理论力学之静力学习题答案 北航

静力学

（MADE BY水水）

试画出图示各结构中构件AB的受力图 F A y

FB

F Ax

(a)

FD F By

FBx

FC FBy FBx FFB A

(a)

FD FB FC FB 1-3

1-4 试画出两结构中构件ABCD的受力图

FA FBy

FA

FAx

FB FD FA y FBx

1-5 试画出图a和b所示刚体系整体合格构件的受力图

FB

FA 1-5a

FD

FB

FD

N’ FA N

FA y

FAx FDy FDx

TE

1-5b

FC y

FCx W

W

FA y

FAx

FB y

FCx

FBx FDy

FBy

FDx

TE

FBx

FC y

1-8在四连杆机构的ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2，机构在图示位置平衡。试求二力F1和F2之间的关系。

解：杆AB，BC，CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。 解法1(解析法)

假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如图所示： 由共点力系平衡方程，对B点有：

?Fx?0 F2?FBCcos450?0 45

0300

对C点有：

?Fx?0 FBC?F1cos30F1?26F2?1.63F2 30?0

解以上二个方程可得：

解法2(几何法)

分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B和C点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。 对B点由几何关系可知：

B y FBC 45FAB

o y x x FBC C o 3060o FCD F1

F2 F2?FBCcos450

对C点由几何关系可知：

FBC?F1cos300

FAB

F2 45o FBC

解以上两式可得：F1?1.63F2

FBC 30o 60o FCD F1 2-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶M。试求A和C点处的约束力。

解：BC为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的方向。曲杆AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）：

FB

FB

θ

θ

FC FA 0M?0 FA?10a?sin(??45)?M?0

?FA?0.354其中：tan??M a1。对BC杆有： 3M 。A，C两点约束力的方向如图所示。 FC?FB?FA?0.354a

2-4四连杆机构在图示位置平衡，已知OA=60cm,BC=40cm,作用在BC上力偶的力偶矩M2＝1N·m。试求作用在OA上力偶的力偶矩大小M1和AB所受的力FAB。各杆重量不计。

FA

FB FA

FC

FO

C O

解：

机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对BC杆有：

M?0FB?BC?sin300?M2?0 ? 对AB杆有：FB?FA

对OA杆有：

FB

M1?FA?OA?0

F?FO?FC?5N，方向如图所示。

求解以上三式可得：M1?3N?m， AB

?M?0

2-6等边三角形板ABC,边长为a，今沿其边作用大小均为F的力F1,F2,F3，方向如图a,b所示。试分别求其最简简化结果。

y MA FR 解：2-6a

坐标如图所示，各力可表示为:

