初三数学专题复习教案第12讲：二次函数

第12讲二次函数

一、教学目标

1.知识与技能:能够准确绘制二次函数图像；通过图像发现和研究顶点式二次函数的

性质。

2.过程与方法：经历探索和发现二次函数图像的特点和性质的过程；体会数形结合

的数学思想

3.情感、态度与价值观：体验数学活动中的探索性和创造性。

二、教学重难点

教学重点：用描点法画二次函数的图像；探索顶点式二次函数的图像特点和性质。

教学难点：顶点式二次函数的图像特点和性质的得出过程。

三、教学用具：直尺三角板

四、学情分析：学生已经掌握了二次函数的概念和性质，但是二次函数的性质应用

和实际问题需要学生灵活理解和掌握，二次函数为载体的综合题是学生的一大难题。

五、教学方法：

六、教学资源：教本，PPT

七．教学过程：

考点聚焦

考点一二次函数的概念

一般地,形如(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.

考点二二次函数的图象及画法

图象二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是以①

为顶点,以直线②为对称轴的抛物线

用描点法画二次函数

y=ax2+bx+c的图象的步骤(1)用配方法化成③的形式;

(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标;

(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图

考点三二次函数的性质

函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) a>0 a<0

图象

开口方向

抛物线开口向上,

并向上无限延伸

抛物线开口向下,并向下无限延伸

对称轴

直线x=-直线x=-顶点坐标

增减性

在对称轴的左侧,

即当x<-时,y随x

的增大而减小;在对

称轴的右侧,即当

x>-时,y随x的增

在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而增大;在

对称轴的右侧,即当x>-时,y随x的增大而减小,简记左

增右减

大而增大,简记左减右增

最值

抛物线有最低点,

当x=-时,y有最

小值,y最小值

=

抛物线有最高点,当x=-时,y有最大值,y最大值

=

二次项系数a的

特性

的大小决定抛物线的开口大小:越大,抛物线的开口越小,

越小,抛物线的开口越大

常数项c的意义c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即x=0时,y=c

考点四二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax2+bx+c与x轴

的交点个数

判别式Δ=b2-4ac的符号方程ax2+bx+c=0实根的个数①个Δ>0 ②的实根

1个Δ③两个相等的实根

没有Δ④⑤实根

考点二二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a,b,c及判别式b2-4ac的符号之间的关系

项目

字母

字母的符号图象的特征

a

a>0 开口向上

a<0 开口向下

b b=0 对称轴为y轴

ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧

c c=0 经过原点

c>0 与y轴正半轴相交c<0 与y轴负半轴相交

b2-4ac

b2-4ac=0 与x轴有唯一交点(顶点)

b2-4ac>0 与x轴有两个不同的交点

b2-4ac<0 与x轴没有交点

特殊关系

当x=1时,y=a+b+c

当x=-1时,y=a-b+c

若a+b+c>0,则x=1时,y>0

若a-b+c>0,则x=-1时,y>0

考点五二次函数图象的平移

将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)用配方法化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,而任意抛物线y=a(x-h)2+k均可由抛物线y=ax2平移得到,具体平移方法如图14-1所示.

一、二次函数的定义

例1、已知函数y=(m－1)xm2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。

若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。二、a b c

，，及b ac

24

-的符号确定

例2. 已知抛物线

y ax bx c

=++

2

如图，试确定：

（1）

a b c

，，及b ac

24

-的符号；（2）a b c

++与a b c

-+的符号。

三、二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）

已知抛物线y＝x2-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积

四、直线与二次函数的问题

例4 已知：二次函数为y=x2－x+m，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在x轴上方，（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB ∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB=4时，求此二次函数的解析式．

例5 已知关于x的二次函数y=x2－mx+

21

2

m+

与y=x2－mx－

22

2

m+

，这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．

（1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点；

（2）若A点坐标为（－1，0），试求B点坐标；

（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x?值的增大而减小？

例6 已知：m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，

试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；

（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若

直线BC?把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．

（思政元素）思政教育：我们要懂得从不同的角度看问题，数形结合，

全面的思考问题，每个人都有自己独特的学习方法，互相交流，互相学习，共同进步，才会有更广阔的思维空间，有更好的发展。

五、二次函数应用

(一）经济策略性

1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数.(1)试求y与x的之间的关系式.

(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）

八、布置作业：练习册

九、板书设计：知识点，例题，例题

十、教学反思

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