2012高三数学文一轮复习课后练习27等比数列

2012届高考（文科）数学一轮复习课时作业27

等比数列

一、选择题

1．已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为( ) 1A．1或－

21C．－

2

B．1 D．－2

解析：由数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，得2a1q2＝a1＋a1q. 1

∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，解得q＝1或－.

2答案：A

2．(2011年湖南省长沙市第一中学高三第三次月考)设数列{an}，{bn}分别为等差数列与等比数列，且a1＝b1＝4，a4＝b4＝1，则以下结论正确的是( )

A．a2>b2 C．a5>b5

B．a3b6

解析：设等差数列的公差为d，等比数列公比为q，由a1＝b1＝4，a4＝b4＝1，得d＝－1，3q＝23，于是a2＝3>b2＝22，故选A. 2答案：A

3．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a52，a2＝2，则a1等于( ) A．1 C．－2

解析：由题意可知，a3·a9＝a62＝2a52， a22

∴正数公比q＝2.∴a1＝＝＝2.

q2答案：B

4．(2010年北京高考)在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( )

A．9 B．10 C．11 D．12 解析：a1＝1，am＝a1a2a3a4a5＝a35＝a15q10＝a1q10＝a11， ∴m＝11. 答案：C

5．(2010年辽宁高考)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝( )

B.2 D．2

15A. 233C. 4

31B. 417D. 2

1

解析：由a2a4＝1得a12q4＝1，则a1＝2，

q1

又a1(1＋q＋q2)＝7，所以(t＋3)(t－2)＝0(t＝>0)．

q11111

所以q＝，a1＝4.所以a4＝4()3＝，a5＝4()4＝. 22224331

所以S5＝7＋＝，选B.

44答案：B

a99－1

6．等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1>1，a99a100－1>0，a100－1<0.给出下列结论：①01成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是( )

A．①②④ C．①②

B．②④ D．①②③④

解析：①中，?a99－1??a100－1?<0,a99·a100>1,a1>1?a99>1,0

a99

②中，a99a101＝a1002,0

④中，T198＝a1a2…a198＝(a1·a198)…(a2·a197)…(a99·a100)＝(a99·a100)99>1， T199＝a1a2…a198·a199＝(a1a199)…(a99·a101)·(a100)＝<1，∴④正确． 答案：A 二、填空题

17．[2011·北京卷] 在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|

2

＋…＋|an|＝________.

11

解析：由a4＝a1q3＝q3＝－4，可得q＝－2；因此，数列{|an|}是首项为，公比为2的等

22

1

?1－2n?21－

比数列，所以|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n1－.

21－2

1－

答案：－2 2n1－

2

8．(2011年福建省宁德三县市一中高三第二次联考)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________.

解析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝52.

答案：52

an＋2an＋1

9．(2011年江苏镇江一中高三第二次月考试卷)若数列{an}满足＋＝k(k为常数)，

an＋1an

则称数列{an}为等比和数列，k称为公比和．已知数列{an}是以3为公比和的等比和数列，其中a1＝1，a2＝2，则a2009＝________.

答案：21004 三、解答题

32

10．等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝，且公比q∈(0,1)．

9(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值． 32

解：(1)∵a3·a4＝a1·a6＝，

9

32

∴由条件知a1，a6是方程x2－11x＋＝0的两根，

9132

解得x＝或x＝. 33

321

又0

33a611

∴q5＝＝，即q＝，

a132211n－6－

∴an＝a6·qn6＝·().

32

321[1－??n]3211(2)令＝21，得()n＝，∴n＝6.

12641－2

511

11．已知等比数列{an}中，公比q∈(0,1)，a2＋a4＝，a1a5＝，设bn＝nan，(n∈N*)．

442(1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和Sn.

1

解：(1)由题意知：a2·a4＝a1·a5＝，解方程组：

41

∵q∈(0,1)，∴a2>a4，a2＝1，a4＝，

411－1－

∴q＝，a1＝2，∴an＝2×()n1＝()n2.

2221－1－

(2)由(1)知：an＝()n2，bn＝n·()n1.

22

?

?1a·a＝?4

2

4

5a2＋a4＝4

，

1111－1－

∴Sn＝1×()0＋2×()1＋3×()2＋…＋(n－1)()n2＋n·()n1①

222221111－1－1

Sn＝1×()1＋2×()2＋…＋(n－2)()n2＋(n－1)·()n1＋n·()n② 22222211111－1－1∴①－②得：Sn＝()0＋()1＋()2＋…＋()n2＋()n1－n·()n

22222221

1×[1－??n]

21

＝－n·()n

121－21－1－

∴Sn＝4－()n2－n·()n1.

22

12．已知各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N*，均有2Sn＝2pan2＋pan－p(p∈R)．

(1)求常数p的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)记bn＝

4Snn

·2，求数列{bn}的前n项和Tn. n＋3

解：(1)由a1＝1及2Sn＝2pan2＋pan－p(n∈N*)， 得：2＝2p＋p－p. ∴p＝1.

(2)由2Sn＝2an2＋an－1① 得2Sn＋1＝2an＋12＋an＋1－1②

由②－①得，2an＋1＝2(an＋12－an2)＋(an＋1－an)， 即2(an＋1＋an)(an＋1－an)－(an＋1＋an)＝0. ∴(an＋1＋an)(2an＋1－2an－1)＝0. 由于数列{an}各项均为正数， 1

∴2an＋1－2an＝1.即an＋1－an＝. 2

1

∴数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，

21n＋1

∴数列{an}的通项公式是an＝1＋(n－1)×＝. 22n＋1n?n＋3?

(3)由an＝，得：Sn＝. 244Snn

∴bn＝·2＝n·2n.

n＋3

∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n， 2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n1.

＋

－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n1

＋

2?1－2n?＋＋＝－n×2n1＝－(n－1)·2n1－2，

1－2Tn＝(n－1)·2n1＋2.

＋

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