d FR y

x FR d FR

MA

x ?1?3?F1?Fi?Fj，

22?1???F2?Fi， F3??Fi?23?Fj 2

先将力系向A点简化得（红色的）：

?????3， M?FakFR?Fi?3FjA2??方向如左图所示。由于FR?MA，可进一步简化为一个不过A点的力(绿色的)，主矢不变，

其作用线距A点的距离d? 2-6b

3a，位置如左图所示。 4

??同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢为：FR??2Fi

其作用线距A点的距离d?3a，位置如右图所示。 4

简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？

2-13图示梁AB一端砌入墙内，在自由端装有滑轮，用以匀速吊起重物D。设重物重为P, AB长为l，斜绳与铅垂方向成?角。试求固定端的约束力。 法1 解：

整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向，力偶以逆时针为正）：

选梁AB为研究对象，受力如图，列平衡方程：

?Fx?0 ?Fy?0

Psin??FBx?0

FBy

FBy?P?Pcos??0B P

FBx P

?Fx?0 FAx?FBx?0 ?Fy?0 FAy?FBy?0 ?MA?0 MA?FBy?l?0

FAx,FAy,FBx,FBy,MA分别为：

FA y

MA FAx

FBx FBy

求解以上五个方程，可得五个未知量

FAx?FBx??Psin?（与图示方向相反）

FAy?FBy?P(1?cos?)（与图示方向相同）

MA?P(1?cos?)l （逆时针方向）

法2 FA y 解：

设滑轮半径为R。选择梁和滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程：

FAx MA

?Fx?0

FAx?Psin??0

?Fy?0 ?M?0

AFAy?P?Pcos??0P

P

MA?P(l?R)?Pcos?(l?R)?Psin?Rtan?2?0

求解以上三个方程，可得

FAx,FAy,MA分别为：

FAx??Psin? （与图示方向相反）

FAy?P(1?cos?) （与图示方向相同）

MA?P(1?cos?)l （逆时针方向）

2-18均质杆AB重G，长l ，放在宽度为a的光滑槽内，杆的B端作用着铅垂向下的力F，如图所示。试求杆平衡时对水平面的倾角?。 解：

选AB杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

al?G?cos??F?lcos??0?MA?0 cos?2

s?G?F?0 ?Fy?0 NDco?求解以上两个方程即可求得两个未知量ND,?，其中：

ND???arccos[

未知量不一定是力。

2(F(2F?G)l1?G)a3]NA

A

D

ND

2-27如图所示，已知杆AB长为l，重为P，A端用一球铰固定于地面上，B端用绳索CB拉住正好靠在光滑的墙上。图中平面AOB与Oyz夹角为?，绳与轴Ox的平行线夹角为?，已知a?0.7m,c?0.4m,tan??3,??45o,P?200N。试求绳子 4

的拉力及墙的约束力。 解：

选杆AB为研究对象，受力如下图所示。列平衡方程：

?M

y?0

1P?ctan??FBCcos??c?FBCsin??ctan??02

?M

x'?0

FBC?60.6N 1P?a?FB?c?FBCsin??a?0 2FB?100N

由Fy?0和Fz?0可求出FAy,FAz。平衡方程

思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个？

???Mx?0可用来校核。

2-29图示正方形平板由六根不计重量的杆支撑，连接处皆为铰链。已知力F作用在平面BDEH内，并与对角线BD成45o角，OA=AD。试求各支撑杆所受的力。 解：

杆1，2，3，4，5，6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。选板ABCD为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程：

0MDE?0F?cos45?0 F2?0 2

??MAO?0 ?F6cos45拉) 压) 压) 拉)

0?a?Fcos45cos45?a?0

00F6??2F2 (受

?MBH?0 ?F4cos450?a?F6cos45?a?0

0

F4?2F2 (受1?2F2 (受

?MAD?0 F1?a?F6cos45?MCD?0

0?a?Fsin45?a?0

00

F1?F1?a?F3?a?Fsin45?a?0

1F3??F2 (受

?MBC?0 F3?a?F5?a?F4cos450?a?0

F?0

5本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免求解联立方程。

2-31如图所示，欲转动一置于V形槽中的棒料，需作用一力偶，力偶矩M?1500N?cm。已知棒料重P?400N，直径D?25cm。试求棒料与V形槽之间的静摩擦因数解：

取棒料为研究对象，受力如图所示。 列平衡方程:

fs。

??Fx?0???Fy?0?M?0??O

补充方程：

?0?F1?pcos45?N2?0?0?F2?psin45?N1?0?D(F?F)??M?012?2?

?F1?fsN1??F2?fsN2

五个方程，五个未知量

F1,N1,F2,N2，fs，可得方程：

解得

fS12M?fS2?2p?D?fS?2M?0 ?0.223,fS2?4.491。当fS2?4.491时有：

N1?

p(1?fS2)?022(1?fS2)

即棒料左侧脱离V型槽，与题意不符，故摩擦系数

fS?0.223。

2-33均质杆AB长40cm，其中A端靠在粗糙的铅直墙上，并用绳子CD保持平衡，如图所示。设BC?15cm,AD?25cm，平衡时?角的最小值为45。试求均质杆与墙之间的静

o摩擦因数解：

fs。

0当??45时，取杆AB为研究对象，受力如图所示。 列平衡方程：

??Fx?0???Fy?0?M?0??A附加方程：

FS?fSFN

?FN?Tsin??0??FS?Tcos??p?0??ABTcos??ACCsin??Tsin??ACcos??p?sin??0?2?

