江苏省张家港市2013-2014学年第二学期期末调研测试初一数学试卷(word解析版)

张家港市2013～2014学年第二学期期末调研测试 初一数学试卷 2014.6

本试卷由选择题、填空题和解答题三部分组成，共28题，满分130分，考试时间120分钟． 注意事项：

1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试号等信息填写在答题卡相应的位置上； 2．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填在答题卡相应的位置上） 1．下列四个数中最小的是

5 1

A． 3 B．3 C． D． 3

3

1

考点：实数大小比较．

分析：先计算出各数的值，再比较出其大小即可．

解答：解：∵|﹣3|=3＞0，3=1＞0，（）=3＞0，（﹣3）=﹣243＜0，

∴四个数中（﹣3）最小． 故选D．

点评：本题考查的是实数的大小比较，熟知正数都大于0，负数都小于0是解答此题的关键 2．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学计数法表示为 A．0.7×103

－

0﹣15

5

B．7×103

－

C．7×104

－D．7×105

－

考点：科学记数法—表示较小的数．

分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

解答：解：0.0007=7×10， 故选：C．

点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定 3．不等式x＋3<5的解集在数轴上表示为

﹣n

﹣4

﹣n

考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．

专题：计算题．

分析：求出不等式的解集，表示在数轴上即可． 解答：

解：不等式x+3＜5，解得：x＜2，

．

故选B 点评：此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 4．下列交通标志中，不是轴对称图形的是

考点：轴对称图形．

分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 解答：解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意；

C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意． 故选C．

点评:掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合

x y 4

5．方程组 的解是

2x y 5

x 3 x 2 x 1 x 4 A． B． C． D．

y 1y 2y 3y 0

考点：解二元一次方程组．

专题：计算题．

分析：方程组利用加减消元法求出解即可．

解答：解：

①+②得：3x=9，即x=3， 将x=3代入①得：y=1， 则方程组的解为故选A

．

，

点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

6．如图，在△ABC中，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是 A．BE＝4

B．∠F＝30°

C．AB∥DE D．DF＝

5

考点：平移的性质．

分析：根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法． 解答：解：∵把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，BC=5，∠A=80°，∠B=70°， ∴CF=BE=4，∠F=∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣80°﹣70°=30°，AB∥DE， ∴A、B、C正确，D错误， 故选D．

点评：本题考查了平移的性质，熟练掌握平移性质是解题的关键．

7．如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，∠1＝25°，则∠BED等于 A．40°

B．50°

C．60° D．25°

考点：平行线的性质．

分析：先根据平线的性质求出∠DAC的度数，再由AD平分∠BAC求出∠BAC的度数，进而得出结论． 解答：解：∵DE∥AC交AB于点E，∠1=25°， ∴∠BAC=∠BED，∠1=∠DAC=25°． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC=2∠DAC=50°， ∴∠BED=∠BAC=50°． 故选B．

点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等，内错角相等．

8．一个三角形的3边长分别是xcm、(x＋2)cm、(x＋4)cm，它的周长不超过20cm，则x的取值范围是 A．2<x<

14

3

B．2<x≤

14

C．2<x<4 3

D．2<x≤4

考点：三角形三边关系．

分析：根据三角形两边之和大于第三边可得x+x+2＞x+4，再根据周长不超过20cm可得x+x+x+2+4≤20，联立两个不等式，求出公共解集即可． 解答：解：由题意得：

，

解得：2＜x≤，

故选：B．

点评：此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边． 9．如图，图(1)的正方形的周长与图(2)的长方形的周长相等，且长方形的长比宽多a cm，则正方形的面积与长方形的面积的差为 A．a2

B．

12a 2

C．a2

13

D．

12 a4

考点：整式的混合运算．

分析：设长方形的宽为xcm，则长为（x+a）cm，则正方形的边长为（x+x+a）=（2x+a）；求出二者面积表达式相减即可．

解答：解：设长方形的宽为xcm，则长为（x+a）cm， 则正方形的边长为（x+x+a）=（2x+a）； 正方形的面积为[（2x+a）]， 长方形的面积为x（x+a），

