高一数学(人教A版)必修4能力提升：2-2-3 向量数乘运算及其几何意

能 力 提 升

一、选择题

1．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点

A 、C )，则AP →

＝( )

A ．λ(A

B →＋B

C →

) λ∈(0,1)

B ．λ(AB →＋B

C →) λ∈(0，22)

C ．λ(AB →－BC →

) λ∈(0,1)

D ．λ(AB →－BC →) λ∈(0，22)

[答案] A

[解析] 设P 是对角线AC 上的一点(不含A 、C )，过P 分别作

BC 、AB 的平分线，设AP →＝λAC →，则λ∈(0,1)，于是AP →＝λ(AB →＋BC →

)，λ∈(0,1)．

2．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →

＋λCB →

，则λ等于( ) A.23 B.13 C ．－13

D ．－23 [答案] A

[分析] 将AD →、DB →

都用从C 点出发的向量表示．

[解析] (方法一)：由AD →＝2DB →

，

可得CD →－CA →＝2(CB →－CD →)?CD →＝13CA →＋23CB →

，

所以λ＝23.故选A.

(方法二)：CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23

CB →，所以λ＝23，故选A.

3．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →

，其中λ∈R ，则点P 一定在( )

A ．△ABC 内部

B ．A

C 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上

D ．BC 边所在的直线上 [答案] B

[解析] ∵CB →＝λP A →＋PB →，∴CB →－PB →＝λP A →

.

∴CP →＝λP A →

.

∴P 、A 、C 三点共线．

∴点P 一定在AC 边所在的直线上．

4．已知平行四边形ABCD 中，DA →＝a ，DC →

＝b ，其对角线交点

为O ，则OB →

等于( )

A.12a ＋b B ．a ＋12b

C.12(a ＋b )

D ．a ＋b

[答案] C [解析] DA →＋DC →＝DA →＋AB →＝DB →＝2OB →

，

所以OB →＝12(a ＋b )，故选C.

5．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →

＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )

A ．A 、

B 、D

B ．A 、B 、

C C ．B 、C 、D

D ．A 、C 、D

[答案] A

[解析] BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2AB →

，所以，A 、B 、D 三点共线．

6．如图所示，向量OA →、OB →、OC →

的终点A 、B 、C 在一条直线上，且AC →＝－3CB →.设OA →＝p ，OB →＝q ，OC →

＝r ，则以下等式中成立的是

( )

A ．r ＝－12p ＋32q

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