四个方程，四个未知量

FN,FS,T，fs，可求得fs?0.646。

2-35在粗糙的斜面上放着一个均质棱柱体，A，B为支点，如图所示。若AB?BC?AC，A和B于斜面间的静摩擦因数分别为s1和s2，试求物体平衡时斜面与水平面所形成的最大倾角?。

解：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。假设棱柱边长为a，重为P，列平衡方程

ff

aa?F?a?Pco?s??Psin??0?NB223??MA?0?aa?? M?0?F?a?Pco?s??Psin??0 ??B?NA223??F?0?x?FA?FB?Psin??0???

?F?fF如果棱柱不滑动，则满足补充方程?As1NAF时处于极限平衡状态。

?B?fs2FNB

解以上五个方程，可求解五个未知量

FA,FNA,FB,FNB,?，其中：

tan??3(fs1?fs2)fs2?fs1?23 (1)

当物体不翻倒时FNB?0，则：

??600

(2)

即斜面倾角必须同时满足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡。

3-10 AB,AC和DE三杆连接如图所示。杆DE上有一插销H套在杆AC的导槽内。试求在水平杆DE的一端有一铅垂力F作用时，杆AB所受的力。设AD?DB,DH?HE,BC?DE，杆重不计。 解：

假设杆AB，DE长为2a。取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程：

?MC?0 FBy?2a?0

F?0

By

取杆DE为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

FBy

取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

?MH?0 ?MB?0 ?Fy?0

FDy?a?F?a?0

FDy?FFBx FHy

FCy

FCx

FDx?a?F?2a?0 FDx?2F

FDx

FDy

FAy FDy FBy

FAy?FDy?FBy?0

FAy??F(与假设方向相反)

?MA?0

FDx?a?FBx?2a?0

FBx??F(与假设方向相反) ?FAx?2a?FDx?a?0 FAx??F(与假设方向相反)

?MB?0

FAx FDx FBx 3-12AB,AC,AD和BC四杆连接如图所示。在水平杆AB上作用有铅垂向下的力F。接触面和各铰链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力F的位置如何，杆AC总是受到大小等于F的压力。 解：

取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

?MC?0 FD?b?F?x?0

FD?xFb

取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

FCy

FCx

FD

?MA?0 FB?b?F?x?0

FB?xFb

杆AB为二力杆，假设其受压。取杆AB和AD构成的组合体为研究对象，受力如图所示， 列平衡方程：

bbb(F?F)??F?(?x)?F??0AC?ME?0 BD222 解得FAC?F，命题得证。

注意：销钉A和C联接三个物体。

3-14两块相同的长方板由铰链C彼此相连接，且由铰链A及B固定，如图所示，在每一平板内都作用一力偶矩为M的力偶。如a?b，忽略板重，试求铰链支座A及B的约束力。 解：

取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零， 因此有：

FEy FABy

FABx FB

FAC

FEx FB

?MA?0

MA(FB)?M?M?0

FA FB 即FB必过A点，同理可得FA必过B点。也就是FA和FB是大小相等， 方向相反且共线的一对力，如图所示。

取板AC为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

?MC?0

解得：

FAsin450?a?FAcos450?b?M?0

2M(方向如图所示)

a?bFCy FCx

FA?

3-20如图所示结构由横梁AB,BC和三根支承杆组成，载荷及尺寸如图所示。试求A处的约束力及杆1，2，3所受的力。 解：

支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC为研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa，作用在BC杆中点。列平衡方程：

?MB?0

F3sin450?a?2qa?a?M?0

F3?2(M?2qa)(受压) a0FBy

FBx

选支撑杆销钉D为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：

?Fx?0

F1?F3cos45?0

F3

y F2 F3 F1

x

F1?M?2qa(受压) a?Fy?0

?F2?F3sin450?0

F2??(M?2qa)(受拉) a FAy

MA FAx

F2

F3

选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

?Fx?0 ?Fy?0

FAx?F3cos450?0

FAx??(0M?2qa)(与假设方向相反) a FAy?P?4qa

FAy?F2?F3sin45?P?4qa?0

?MA?0 MA?F2?a?P?2a?4qa?2a?F3sin450?3a?M?0

MA?4qa2?2Pa?M(逆时针)

3-21二层三铰拱由AB,BC,DG和EG四部分组成，彼此间用铰链连接，所受载荷如图所示。试求支座A,B的约束力。 解：

选整体为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：

?MA?0 FBy?2a?F?2a?0 FBy?F ?MB?0 ?FAy?2a?F?2a?0 FAy??F ?Fx?0 FAx?FBx?F?0 (1)

由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用于其上的力汇交于点G， 受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得：

FAy

FAx FBy FBx

FE?2F2。

取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

FG

F

F2

FE FG FE ?MC?0

代入公式(1)可得：

0FBx?a?FBy?a?FEsin45?a?0FAx??

