写麻烦吗？能不能简化一下呢？怎样简化？怎样把两个短除法算式合并成

一个除法算式呢？

2 1 8 2 4 用公有质因数2除， 3 9 1 2 用公有质因数3除， 3 4 3和4互质不除了。 18和24最大公约数是：2×3＝6。

5．用合并短除法算式的方法求36和54的最大公约数。

6、分解质因数（6分）

108 210 78

三、用短除法求最小公倍数

现在我们求这两个数的最小公倍数，能不能也来尝试一下这种方法？ 请同学把6和4分解质因数。 2 6 2 4 3 2

6＝2 × 3

4＝2 × 2

提问：6包含有哪些质因数？4呢？ 6和4的质因数有什么特点？

【公有的质因数 独有的质因数】

那么我们刚才找出来的最小公倍数12，包含有哪些质因数？【12＝2×2×3】 12的质因数和6、4的质因数之间有什么联系？ 得出：12的质因数里面包含有6和4公有的质因数，还有各自独有的质因数。 提问： 6和4的最小公倍数它是由哪些质因数相乘得到的？ 【最小公倍数＝全部公有的质因数的积×各自独有的质因数】

练习。 填空。

（1）已知A＝2×5×5，B ＝2×5×7。A和B全部公有的质因数有（ ），各自独有的质因数有（ ），A和B的最小公倍数是（ ）。 （2）30＝（ ）× （ ）× （ ） 18＝（ ）× （ ）× （ ） 30和18的最小公倍数是（ ）×（ ）×（ ）×（ ）＝（ ） 用短除法求最小公倍数

1、列两个短除法算式算最小公倍数麻烦吗？

2 6 4

2 3

6和4的最小公倍数是2×2×3＝12。

提问：2是什么？2、3是什么？最小公倍数是怎样得到的？

上面我们用了好几种方法求6和4的最小公倍数，你认哪种方法最简便？

2、试一试。

用短除法求下面每组数的最小公倍数。 12和30 36和54

巩固练习

1、求下面每组数的最小公倍数。

24和36 16和18

2、判断下面各题是否正确，错在什么地方。 （1）16＝2×2×2×2

20＝2×2×5

16和20的最小公倍数是2×2×2×2×2×5＝160

（2） 3 30 45 5 10 15 2 3 30和45的最小公倍数是3×5＝15【变成求最大公约数】 （3）

2 24 32 2 12 16 6 8 24和32的最小公倍数是2×2×6×8＝192【没有除到互质数】

课堂练习：

1．找出下列数中的合数，并把它们分解质因数。

20 29 45 53 91 102 117

2．求下面各组数的最大公因数。

50和75 78和26 6和11 36和54

3．求下面各组数的最小公倍数。

15和20 35和42 8、24和36 45、60和75

4、解决问题

（1）商店里运来75个玉米，如果每15个装一筐，能正好装完吗？还可以怎么装？装几筐？

4、有12米长的铁丝8根，18米长的铁丝7根，要把它们截成一样长的铁丝，不浪费，截下的铁丝要最长，铁丝长几米？可以截多少根？

5、小华在制作船模时，将三根长分别为12厘米，18厘米，和30厘米的木条截成同样长的若干段，且都没有剩余，请你算一算每段最长是几厘米，一共截了多少段？

6、把一张长42厘米，宽30厘米的长方形，剪成大小一样的正方形而无剩余，剪成的正方形至少有几个？

7、甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同的天数去图书馆一次，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次，有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再经过多少天他们三人又在图书馆相会？

8、1路、2路和5路公交车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路每隔20分钟发一辆，当这三种线路的车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三种路线同时发车？

9、有一个长方体木块，长60厘米，宽40厘米，高24厘米，如果要切成同样大小的小立方体，这些小立方体的棱长最长是多少厘米？

10、一个数除253余1，除299余2，这个数最大是多少？

11、一条成直角形状的街道，一条街道长840米，另一条街道长720米，要在这条街道的右侧等距离的装上路灯，且要求两端和转弯处都必须装灯，那么这条街道最少要装多少盏灯？

