常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

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习题 2-1

判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解： １．(3x2 1)dx+(2x+1)dy=0

解：P(x,y)=3x2 1，Q(x,y)=2x+1， 则

２．(x+2y)dx+(2x+y)dy=0

解：P(x,y)=x+2y, Q(x,y)=2x y,

Q P P Q

即，原方程不是恰当方程． =2，所以 =0，≠

x y y x

则

Q P P Q

，即 原方程为恰当方程 =2, 所以=2,=

x y y x

则xdx+(2ydx+2xdy) ydy=0,

x2y2

两边积分得：+2xy =C.

22

3．(ax+by)dx+(bx+cy)dy=0 (a,b和c为常数)．

解：P(x,y)=ax+by, Q(x,y)=bx+cy,

则

Q P P Q

，即 原方程为恰当方程 =b, 所以=b,=

x y y x

则axdx+（）bydx+bxdy+cydy=0,

ax2cy2

两边积分得：+bxy+=C.

22

4．(ax by)dx+(bx cy)dy=0

(b≠0)

解：P(x,y)=ax by, Q(x,y)=bx cy,

则

Q P Q P

，即，原方程不为恰当方程 =b, 因为 b≠0, 所以≠= b,

x y x y

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５．(t2+1)cosudu+2tsinudt=0

解：P(t,u)=(t2+1)cosu, Q(t,u)=2tsinu 则

P Q P Q

，即 原方程为恰当方程 =2tcosu,=2tcosu, 所以=

t x y x

则(t2cosudu+2tsinudt)+cosudu=0, 两边积分得：(t2+1)sinu=C.

６．(yex+2ex+y2)dx+(ex+2xy)dy=0

解： P(x,y=yex+2ex+y2,Q(x,y)=ex+2xy， 则

Q P Q P

，即 原方程为恰当方程 =ex+2y, 所以=ex+2y,=

x y y x

则2exdx+[(yex+y2)dx+(ex+2xy)dy]=0, 两边积分得：(2+y)ex+xy2=C. ７．(

y

+x2)dx+(lnx 2y)dy=0 x

y2

解：P(x,y)=+xQ(x,y)=lnx 2y,

x

P Q P1 Q1

，即 原方程为恰当方程 =, 所以=,=

yx xx y xy

dx+lnxdy)+x2dx 2ydy=0 x

则

则(

x3

两边积分得：+ylnx y2=C.

3

８．(ax2+by2)dx+cxydy=0

解：P(x,y)=ax2+by2,则

(a,b和c为常数) Q(x,y)=cxy,

Q P Q P

，即 2b=c时， 原方程为恰当方程 =cy, 所以 当=2by,=

x y y x

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则ax2dx+(by2dx+cxydy)=0

ax3

两边积分得：+bxy2=C.

3

而当2b≠c时原方程不是恰当方程．

s s22s 1

９．ds+2dt=0

tt

s s22s 1解：P(t,s)=,Q(t,s)=2,

tt

则

P1 2s Q1 2s P Q

， 即原方程为恰当方程, =2,=2, 所以=

t s y xtt

s s2两边积分得：=C．

t

10．xf(x2+y2)dx+yf(x2+y2)dy=0, 其中f( )是连续的可微函数．

解：P(x,y)=xf(x2+y2),Q(x,y)=yf(x2+y2), 则

Q P Q P

， 即原方程为恰当方程, =2xyf′, 所以=2xyf′,=

x y y x

两边积分得：

∫

f(x2+y2)dx=C,

即原方程的解为F(x2+y2)=C (其中F为f的原积分)．

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习题 2-2

1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：

dyx2(１) =

dxy

=

解：原方程即为：ydy=x2dx 两边积分得：3y2 2x3=C,

y≠0．

dyx2(２) =

dxy(1+x3)

x2

解：原方程即为：ydy=dx

1+x3

两边积分得：3y2 2ln+x3=C, (３)

y≠0,x≠ 1．

dy

+y2sinx=0 dx

解： 当y≠0时

原方程为：

dy

+sinxdx=0 2y

两边积分得：1+(c+cosx)y=0．

又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为

1+(c+cosx)y=0．

(４)

dy

=1+x+y2+xy2； dx

解：原方程即为：

dy1+y2

(1+x)dx

x2

两边积分得：arctgy=x++c，

2x2

即 y=tg(x++c)．

2

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(５)

dy

=(cosxcos2y)2 dx

解：①当cos2y≠0时

原方程即为：

dy2

=(cosx)dx 2

(cos2y)