FBx??FCy

FCx FBy

FE FBx

F2

3-24均质杆AB可绕水平轴A转动，并搁在半径为r的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水平面上，用不可伸长的绳子AC拉在销钉A上，杆重16N，AB?3r,AC?2r。试求绳的拉力和杆AB对销钉A的作用力。

N1

N1 FAy

P F Ax T 解： 取杆AB为研究对象，设杆重为P，受力如图所示。列平衡方程：

取圆柱C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

Fx?0 N1cos300?Tcos300?0 T?6.93(N)

注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。

3-27均质杆AB和BC完全相同，A和B为铰链连接，C端靠在粗糙的墙上，如图所示。设

?MA?0 ?Fx?0 ?Fy?0 ?

N2 3r0N1?3r?P?cos60?0 N?6.93(N) 2 1FAx?N1sin600?0 FAx?6(N) FAy?N1cos600?P?0FAy?12.5(N)静摩擦因数s。试求平衡时?角的范围。

解：

取整体为研究对象，设杆长为L，重为P，受力如图所示。列平衡方程：

f?0.353?MA?0

FN?2Lsin??2P? (1)

取杆BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

LP cos??0 FN?22tan?

?MB?0

(2)

FN?Lsin??P?Lcos??Fs?Lcos??0 FS?P 2

FAy Fs

FAx

P

Fs

FBy

P

FBx

FN

F?f?FssN补充方程：，

将(1)式和(2)式代入有：tan??

P

FN

fs，即??100。 2

3-30如图所示机构中，已知两轮半径量R?10cm，各重P?9N，杆AC和BC重量不计。轮与地面间的静摩擦因数

fs?0.2，滚动摩擦系数??0.1cm。今在BC杆中点加一垂直力

F。试求：平衡时F的最大值Fmax；

当F?Fmax时，两轮在D和E点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。

解：

取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

???Fx?0????Fy?0

FSD?FSE?0???FND?FNE?F?2P?0

由题可知，杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力F，以及B和C处的约束力FB和FAC，由三力平衡汇交，可确定约束力FB和FAC的方向如图所示，其中：AC受压。 FAC

ME FSD

FSE FMD

FND NE

tan??13，杆

θ FB F取轮A为研究对象，受力如图所示，设AC的作用线与水平面交于F点，列平衡方程：

FSD?R?MD?0

(FND?P)?R?MD?0

取轮B为研究对象，受力如图所示，设FB的作用线与水平面交于G点，列平衡方程： F ?MB?0 ME?FSE?R?0

解以上六个方程，可得：

?MA?0

?MF?0 ?MG?0

FAC FSD M D FND

ME?(P?FNE)?Rtan??0

FB ME FSE FNE 13FND?P?FFNE?P?F4， 4，

11FSD?FSE?FMD?ME?FR4， 4

若结构保持平衡，则必须同时满足：

MD??FND，ME??FNE，FSD?fsFND，FSE?fsFNE

即：

G

4fP4fsP4?4?4?F?min{P,P,s,}?PR??R?3?1?fs1?3fsR??，

因此平衡时F的最大值Fmax?0.36，此时：

FSD?FSE?0.091(N)， MD?ME?0.91(N?cm)

3-35试用简捷的方法计算图中所示桁架1，2，3杆的内力。 解：

由图可见杆桁架结构中杆CF，FG，EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

FG

FH

S

θ F1

F3

S F2

s?6?FH?4?FG?3?0 F1??14.58(kN)(受拉) ?MC?0 F1co??Fx?0 ?F1sin??F3?FH?0 F3??31.3 (受拉) ?Fy?0 F2?F1cos??FG?0 F2?41.67(受压)

3-38如图所示桁架中，ABCDEG为正八角形的一半，AD,AE,GC,GB各杆相交但不连接。试求杆BC的内力。

解：假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

?Fx?0

F?FCD?0

FCD?F(受压)

FCD FCG

FCD

FEG

FBC

θ

FAB

FG 取节点C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

C???FBCcos450?FCD?FCGcos??0??Fx?0??0F?0?Fsin45?FCGsin??0??yBC??