12、有三个素数，它们的乘积是1001，求这三个素数分别是多少？

13、某校购进72台同型号的录音机，由于发票上的字迹太淡，首尾两个数看不清楚，只能看出应付的钱数是 5928元，你能推算出这次学校购买的录音机的单价和总价吗？

第二部分：公倍数与最小公倍数

知识点归纳：

1：公倍数和最小公倍数的意义

几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 注意：几个数的公倍数一定含有几个数的所有素因数，而最小公倍数只包含它们公有的素数

和各自独有的素数。

2：求两个数的最小公倍数的方法

若两个数互素，则它们的最小公倍数就是这两个数的积。

若两个数存在倍数关系，则它们的最小公倍数就是其中较大的那个数。

若两个数既不互素，也不存在倍数关系，可以用分解素因数法或者短除法找到它们公有

的素因数和各 自独有的素因数。

3：求三个数的最小公倍数的方法

用分解素因数的方法和短除法求三个数的最小公倍数，用短除法求三个数的最小公倍数和求两个数的最小公倍数有所不同，一般步骤如下：

（1）先用三个数的公因数去除，除到三个数的商互素为止；

（2）再用每两个数的公因数去除，除到三个数的商成为两两互素（任意两个商都互素）为止；

（3）把这些除数和商相乘，所得的积就是所求的最小公倍数。

典例练习

1、若m = 2×2×3×5 , n = 2×3×3×7 ，则m 、n 的最小公倍数是什么？

2、若A×B = 144 ，A 和 B的最大公因数是6 ，那么它们的最小公倍数是多少？

3、一个数除以5、6、7都余1，求这个数的最小为多少？

4、一群俏老太跳广场舞，无论是4人或5人排一排，都恰好成整数行而且无剩余，问：这些老太太至少有多少人，如果人数介于150至190之间，那么最多有多少位老太太？

5、一次会餐，每两人用一只蛋糕碟，三人用一只菜碗，四人用一只汤碗，结果最后统计会餐的人共用去碗碟65只，请问：参加会餐的人数是多少？

6、一个零件加工厂，共有50人，生产一种零件需要两道工序，第一道工序每个工人每小时完成48个，第二道工序每个工人每小时可完成32个，怎样分配全体工人生产这种零件，才能使每道工序不产生积压或停工待料（不考虑开始和结束的情况）？

7、1×2×3×4×5×?×99×100的积的末尾有几个连续的0呢？

8、两个数的最大公约数是9 ，最小公倍数是72 ，求这两个数？

9、在机床上有甲、乙两个齿轮相互咬合，甲齿轮有28个齿，乙齿轮有42个齿，当两个齿轮第二次咬合时，乙齿轮转了几圈？

10、有0，1 , 5 , 6 , 7五张卡片，从中选出四张组成一个四位数，使得这个数能被2整除，又能被3整除，这个数最大是多少？

11、从学校到少年宫的路上，一共有37根电线杆，原来每2根电线杆之间相距50米，现在要改成每2根之间相距60米，除两端2根不动外，中间还有多少根不必移动？

12、一筐苹果不超过250个，3个3个的数，5个5个的数，7个7个的数都恰好数完，你知道这筐苹果有多少个吗？

13、商店里有6箱货物，质量分别是16、17、18、19、20、31千克，两个顾客买走了其中的五箱，已知一个顾客买的货物的质量是另一个顾客的2倍，问：商店里剩下的1箱货物的质量是多少千克？

14、500位同学站成一排，从左到右数“1,2,3”报数，凡是报到1和2 的离队，报3的留下，向左看齐再重复同样的报数过程，如此进行了若干次后，只剩下两位同学了，这两位同学在开始的队伍中位于从左到右的第几个？ 15、大雪后的一天，小亮和爸爸共同测一个圆形花园的周长，他俩走的起点和方向完全相同，小亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人的脚印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印，求花园的周长。

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