二者面积之差为[（2x+a）]﹣x（x+a）=a．

故选D．

点评：本题考查了整式的混合运算，设出长方形的宽，据此表示出正方形和长方形的面积表达式是解题的关键．

2

2

2

10．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的一个定点，OP＝20cm，点C、D分别是OA、OB上的动点，连结CP、DP、CD，则△CPD周长的最小值为 A．10 cm

B．15 cm

C．20cm D．40cm

考点：轴对称-最短路线问题．

分析：作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″分别与OA、OB相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求点C、D，△CPD周长的最小值等于P′P″，根据轴对称的性质可得∠POA=∠P′OA，∠POB=∠P″OB，OP′=OP″=OP，然后求出∠P′OP″=60°，从而判断出△OP′P″是等边三角形，根据等边三角形的性质可得PP′=OP′． 解答：解：如图，作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″， 由轴对称确定最短路线问题，P′P″分别与OA、OB的交点即为C、D， △CPD周长的最小值=P′P″， 由轴对称的性质，∠POA=∠P′OA，∠POB=∠P″OB，OP′=OP″=OP=20cm，

所以，∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°， 所以，△OP′P″是等边三角形， ∴PP′=OP′=20cm． 故选C．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质以及周长最小时点C、D的确定方法是解题的关键，作出图形更形象直观． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡相应的位置上） 11．x5·x＝ ▲ ．

考点：同底数幂的乘法．

分析：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可．

5+16

解答：解：原式=x=x，

6

故答案为：x．

点评：此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是掌握计算法则．

12．“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是．

考点：命题与定理．

分析：先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题． 解答：解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，

所以逆命题是：“如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形”． 故答案为：如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．

点评：本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

13．若2m＝4，2n＝8，则2mn＝ ▲ ．

＋

考点：同底数幂的乘法．

m+nmn

分析：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加可得2=2×2然后计算即可．

mn

解答：解：∵2=4，2=8， m+nmn∴2=2×2=4×8=32， 故答案为：32．

mnm+n

点评：此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是灵活运用a a=a （m，n是正整数）． 14．已知m>0，并且使得x2＋2(m－2)x＋16是完全平方式，则m的值为 ▲ ． ．

考点：完全平方式．

22

分析：将原式化为x+2（m﹣2）x+4，再根据完全平方公式解答．

22

解答：解：∵原式可化为知x+2（m﹣2）x+4，

22

∴2（m﹣2）=8或2（m﹣2）=﹣8时，原式可化为（x+4）或（x﹣4）， ∴m=6或m=﹣2．

∵m＞0， ∴m=6．

故答案为：6．

点评：本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．

15．在△ABC中，∠A＝100°，当∠B＝°时，△ABC是等腰三角形． 考点：等腰三角形的判定．

分析：直接根据等腰三角形的两底角相等进行解答即可． 解答：解：∵△ABC是等腰三角形，∠A=100°，

∴∠B==40°．

故答案为：40．

点评：本题考查的是等腰三角形的判定，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 16．如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝30°，∠C ＝70°，则∠EAD ＝ ▲ °．

考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质． 分析：由∠B=30°，∠C=70°，根据内角和定理得∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°，由角平分线的定

义得∠

BAE=∠BAC=40°，根据AD⊥BC得∠BAD=90°﹣∠B=60°，利用∠EAD=∠BAD﹣∠BAE求解．

解答：解：∵∠B=30°，∠C=70°， ∴在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE=∠BAC=40°，

又∵AD⊥BC， ∴∠BAD=90°﹣∠B=60°， ∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=60°﹣40°=20°． 故答案为：20．

点评：本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义．关键是利用内角和定理求∠BAC，根据角平分线的定义求∠BAE，利用高得出互余关系求∠BAD，利用角的和差关系求解．

17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为 ▲ cm． 考点：角平分线的性质；等腰直角三角形．