1?2tan??2?2，解以上两个方程可得：FBC?0.586F(受压) 其中：

3-40试求图中所示桁架中杆1和2的内力。 解：

取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

F1

S

C F3

3F4

4 FAy

FAx F5

5 F2

B FB S

用截面S-S将桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象，受力如图所

示。列平衡方程：

?MA?0

FB?2a?F?2a?F?3a?0 FB?2.5F

?MC?0

FB?a?F?a?F2?3a?0 2F?F1?F2?0

F2??F

X?0

7F(受拉) 65F1?F(受拉)

64-1力铅垂地作用于杆AO上,AO?6BO,CO1?5DO1。在图示位置上杠杆水平，杆DC与DE垂直。试求物体M所受的挤压力FM的大小。 解：

1.选定由杆OA，O1C，DE组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为F,FM。

2.该系统的位置可通过杆OA与水平方向的夹角?完全确定，有一个自由度。选参数?为广义坐标。

3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆OA有一个微小的转角??，相应的各点的虚位移如下：

?rA?OA???

1C??? ，?rB?OB???，?rC?O?rD?O1D???，?rB??rC，?rD??rE

δθ

δrA

?rE 代入可得：?rA?30

4.由虚位移原理

i??W(F)?0有：

δrD δrE δrB δrC F??rA?FM??rE?(30F?FM)??rE?0

对任意?rE?0有：FM?30F，物体所受的挤压力的方向竖直向下。

4-4如图所示长为l的均质杆AB，其A端连有套筒，又可沿铅垂杆滑动。忽略摩擦及套筒重量，试求图示两种情况平衡时的角度?。 解：4a

1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。 2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角?完全确定，有一个自由度。选参数?为广义坐标。

由几何关系可知：

h?atan?

杆的质心坐标可表示为：

zC?3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB逆时针旋转一个微小的角度??，则质心C的虚位移：

al??cos?tan?2

sin2??W(Fi)?0有：

4.由虚位移原理??zC??a???lsin????2

对任意???0有：

?P??zC??P?(?asin2??lsin?)???02

sin

即杆AB平衡时：

?a2??lsin??02

12a??arcsin()3l。

解：4b

1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。 2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角?完全确定，有一个自由度。选参数?为广义坐标。

由几何关系可知：

zA?zC?

杆的质心坐标可表示为：

Rsin?

Rl??cos?sin?2

3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB顺时针旋转一个微小的角度??，则质心

C的虚位移：

sin2?4.由虚位移原理??W(Fi)?0有：

对任意???0有：

?zC??Rcos?????lsin????2

lsin?)???02

?P??zC??P?(?RRsin2?cos??lsin??022sin? 3即平衡时?角满足：2Rcos??lsin??0。

?cos??

a4-5被抬起的简化台式打字机如图所示。打字机和搁板重P，弹簧原长为2，试求系统在?角

保持平衡时的弹簧刚度系数值。

解：

为主动力。此时作用在系统上的主动力有F1,F2，以及重力P。 2. 该系统只有一个自由度，选定?为广义坐标。由几何关系可知：

1.选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力F1,F2，且F1?F2，将弹簧力视

3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移??，则质心的虚位移为：

zA?zB?a?sin?

弹簧的长度

l?2asin?zC??zA??zB?acos?????2，在微小虚位移??下：

???2

4.由虚位移原理??W(Fi)?0有：

P??zC?F2??l?(Pa?cos??F2a?cos?l?acos??2)???0

a)22其中，代入上式整理可得：

?a[2Pcos??ka(2sin??cos)]???022

由于a?0，对任意???0可得平衡时弹簧刚度系数为：

2Pcos?k??a(2sin??cos)2

F2?k(2asin??