两边积分得：2tg2y 2x 2sin2x=c． ②cos2y=0，即y= (６)x

kππ

+也是方程的解. (k∈N) 24

dy

= y2 dx

解：①当y≠±1时 原方程即为：

dy y2

=

dx x

两边积分得：arcsiny lnx=c． ② y=±1也是方程的解.

dyx e x

(７)． =

dxy+ey

解．原方程即为：(y+ey)dy=(x e x)dx

y2x2y

两边积分得：+e=+e x+c，

22

原方程的解为：y2 x2+2(ey e x)=c.

2. 解下列微分方程的初值问题． (１)sin2xdx+cos3ydy=0, y(=

ππ

23

cos2xsin3y

解：两边积分得： +=c， 即 2sin3y 3cos2x=c

23

；

因为 y(=

ππ3

2

, 所以 c=3.

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所以原方程满足初值问题的解为：2sin3y 3cos2x=3．

(２)．xdx+ye xdy=0， y(0)=1；

解：原方程即为：xexdx+ydy=0，

y2

两边积分得：(x 1)edx+dy=c，

2

x

因为y(0)=1， 所以c=

1， 2

所以原方程满足初值问题的解为：2(x 1)exdx+y2dy+1=0． (３)．

dr

=r， r(0)=2； dθ

dr

解：原方程即为：=dθ，两边积分得：lnr θ=c，

r

因为r(0)=2， 所以c=ln2，

所以原方程满足初值问题的解为：lnr θ=ln2 即 r=2e． (４)．

θ

lnxdy

, y(1)=0; =2

dx1+y

2

解：原方程即为：(1+y)dy=lnxdx,

y3

两边积分得：y++x xlnx=c,

3

因为y(1)=0， 所以c=1，

y3

所以原方程满足初值为：y++x xlnx=1

3

(５)．+x

2

dy

=xy3， y(0)=1； dx

dyx=dx，

2y3+x

解：原方程即为：

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1 2

y=+x2+c， 2

3

因为y(0)=1， 所以c= ，

2

两边积分得：

所以原方程满足初值问题的解为：2+x+

2

1

=3． 2y

3. 解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图． (１)．

dy

=cosx dx

解：两边积分得：y=sinx+c． 积分曲线的简图如下：

(２)．

dy

=ay， (常数a≠0)； dx

解：①当y≠0时，

原方程即为：

1dy

=dx 积分得：lny=x+c，

aay

即 y=ceax

(c>0)

②y=0也是方程的解． 积分曲线的简图如下：

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(３)．

dy

=1 y2； dx

解：①当y≠±1时，

原方程即为：

1+ydy

积分得：ln=2x+c， =dx

1 y(1 y2)

ce2x 1

即 y=2x．

ce+1

②y=±1也是方程的解． 积分曲线的简图如下：

(４)．

dy1

=yn， (n=,1,2)；

3dx

解：①当y≠0时， ⅰ)n=

dy1

,2时，原方程即为 n=dx， 3y

积分得：x+

11 n

y=c． n 1

dy

=dx y

(c>0)．

ⅱ)n=1时，原方程即为

积分得：lny=x+c，即 y=cex②y=0也是方程的解． 积分曲线的简图如下：

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4. 跟踪：设某A从xoy平面上的原点出发，沿x轴正方向前进；同时某B从点开始跟踪A，即B与A永远保持等距b．试求B的光滑运动轨迹．

解：设B的运动轨迹为y=y(x),由题意及导数的几何意义，则有

dyy

，所以求B的运动轨迹即是求此微分方程满足y(0)=b的解． = 22dxb yb+b2+y21

解之得：x=bln 2 y2．

2b b2 y2

5. 设微分方程

dy

=f(y)(2.27)，其中f(y) 在y=a的某邻域(例如，区间dx

y a<ε)