分析：根据角平分线的性质即可证得AC=AE，CD=DE，据此即可证得△DEB的周长等于AB的长．

解答：解：∵AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥BA于E，∠C=90°， ∴CD=DE，DA平分∠EDC． ∴AC=AE， ∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE 又∵BC=AC ∴△DEB的周长=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=6厘米． 故答案是：6．

点评：本题考查角平分线的性质定理，关键是证明△DEB的周长等于AB的长． 18．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC＝2EB，点D是AC的中点，AE、BD交于点F，AF＝3FE，若△ABC的面积为18，给出下列命题：

①△ABE的面积为6；

②△ABF的面积和四边形DFEC的面积相等； ③点F是BD的中点； ④四边形DFEC的面积为

15

． 2

其中，正确的结论有 ▲ ．（把你认为正确的结论的序号都填上）

考点：三角形的面积． 分析：①根据等高的三角形面积比等于底边比即可求解； ②先分别得到△ABE的面积和四边形DBC的面积与△ABC的面积之间的关系，依此即可求解； ③过D点作DG∥BC，通过三角形中位线定理和全等三角形的判定和性质即可求解； ④用18﹣△ABF的面积﹣△ADF的面积，列式计算即可求解． 解答：解：①∵△ABC的面积为18，EC=2EB，

∴△ABE的面积=18×=6，故①正确；

②∵EC=2EB，点D是AC的中点， ∴△ABE的面积≠△BCD的面积， ∴△ABF的面积和四边形DFEC的面积不相等，故②错误； ③过D点作DG∥BC， ∵点D是AC的中点， ∴DG=EC，

∵EC=2EB， ∴DG=BE， ∵DG∥BC， ∴∠DGF=∠BEF，∠GDF=∠EBF， 在△DGF与△BEF中，

，

∴△DGF≌△BEF（ASA），

∴DF=BF， ∴点F是BD的中点，故③正确；

④四边形DFEC的面积=18﹣18×﹣18×× =18﹣6﹣ =

，故④正确．

故正确的结论有①③④． 故答案为：①③④．

点评：本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差．

三、解答题（本大题共76分．解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上） 19．（本题满分14分）

(1)填空：①(xy2)2＝ ▲ ，

13

②(－3x)3÷（－3x）＝ ▲ ，

④2x·( ▲ ＋ ▲ )＝2x2＋14x． ②21＋(－2)2＋(

－

－

③（－a3）·（－a2）2＝ ▲ ，

(2)计算：①（3x－1）（x－2），

12

)． 4

(1)考点：整式的混合运算． 分析：①利用积的乘方计算； ②先算乘方，再算除法； ③先算乘方，再算同底数幂的乘法； ④根据积÷一个因式=另一个因式，列式计算即可． 解答：解：①原式=xy； ②原式=﹣27x÷（﹣3x）=9x；

347

③原式=（﹣a） a=﹣a；

2

④原式=（2x+14x）÷2x=x+7． 故答案为：xy；9x；﹣a；x，7．

点评：此题考查整式的混合运算，掌握同底数幂的乘除以及幂的乘方等的计算方法是解决问题的关键．

(2)考点：整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．

24

32

2427

专题：计算题． 分析：①原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果； ②原式利用负指数幂法则及乘方的意义计算即可得到结果．

2

解答：解：①原式=3x﹣7x+2； ②原式=++

=

．

点评：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（本题满分5分）

3x 1 x 3

解不等式组： 2x 13x 4．

4 3

考点：解一元一次不等式组．

分析：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．

解答：解：

∵由①得：x≥2， 由②得：x＜8， ∴不等式组的解集是2≤x＜8． 点评：本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集． 21．（本题满分5分）

如图，∠E＝40°，CD∥AB，∠ABE＝2∠ABC，∠BCE＝4∠ABC，

(1)若设∠ABC＝x°，则∠BCD＝D＝（用含x的代数式表示）； (2)求∠D的度数．

考点：平行线的性质． 分析：（1）先根据平行线的性质得出∠BCD的度数，再由∠ABE=2∠ABC即可得出∠BCD的度数；

（2）先用x表示出∠ABE与∠BCE的度数，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论． 解答：解：（1）∵CD∥AB，∠ABC=x°， ∴∠BCD=∠ABC=x°，∠D=∠ABE， ∵∠ABE=2∠ABC， ∴∠D=2∠ABC=2x°． 故答案为：x，2x；