4-6复合梁AD的一端砌入墙内，B点为活动铰链支座，C点为铰链，作用于梁上的力

F1?5kN,F2?4kN,F3?3kN，以及力偶矩为M?2kN?m的力偶，如图所示。试求固

定端A处的约束力。

解：

解除A端的约束，代之以广义坐标。

FAx,FAy,MA，并将其视为主动力，此外系统还受到主动力

F1,F2,F3,M的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移xA,yA和梁AC的转角?为

1．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移?xA?0,?yA?0,???0，如图所示。由虚位移原理

??W(F)?0有：

iFAx??xA?0 对任意?xA?0可得： FAx?0

2．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移?xA?0,?yA?0,???0，如下图所示。由虚位移原理

(1)

??W(F)?0有：

i?FAy??yA?F1??y1?F2??y2?F3??y3?M????0

由几何关系可得各点的虚位移如下：

?y1??yC??y3??yA ?y2?

11?yC??yA33???11?yC??yA 33(?FAy?F1?11F2?F3?M)??yA?033

代入(1)式：

F?4(kN)，方向如图所示。

对任意?xA?0可得：Ay3．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移?xA?0,?yA?0,???0，如上图所示。

由虚位移原理

??W(F)?0有：

i?MA????F1??y1?F2??y2?F3??y3?M????0

有几何关系可得各点的虚位移如下：

(2)

代入(2)式：

?y1?2?? ?????

?y3??yC?3?? ?y2??????

(?MA?2F1?F2?3F3?M)????0

MA?7(kN?m)，逆时针方向。 对任意???0可得：

4-7图示结构上的载荷如下：q?2kN?m；力F1?4kN；力F2?12kN，其方向与水平成

60o角；以及力偶，其力偶矩为M?18kN?m。试求支座处的约束力。

解：

将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷F3，大小为6q。

1.求支座B处的约束力

1,F2,F3,M解除B点处的约束，代之以力FB，并将其视为主动力，系统还受到主动力F的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁CDB只能绕C点转动。系统有

一个自由度，选转角?为广义坐标。给定虚位移??，由虚位移原理 (1) 各点的虚位移如下： 代入(1)式整理可得：

??W(F)?0有：

iFB??rBcos450?M????F2??y2cos1500?F3??y3?0

?rB?62???

(6FB?M?

?y2?9??? ?y3?3???

93F2?3F3)????02

对任意???0可得：FB?18.6(kN)，方向如图所示。

2.求固定端A处的约束力 解除A端的约束，代之以

FAx,FAy,MA，并将其视为主动力，系统还受到主动力

F1,F2,F3,M的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移xA,yA和梁AC的转角?为广

义坐标。

2a.求FAx

在不破坏约束的前提下给定一组虚位移?xA?0,?yA?0,???0，此时整个结构平移，如上图所示。由虚位移原理

??W(F)?0有：

iFAx??xA?F1??x1?F2??x2cos1200?0

各点的虚位移如下： 代入(2)式整理可得：

(2)

?x1??x2??xA

(FAx?F1?0.5F2)??xA?0

对任意?xA?0可得：FAx?2(kN)，方向如图所示。

2b.求FAy

在不破坏约束的前提下给定一组虚位移?xA?0,?yA?0,???0，此时梁AC向上平移，梁CDB绕D点转动，如上图所示。由虚位移原理

??W(F)?0有：

iFAy??yA?F3??y3?F2??y2cos300?M????0各点的虚位移如下：

(3)

?y2??y3?代入(3)式整理可得：

11?yC??yA22

???11?y2??yA36

131F3?F2?M)??yA?0246

FAy?3.8(kN)，方向如图所示。

对任意?yA?0可得：

(FAy?

2c.求MA

在不破坏约束的前提下给定一组虚位移?xA?0,?yA?0,???0，此时梁AC绕A点转动，梁CDB平移，如上图所示。由虚位移原理

??W(F)?0有：

i0?MA????F1??x1?F2??x2cos120?0

(4)

各点的虚位移如下： 代入(4)式整理可得：

?x1?3??

?x2??xC?6??

(?MA?3F1?3F2)????0

对任意???0可得：MA??24(kN?m)，顺时针方向。

4-8设桁架有水平力F1及铅垂力F2作用其上，且AD?DC?CE?BE?DK?KE，

??30o。试求杆1，2和3所受的力。

解：

假设各杆受拉，杆长均为a。

1．求杆1受力

1，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角?为广义坐标，如去掉杆1，代之以力P上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变，绕A点转

动，因此有?rD?AD,?rK?AK，且：

滑动支座B处只允许水平方向的位移，而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向，故B点不动。

?rD?a???,?rK?3a???