内连续，而且f(y)=0 y=a，则在直线y=a上的每一点，方程(2.27)的解局部唯一，

当且仅当瑕积分

证明：( )

∫

a±ε

a

dy

=∞(发散)． f(y)

首先经过域R1： ∞<x<+∞, a ε≤y<a和域R2： ∞<x<+∞,

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a<y≤a+ε内任一点(x0,y0)恰有方程(2.13)的一条积分曲线，它由下式确定

∫y

y

dy

=x x0. (*) f(y)

这些积分曲线彼此不相交. 其次，域R1(R2)内的所有 积分曲线∫

dydy

=x+c都可由其中一条，比如∫=x+c0 f(y)f(y)

沿着 x 轴的方向平移而得到。因此只需详细考虑经过R1内某一点

(x0,a ε)的积分曲线， 它由(*)式确定.

若

∫a ε

a

dy

收敛，即存在 x=x1 ，使得f(y)

∫a ε

a

dy

=x1 x0, f(y)

即所讨论的积分曲线当 x=x1 时达到直线y=a上点(x1,a). 由(*)式易看出， 所论积分曲线在(x1,a)处与y=a 相切，在这种情形下，经过此直线上的

( )一点就不只有一条积分曲线，与局部唯一矛盾，所以

∫a ε

a

dy

发散. f(y)

若积分

∫a ε

a

dy

发散，此时由(*)式易看出，所论的经过(x0,a ε)的积分 f(y)

曲线，不可能达到直线 y=a上，而以直线y=a为渐近线，又注意到y=a也 是(２.13)的积分曲线，所以(2.13)过(x0,a ε)的解是唯一的. 注：对于R2内某点(x0,a+ε)完全可类似地证明.

6. 作出下列微分方程积分曲线族的大致图形． (１)

．

dy=dx

y；

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(２)．

dy

ylny= dx 0

y≠0y=0

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习题 2-3

1. 求解微分方程： (１)

dy

dx

+2y=xe x; 解：p(x)=2, q(x)=xe x，

由公式得：y=e 2x(c+∫

xe xe2xdx)=ce 2x+xe x e x，

原方程的解为：y=ce 2x+xe x e x． (２)

dy

dx

+ytgx=sin2x； 解：p(x)=tgx, q(x)=sin2x，

∫p(x)dx=∫tgxdx=∫

sinxcosx=∫ d(cosx)

cosx

= lncosx+c，y=e

lncosx

(c+∫sin2xe

lncosx

dx)

=cosx(c+∫sin2x

)=cosx(c 2cosx)=ccosx 2cos2cosx

x

原方程的解为：y=ccosx 2cos2

x．

(３)x

dy

dx+2y=sinx, y(π)=1π

； 解：原方程即为：dy2sinx

2sinxdx+xy=

x，则p(x)=x,q(x)=x，∫p(x)dx=∫2x=lnx2

+c， 则有 y=e lnx2

(c+∫sinxlnx2

x

e)

=

1

x2(c+∫xsinxdx)

=1

x

2(c xcosx+sinx)因为y(π)=

1

π

， 所以c=0．

原方程满足初值问题的解为：y= 1xcosx+1

x

2sinx ． (４)

dy

dx 11 x

2y=1+x，y(0)=1； 则有

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解：p(x)=

1x 1

, ,q(x)=1+xpxdx=()ln∫2

1 xx+1

1

2

则y=e

1x 12ln

x+1

(c+∫(1+x)e

1x+12ln

x 1

dx)

=

x+1

(c+∫x2 1dx)x 1

x+1

(c+∫ x2dx)1 x

x>1

x<1

要求满足初值问题y(0)=1的解

只需求

x+1

(c+∫ x2dx)

1 x

x<1

=

x+111

(c+arcsinx+x x2) 1 x22

代入初值得c=1

所以满足初值问题的解为y=

x+111

(1+arcsinx+x x2). 1 x22

2. 将下列方程化为线性微分方程：

dyx2+y2(１)； =

dx2y

解：令y=z， 则原方程化为： (２)