（2）∵∠ABE=2∠ABC，∠BCE=4∠ABC，∠ABC=x°， ∴∠ABE=2x°，∠BCE=4x°． 在△BCE中， ∵∠ABE+∠ABC+∠BCE+∠E=180°，即2x+x+4x+40=180，解得x=20． ∴∠D=2x°=40°．

点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等，内错角相等．

22．（本题满分6分）

把下列各式分解因式 (1) x 1

2

1 4

(2)a2(x－y)－b2(x－y)．

考点：提公因式法与公式法的综合运用． 分析：（1）利用平方差公式即可分解； （2）首先提公因式（x﹣y），然后利用平方差公式即可分解． 解答：解：（1）原式=（x﹣1+）（x﹣1﹣）=（x﹣）（x﹣）；

（2）原式（x﹣y）（a﹣b）=（x﹣y）（a+b）（a﹣b）．

点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．

23．（本题满分6分）

若x＋y＝3，且(x＋2)（y＋2）＝12． (1)求xy的值；

22

(2)求x2＋3xy＋y2的值．

考点：完全平方公式． 分析：（1）先去括号，再整体代入即可求出答案； （2）先变形，再整体代入，即可求出答案． 解答：解：（1）∵x+y=3，（x+2）（y+2）=12， ∴xy+2x+2y+4=12， ∴xy+2（x+y）=8， ∴xy+2×3=8， ∴xy=2；

（2）∵x+y=3，xy=2，

∴x+3xy+y

2

=（x+y）+xy 2=3+2 =11．

点评：本题考查了整式的混合运算和完全平方公式的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．

24．（本题满分6分）

2

2

如图，AF∥BC，点D是AF上一点，BF与CD交于点E，点E是CD的中点． (1)求证：△BCE≌△FDE；

(2)连结BD，CF，则△BDE和△FCE全等吗？为什么？

考点：全等三角形的判定与性质． 分析：（1）根据平行线性质得出∠F=∠EBC，根据全等三角形的判定推出即可； （2）根据全等得出BE=EF，根据全等三角形的判定推出即可． 解答：（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠F=∠EBC， ∵点E是CD的中点， ∴DE=CE， 在△BCE和△FDE中，

，

∴△BCE≌△FDE（AAS）；

（2）解：△BDE和△FCE全等， 理由是：∵△BCE≌△FDE； ∴BE=EF， 在△BDE和△FCE中

∴△BDE≌△FCE（SAS）．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．

25．（本题满分8分）

2x y 4m

已知关于x、y的方程组 （实数m是常数）．

x 2y 2m 1

(1)若x＋y＝1，求实数m的值； (2)若－1≤x－y≤5，求m的取值范围； (3)在(2)的条件下，化简：m 2 2m 3．

考点：二元一次方程组的解；解一元一次不等式组． 分析：（1）先将方程组中的两个方程相加，得3（x+y）=6m+1，再将x+y=1代入，得到关于m的方程，解方程即可求出实数m的值；

（2）先将方程组中的两个方程相减，得x﹣y=2m﹣1，再解不等式组﹣1≤2m﹣1≤5，即可求出m的取值范围；

（3）先根据绝对值的定义去掉绝对值的符号，再合并同类项即可． 解答：解：（1）将方程组中的两个方程相加，得3（x+y）=6m+1， 将x+y=1代入，得6m+1=3，