三角形BEK绕B点旋转?rE?BE，且：

对刚性杆CD

i?rE??rD?a???

和杆CE，由于?rD?CD,?rE?CE，因此?rC?0。由虚位移原理

??W(F)?0有：

代入各点的虚位移整理可得：

00(F1?P1)??rDcos60?P1??rEcos60?0

(F1?2P1)?a???0

F1P1??2（受压）对任意???0可得：。

2．求杆2受力

2，系统有一个自由度，选BK与水平方向的夹角?为广义坐标，如去掉杆2，代之以力P上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK绕A点转动，因此有

?rK?AK，且：

?rK?3a???

同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转?rE?BE，且：

?rE??rD?a??? ?rE?a???

杆AD绕A点转动?rD?AD，由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如图

所示，且：

?rD??rE?a???

?W(Fi)?0有： 同理可知?rC?0。由虚位移原理000F1??rDcos120?P2??rDcos150?P2??rKcos120?0

代入各点的虚位移整理可得：

(F1?23P2)?a???0

3F1P2??6（受压）对任意???0可得：。

3．求杆3受力

3，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角?为广义坐标，如去掉杆3，代之以力P上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK绕A点转动，

?

?rD?AD,?rK?AK，且：

?rD?a???,?rK?3a???

同理可知B点不动，?rE?BE，且：

?rE??rD?a???

由虚位移原理??W(Fi)?0有：

代入各点的虚位移整理可得：

?rC?0

00F1??rDcos600?P3??rEcos150?P3??rKcos120?0

(F1?23P3)?a???0

3F1P3?6（受拉）对任意???0可得：。

4-12杆长2b，重量不计，其一端作用铅垂常力F，另一端在水平滑道上运动，中点连接弹簧，如图所示。弹簧刚度系数为k，当y?0时为原长。不计滑块的重量和摩擦，试求平衡位置y，讨论此平衡位置的稳定性。 解：

F大小和方向不变，常力也是有势力。取杆和弹簧构成的系统为研究对象。该系统为保守系统，有一个自由度，选?为广义坐标，如图所示。取??0为零势能位置，则系统在任意位置的势能为：

V?V弹?VF

1?k(b?bcos?)2?F(2b?2bcos?)21?kb2(1?cos?)2?2Fb(1?cos?)2

dV?0d?由平衡条件可得：

θ

b[kb(1?cos?)?2F]sin??0

有：sin??0和kb(1?cos?)?2F?0 即：??0和cos??1?也就是：y?0和y?2F

kbF(kb?F)两个平衡位置。

为判断平衡的稳定性，取势能V的二阶导数：

d2V?(kb?2F)bcos??kb2cos2?2当??0时，

2kd?

d2V??2Fb?0，即y?0时是不稳定平衡。 2d?2F时，

当cos??1?kb

d2V

由上式可知：

d?2?4F(kb?F)k

2dV2F21． 当cos??1?且kb?F时，即y?F(kb?F)是稳定平衡位置； ?02kbkd?2dV2F22． 当cos??1?且kb?F时，即y?F(kb?F)是不稳定平衡位置。 ?02kkbd?

4-15半径为r的半圆住在另一半径为R的半圆柱上保持平衡，如图所示。试讨论对无滑动的滚动扰动的稳定性。

解：

取半径为r的半圆柱为研究对象，圆心为C。半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个

半圆心连线与y轴夹角?为广义坐标。作用在半圆柱上的主动力为重力，系统为保守系统，如图所示，其中h?动，有：

4r。由于半圆柱作纯滚3??r??R （1）

取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位置的势能为：

V?mgzC?mg[(R?r)cos??代入（1）式有：

4rcos(???)]3?

V?mg[(R?r)cos??

由平衡条件

4rR?rcos(?)]3?r

dV4R?r?mg(R?r)[sin(?)?sin?]d?3?r

dV?0可得??0为平衡位置。势能V的二阶导数： d?

d2Vd?2由上式可得当R?(

?mg(R?r)[4(R?r)R?rcos(?)?cos?]3?rr

3??1)r，??0是稳定的。 4

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