2

dz

=z+x2． dx

dyy

； =2

dxx+y

dx1dxx+y2

, 即 解：由原方程得：，==x+y ．

dyydyy

(３)3xy

2

dy

+y3+x3=0； dx

3

解：令y=z， 则原方程化为：

dz1

= z x2． dxx

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(４)

dy1=+xtgy； dxcosy

解：原方程即为：

dy1siny

=+x

dxcosycosy

即

cosydydz=1+xsiny. 令z=siny， 则 =xz+1． dxdx

a(s)ds

x

∫3. 设y=φ(x)满足微分不等式y′+a(x)y≤0,(x≥0)．求证：φ(x)≤φ(0)e0

(x≥0)

,

∫a(s)ds 则有

证明：将y′+a(x)y≤0两边同乘e0

a(s)dsa(s)dse∫0y′+e∫0a(x)y≤0

x

x

x

即

d(e∫0

x

x

a(s)ds

φ(x))

dx

≤0 从０到x积分得：

a(s)dse∫0φ(x)≤φ(0)，得证．

4. 用常数变易法求解非齐次线性方程

dy

+p(x)y=q(x)． dx

p(x)dx

的解，将其代入方程则有 解：设方程有形如y=c(x)e∫

p(x)dx

的解，将其代入方程则有 解：设方程有形如y=c(x)e∫

p(x)dx p(x)dxdc(x) ∫p(x)dx

e c(x)p(x)e∫+c(x)p(x)e∫=q(x) dx

p(x)dxdc(x) ∫p(x)dx

即+c， e=q(x)， 则c(x)=∫q(x)e∫

dx

p(x)dx p(x)dx

所以方程的解为y=e∫(q(x)e∫+c).

∫

5. 考虑方程

dy

+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)都是以ω>0为周期的连续函数． dx

试证：(１)若q(x)=0，则方程的任一非零解以ω为周期 p(x)的平均值

=

1

ω

∫

ω

p(x)dx=0．

(２)若q(x)≠0，则方程的有唯一的ω周期解 ≠0．试求出此解．

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证明：(１)设y=φ(x)是方程的任一非零解 则y=ce

∫x0p(x)dx

x

,且y=ce

∫x0p(x+w)dx

x

x+w

,也是解 e

e

∫x0p(x)dx

x

=e

∫x0p(x+w)dx

ω

x+w

,=e

∫x0p(x)dx

∫xp(x)dx

x+w

e

∫0p(x)dx

ω

=1 ∫0p(x)dx=0

(2) 方程的通解为y=ce选择常数c使y(x)成为

∫0p(x)dx

x

+

∫0q(s)e

x

p(t)dt

∫s

x

ω周期函数，即y(x+w)=y(x)(*)

我们先来证明，要使(*)对所有x成立，其实只需对某一特定 x (例如x=0)成立,即只需y(ω)=y(0).事实上，由于y(x)是方程的解， 且p(x+w)=p(x)q(x+w)=q(x)， 所以y(x+w)也是解. 因此，函数u(x)=y(x+w) y(x)是相应齐次方程y′+p(x)y=0满足 初始条件y(0)=0的解。又因为此齐次方程的解或者恒等于０，或者恒不

等于０，所以u(x)=0，从而y(w)=y(0)，由x的任意性，则有y(x+w)=y(x)。

∫p(x)dx+即ce0

w

∫0

w

w

p(t)dt

q(s)e∫0ds=c.

w

p(x)dx∫0

q(x)edx.

w

wx

所以c=

1

p(x)dx

1 e∫0

∫0

6. 连续函数f(x)在区间 ∞<x<+∞上有界，证明：方程y′+y=f(x)在区间

∞<x<+∞有并且只有一个有界解．试求出这个解．并进而证明：当f(x)还是以ω为

周期函数时，这个解也是以ω为周期的周期函数.