解得m；

（2）将方程组中的两个方程相减，得x﹣y=2m﹣1， 解不等式组﹣1≤2m﹣1≤5， 得0≤m≤3；

（3）当0≤m

≤时，|m+2|+|2m﹣3|=（m+2）﹣（2m﹣3）=5﹣m； 当＜m≤3时，|m+2|+|2m﹣3|=（m+2）+（2m﹣3）=3m﹣1．

点评：本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式组，绝对值的定义，是基础知识，需熟练掌握．

26．（本题满分8分）

已知：如图(1)，△AOB和△COD都是等边三角形，连接AC、BD交与点P． (1)求证：AC＝BD； (2)求∠APB的度数；

(3)如图(2)，将(1)中的△AOB和△COD改为等腰三角形，并且OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD的等量关系为 ▲ ，∠APB的大小为 ▲ ．

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 分析：（1）根据等边三角形性质得出AO=OB，CO=DO，∠AOB=∠COD=60°，求出∠AOC=∠BOD，证出△AOC≌△BOD即可； （1）根据全等得出∠1=∠2，根据三角形内角和定理求出即可；

（3）求出∠AOC=∠BOD，证出△AOC≌△BOD，推出AC=BD，∠OCA=∠ODB，根据三角形内角和定理求出即可 解答：

（1）证明：∵△AOB和△COD都是等边三角形， ∴AO=OB，CO=DO，∠AOB=∠COD=60°， ∴∠AOC=∠BOD=60°+∠BOC， 在△AOC和△BOD中，

，

∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC=BD；

（2）解：∵△ABO是等边三角形， ∴∠OAB=∠OBA=60°， ∴∠1+∠3=60°， ∵△AOC≌△BOD， ∴∠1=∠2， ∴∠APB=180°﹣（∠3+∠ABO+∠2） =180°﹣（∠3+∠1+∠ABO） =180°﹣（60°+60°） =60°；

（3）解：AC=BD，∠APB=α， 理由是：∵∠AOB=∠COD=α， ∴∠AOC=∠BOD=∠BOC+α， 在△AOC和△BOD中

∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC=BD，∠OCA=∠ODB， ∴∠APB=180°﹣（∠PDC+∠PCO+∠OCD） =180°﹣（∠PDC+∠BDO+∠OCD） =180°﹣（∠ODC+∠OCD） =∠DOC =α，

故答案为：AC=BD，∠APB=α．

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，证明过程类似．

27．（本题满分8分）

为了推进学校“阳光体育”活动的正常开展，丰富学生课外文体活动的种类，某市计划对A．B两类薄弱学校的体育设施全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．

(1)改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？ (2)若该市的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？

(3)该市计划今年对A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？

考点：

一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用． 专题：压轴题；方案型． 分析：（1）可根据“改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元”，列出方程组求出答案；

（2）根据“共需资金1575万元”“A类学校不超过5所”，进行判断即可；

（3）要根据“若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案． 解答：解：（1）设改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为a万元和b万元．

依题意得：解得：

答：改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元；

（2）设该县有A、B两类学校分别为m所和n所． 则

60m+85n=1575

∵A类学校不超过5所 ∴﹣

n+

≤5

∴n≥15

即：B类学校至少有15所；

（3）设今年改造A类学校x所，则改造B类学校为（6﹣x）所， 依题意得：解得：1≤x≤4

∵x取整数 ∴x=1，2，3，4

答：共有4种方案．

点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：

（1）“改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元”；

（2）“共需资金1575万元”“A类学校不超过5所”；

（3）“若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元”，

列出方程组，再求解．

28．（本题满分10分）

如图(1)，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t(s)．

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

(2)如图(2)，将图(1)中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

考点：全等三角形的判定与性质． 专题：动点型．

分析：（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可； （2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可． 解答： 解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3， 又∠A=∠B=90°， 在△ACP和△BPQ中，

∴△ACP≌△BPQ（SAS）．

∴∠ACP=∠BPQ， ∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°． ∴∠CPQ=90°，

即线段PC与线段PQ垂直． （2）①若△ACP≌△BPQ， 则AC=BP，AP=BQ，解得

；

，

②若△ACP≌△BQP， 则AC=BQ，AP=BP，

，

解得；

综上所述，存在或使得△ACP与△BPQ全等．

点评：此题考查全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透．

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