证明：显然方程为一阶线性微分微分方程，由一阶线性微分微分方程解的求解公式得其解表达式为：

y=ce∫0

1dx

x

+∫f(s)e∫sds

x

1dx

0x0

x

，

=ce x+∫f(s)e(s x)ds

因为f(x)有界，所以要使 y有界，当且仅当 c=从而原方程的唯一有界解为

∫

∞

f(s)eds．

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y=ce

x

+∫f(s)e

x

(s x)

ds=∫f(s)e

∞

s x

ds+

∫

x

f(s)e

(s x)

ds=∫f(s)e(s x)ds．

∞

x

下面说明当f(x)是以ω为周期函数时，这个解也是以ω为周期的周期函数．

y(x+ω)=∫

x+ω

∞x+ω

f(s)e(s x ω)ds，令t=s ω，则 f(s)e(s x ω)ds=

y(x+ω)=∫

7. 令空间H

∞

∫

x

∞

f(t+ω)e(t x)dt=∫f(t)e(t x)dt=y(x)，

∞

x

所以此解为一周期函数．

．易知H0关于实数域,构成一个=｛f(x)｜f是以2π为周期的连续函数｝

线性空间. f∈H0，定义它的模f=max0≤x≤2πf(x)．证明H0是一个完备的空间．利用式(2.40)可以在空间H0中定义一个变换φ，它把 f变成y．试证：φ是一个从H0到H0的线性算子，而且它是有界的．

证明：(１)先证H是一个完备的空间． 设{fn(x)}是(H, )中的一个基本列. 那么 ε>0,

00

N(ε), m,n>N(ε)有

fm(x) fn(x)=max0≤x≤2πfm(x) fn(x)<ε

所以 0<x<2π，fm(x) fn(x)<ε(*)，固定x∈[0,2π]，则{fn(x)} 是基本的，从而limn→∞fn(x)存在，记为f0(x)，在 ( ) 中令m→∞， 得到f0(x) fn(x)<ε，所以fn(x)一致收敛到f0(x)，从而在H0中 fn收 敛到f0，所以定义的空间是完备的。 (２)证φ是一个线性有界算子。 ①φ(c1f1+c2f2)=

1

e2aπ 1x

11x+2π a(x s)x+2π a(x s)

=c12aπef(s)ds+cef2(s)ds 122aπ∫∫xx

e 1e 1

=c1φ(f1)+c2φ(f2) 所以φ是一个线性算子。

∫

x+2π

e a(x s)(c1f1+c2f2)(s)ds

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②(f)=max0≤x≤2π

1e2aπ

∫ 1

1

x+2π

x

e a(x s)f(s)ds

≤max0≤x≤2π ≤f

1e

2aπ

maxx≤s≤x+2πf(s)ds∫x

x+2π

e a(x s)ds

12aπe4aπ

=kf

e 1a

所以φ是有界算子.

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习题 2-4

1. 求解下列微分方程： (１)y′=

2y x

；

2x y

du2u 1

， +u=

dx2 u

解：令y=ux，则原方程化为x

即

2 udx1 u12

， 积分得：=duln lnu =lnx+c 2

x1+u2u 1

还原变量并化简得：(y x)=c(x+y)3 (２)y′=

2y x+5；

2x y 4

2y x+5=0 x=1

得

2x y 4=0y= 2

v=y+2， 则有

解：由

令u=x 1,

dv2v u

，由第一题的结果知此方程解为(v u)=c(u+v)3， =

du2u v

还原变量并化简得： y x+3=c(x+y+1)3. (３)y′=

x+2y+1

；

2x+4y 1

dvdyv+1

， =1+2=1+2

dxdx2v 1

解：令v=x+2y， 则即

dv4v+1

，此方程为变量分离方程， =

dx2v 1

13

分离变量并积分得：v ln4v+=x+c，

28

还原变量并化简得：8y 4x 3ln4x+8y+=c．

(４)y′=xy xy．

解：①当y≠0时，方程两边同时乘以 2y 3 ,则 2y 3y′= 2x3+2xy 2，令

3

3

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dzx23

则 由公式得：z=ce+x2+1z=y，=2xz 2x,此方程为一阶线性方程，

dx

2

还原变量得：y=(ce

2

x2

+x2+1) 1.

②y=0也是方程的解．

2. 利用适当的变换，求解下列方程： (１)y′=cos(x y)；

dudy

=1 cosu， =1

dxdxdudu

①当cosu≠1时，有=dx， 即 =dx，

u1 cosu

2sin2

2

1u

两边积分得：ctg=x+c

22

x yx yx y

． 还原变量化简得：cos=2xsin+csin

222

解：令u=x y，则

②当cosu=1时，即y=x+2kπ(k∈Z)也是方程的解．

(２)(3uv+v)du+(u+uv)dv=0；

解：方程两边同时乘以u则原方程化为：

2

2

(3u2v+uv2)du+(u3+u2v)dv=0，

即 (3uvdu+udv)+(uvdu+uvdv)=0 此方程为全微分方程，则原方程的解为：u3v+

2

3

2

2

122

uv=c． 2

dyx2

=2x(2y )； (３)(x+y+3)dxy

2

2

2ydy4y2 2x22

解：原方程即为 ，令=2x=v,2

2xdxx+y+3

y2=u，

u= 1 4u 2v=0 m=u+1du4u 2v

,由 得 ， 令 ，则有则=

v= 2u+v+3=0n=v+2dvu+v+3

mdm4m 2ndmdz4z 2

令=z，则m=zn， ， ==n+z=

ndnm+ndndnz+1

常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

则有

dz(1 z)(z 2)

，此方程为变量分离方程， n=

dnz+1

分离变量并积分得：ln

(z 1)22 z

3

=c+lnn，

还原变量并化简得：(x2 y2+1)2=c( 2x2+y2 3)3.

dy2x3+3xy2 7x

(４)． =2

3

dx3xy+2y 8y

2ydy2x2+3y2 7

，令u=y2,v=x2, 解：原方程即为=2

2

2xdx3x+2y 8

则

2v+3u 7=0 u=1 m=u 1du2v+3u 7

，由 ， 令 ， =

dv3v+2u 8 3v+2u+8=0 v=2 n=v 2

dm2n+3mm

，令=z，可将方程化为变量分离形方程， =

dn3n+2mn

则

(

3+2zdn31+z1

，两边积分得：)=dzln ln z2=lnn+c， 2

n41 z22 2z

还原变量并化简得：(x2 y2 1)5=c(x2+y2 3)．

3. 求解下列微分方程： (１)．y′= y2

1； 4x2

dz11=( z2+z ， dxx4

解：令z=xy， 则原方程可化为：

11

时，即xy≠时 22

1dx

方程为 ，此方程为变量分离方程， dz=

12x(z )

2

1

两边积分得：=lnx+c

1z 2z≠

还原变量并化简得：y=

11+； 2xxlnx+cx

当z=

11时，y=是方程的特解． 22x

常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

(２)．x2y′=x2y2+xy+1；

解：原方程即为：y′=y2+令z=xy，则

y1+2， xx

dz1

=(z+1)2，此方程为变量分离方程， dxx

1

分离变量积分得： =lnx+c，

z+1

还原变量并化简得：y=

11 ． xxlnx+cx

4. 试把二阶微分方程y′′+p(x)y′+q(x)y=0化为一个黎卡提方程．

解：令y=e∫

udx

， 则y′=ue∫

udx

udx

，y′′=ue∫

2

udx

udx

+u′e∫

udx

udx

，代入原方程可得：

udx

y′′+p(x)y′+q(x)y=u2e∫+u′e∫＋p(x)ue∫+q(x)e∫

＝０，

即有：u2+u′+p(x)u+q(x)=0， 此方程为一个黎卡提方程．

5. 求一曲线，使得过这一曲线上任一点的切线与该点向径的夹角等于45 ．

解：设此曲线为y=y(x)，由题意得：

dyy

=tg45 =1，化简得：dy=x+y， dyydxx y1+

dxx

y1

此方程为齐次方程，解之得：arctg ln(x2+y2)=c．

x2

6. 探照灯的反光镜(旋转面)应具有何种形状，才能使点光源发射的光束反射成平行线束？

解：取点光源所在处为坐标原点，而x轴平行于光的反射方向，建立三维坐标系．

设所求曲面由曲线

y=f(x)

绕x轴旋转而成,则求反射镜面问题归结为求 xy 平面上

z=0

的曲线y=f(x)的问题．由题意及光的反射定律，可得到函数y=f(x)所应满足的微分方程式：

dyy

，此方程为齐次方程， =

22dxx+x+y

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